值得关注的四类函数解题策略

［摘 要］函数是高考命题的热点。抽象函数、自定义函数、绝对值函数和“嵌套”函数是高考中的“常客”，其综合性强，难度较大，具有一定的区分度。文章结合四个例题，归纳总结这四类函数的解题策略，以帮助学生掌握这四类函数的解题策略，使学生在高考中能够从容应对。

［关键词］抽象函数；自定义函数；绝对值函数；“嵌套”函数

［中图分类号］ G633.6 ［文献标识码］  A ［文章编号］ 1674-6058（2023）32-0011-03

函数是高考命题的热点。高考函数复习，除了要重视函数的基本知识和基本应用，还应关注其他的四类函数问题，即抽象函数、自定义函数、绝对值函数和“嵌套”函数，因为这四类函数综合性强，难度较大，且是高考中的“常客”。下面笔者结合实例进行分析探讨。

一、抽象函数

抽象函数是指没有给出具体的函数解析式，只是知道该函数满足的一些条件，要求考生利用这些条件来解决与这个函数相关的问题，如判断这个函数的单调性或奇偶性，求函数值，解与此函数有关的不等式等。解决抽象函数最基本的方法是赋值法。

［例１］已知定义在[R]上的偶函数[f（x）]满足[f（1+x）+f（1-x）=4]。若[f（0）=0]，且[f（x）]在[0，1]上单调递增，则满足[f（x）·sinπx4≥2]的[x]的取值范围是                  。

分析：由题意可知，[f（x）]是周期为[4]的周期函数，[y=sinπ4x]的最小正周期为8，结合[f（x）]与[y=sinπ4x]的单调性，易知在一个周期内，由[f（x）·sinπx4≥2]可得[x∈1，3]，再结合周期求出范围即可。

解：因为[f（x）]是偶函数，所以[f（-x）=f（x）]，由[f（1+x）+f（1-x）=4]，可得[f（x）]关于（1，2）对称，因为[f（1+x）+f（1-x）=4]，所以[f1+（x+3）+f1-（x+3）=4]，则[f（x+4）=f1+（x+3）=-f1-（x+3）+4=-f-（x+2）+4]，因为[f（x）]是偶函数，所以[-f-（x+2）=-f（x+2）]，因为[f（1+x）+f（1-x）=4]，所以[f1+（x+1）+f1-（x+1）=4]，则[f（x+4）=-f（x+2）+4=-f1+（1+x）+4=f1-（1+x）=f（-x）=f（x）]，所以[f（x）]是周期为[4]的周期函数。因为[f（x）]是偶函数，且在[0，1]上单调递增，所以[f（x）]在[-1，0]上单调递减，令[f（1+x）+f（1-x）=4]中[x=0]，则[f（1）+f（1）=4]，则[f（1）=2]，又因为[f（x）]关于（1，2）对称，所以[f（x）]在[1，2]上单调递增，在[2，3]上单调递减，结合函数[f（x）]是周期为[4]的周期函数，可得[f（x）]在[0，2]和[4，6]上单调递增，[2，4]和[6，8]上单调递减。因为[y=sinπ4x]的最小正周期[T=2ππ4=8]，结合[y=sinπ4x]图象（如图1）可知，[y=sinπ4x]在[0，2]和[6，8]上单调递增，在[2，6]上单调递减，令[f（1+x）+f（1-x）=4]中[x=1]，则[f（2）+f（0）=4]，则[f（2）=4]，当[x=1]，[y=sinπ4=22]，又[f（1）=2]，所以[f（1）·sinπ4=2]；当[x=3]，[y=sin3π4=22]，又[f（3）=f（-1）=f（1）=2]，所以[f（3）·sin3π4=2]，所以当[x∈0，8]时，[f（x）·sinπx4≥2]，解得[x∈1，3]。又因为[f（x）]与[y=sinπ4x]均为周期函数，且8均为其周期，所以[f（x）·sinπx4≥2]的[x]的取值范围是[1+8k，3+8k]，[k∈Z]。故答案为[1+8k，3+8k]，[k∈Z]。

点评：求解抽象函数的常用方法有赋值法、构造特例、数形结合法。本题解题的关键是求出[y=f（x）]与[y=sinπ4x]的周期性，由[f（1）·sinπ4=2]，[f（3）·sin3π4=2]，结合函数的单调性和周期性求解即可。

二、自定义函数

自定义函数，也叫新定义函数，题目中一般会给出自定义函数具有的某些性质，要求考生判断给出的函数是否属于自定义函数，或者给出某个含有参数的函数，要求考生判断当参数为何值时该函数是自定义函数。求解此类问题的关键是理解所给定义、性质或规则，并将问题转化为所熟悉的问题来解决。

［例2］已知函数[y=f（x）]，[x∈D]，若存在常数[k]（[k>0]），使得对定义域[D]内的任意[x1]、[x2]（[x1≠x2]），都有[f（x1）-f（x2）≤kx1-x2]成立，则称函数[y=f（x）]在其定义域[D]上是“[k]-利普希兹条件函数”。

（1）判断函数①[y=x]，②[y=x3]是否是“1-利普希兹条件函数”，若是，请给出证明；若不是，请说明理由；

（2）若函数[y=x]（[1≤x≤4]）是“[k]-利普希兹条件函数”，求常数[k]的最小值；

（3）若[y=f（x）]是定义在闭区间[0，1]上的“2-利普希兹条件函数”，且[f（0）=f（1）]，求证：对任意的[x1]、[x2∈0，1]都有[f（x1）-f（x2）≤1]。

分析：（1）证明[f（x1）-f（x2）≤x1-x2]即可判断[y=x]，举出反例即可判断[y=x3]；（2）分离参数，将不等式变为关于[x1]、[x2]的不等式，结合定义域即可求得常数[k]的最小值；（3）对任意的[x1]、[x2∈0，1]都有[f（x1）-f（x2）≤m]，只需要[f（x1）-f（x2）max≤m]即可，根据新定义求出[f（x1）-f（x2）max]即可得出答案。

解：（1）对于函数[y=f（x）=x]，不妨设[x1>x2]，则[f（x1）-f（x2）=x1-x2]，符合题意，所以函数[y=x]是“1-利普希兹条件函数”；对于函数[y=f（x）=x3]，因为[f（2）-f（1）=7>2-1]，所以函数[y=x3]不是“1-利普希兹条件函数”。

（2）若函数[f（x）=x]（[1≤x≤4]）是“[k-]利普希兹条件函数”，则对定义域[1，4]内任意[x1]、[x2]（[x1≠x2]），均有[f（x1）-f（x2）≤kx1-x2]，即[x1-x2≤kx1-x2]，设[x1>x2]，则[x1-x2x1-x2≤k]，即[1x1+x2≤k]，因为[1≤x2<x1≤4]，所以[14<1x1+x2<12]，所以[k≥12]，所以[k]的最小值为[12]。

（3）设[x1≥x2]，当[x1-x2≤12]时，因为[y=f（x）]是定义在闭区间[0，1]上的“2-利普希兹条件函数”，所以[f（x1）-f（x2）≤2x1-x2≤2×12=1]，当[x1-x2>12]时，由[x1、x2∈0，1]得[12<x1-x2≤1]，故[f（x1）-f（x2）=f（x1）-f（1）+f（0）-f（x2）≤f（x1）-f（1）+f（0）-f（x2） ][≤2（1-x1）+2x2=2-2（x1-x2）≤1]恒成立。综上所述，[f（x1）-f（x2）≤1]。

点评：本题考查了函数新定义问题，解答本题的关键在于理解“k-利普希兹条件函数”，将其转化为不等式恒成立问题。

三、绝对值函数

绝对值函数就是绝对值符号内含有未知数的函数，这类问题一般出现在函数与导数的综合性问题中，命题角度主要有三个：一是由绝对值函数的最值求参数；二是含参绝对值不等式恒成立问题；三是绝对值函数的零点问题。在高考中无论是哪种绝对值函数问题，一般来说难度都很大，难在如何将绝对值符号化去。

［例3］若函数[f（x）=3x-a+x3]，[x∈-12a，a]存在最小值，则实数[a]的取值范围为                   。

分析：将函数[f（x）]化为分段函数[f（x）=3x-a+x3=x3-3x+a，-a2<x≤a3，x3+3x-a，a3<x<a2，]对各段求导确定函数的单调性，讨论[a]的大小明确单调性，根据函数存在最小值列不等式即可求得实数[a]的取值范围。

解：因为[x∈-12a，a]，所以[a>0]，则[f（x）=3x-a+x3=x3-3x+a，-a2<x≤a3，x3+3x-a，a3<x<a2。]

当[a3<x<a2]时， [f（x）=3x2+3>0]，所以[f（x）]在[a3，a2]上单调递增；当[-a2<x≤a3]时，[f（x）=3x2-3=0]，得[x=±1]，若[a≥3]时，[f（x）]在[-a2，-1]上单调递增，在（-1，1）上单调递减，在[1，a3]上单调递增，要使得[f（x）]存在最小值，则[f-a2≥f（1）]，所以[（a+2）（a-4）≤0]，此时[3≤a≤4]；若[2<a<3]时，[f（x）]在[-a2，-1]上单调递增，在[-1，a3]上单调递减，要使得[f（x）]存在最小值，则[f-a2≥fa3]，此时[2<a<3]；若[0<a≤2]时，[f（x）]在[-a2，a3]上单调递减，[a3，a2]上单调递增，则[f（x）]存在最小值。综上，则实数[a]的取值范围为[0，4]。故答案为[0，4]。

点评：解决绝对值问题的基本思路是去掉绝对值符号；常用方法：①换元、构造函数；②数形结合；③利用绝对值三角不等式。本题解题的关键是对含参区间进行讨论，确定区间[-a2，a3]上与函数[f（x）]的极值点[x=1]和[x=-1]的包含关系，从而可得函数的单调区间，并且要满足函数[f（x）]在区间[-a2，a]上存在最小值，还得比较区间端点函数值与极小值的大小，才能确定符合条件的[a]的取值情况。

四、“嵌套”函数

所谓“嵌套”函数，其实就是一类复杂的复合函数，如[y=ff（x）+kf（x）+m]，[y=fg（x）+kx]等。“嵌套”函数的零点数量、零点范围、参数范围问题是高考的命题热点，时常出现在选择题或填空题中。“自（互）嵌套型”和“二次嵌套型”是较为常见的两类嵌套函数，解决这类问题的关键是如何“解套”。

［例4］已知函数[f（x）=（x2+x-5）ex]，若函数[g（x）=f（f（x））-a（a>0）]，则[g（x）]的零点个数不可能是（ ）。

A. 1 B. 3 C. 5 D. 7

分析：首先由[f（x）]画出[f（x）]的大致图像，设[t=f（x）]，则[f（t）=a]，分三种情况，[0<a<7e4]，[a=7e4]，[a>7e4]，分别讨论[f（t）=a]根的情况，即可得出答案。

解：令[g（x）=0]，即[f（f（x））=a]，因为[f（x）=（x2+x-5）ex]，所以[f（x）=（x2+3x-4）ex]。

由[f（x）>0]，得[x<-4]或[x>1]，由[f（x）<0]得[-4<x<1]，则[f（x）]在（-∞，-4）和（1，+∞）上单调递增，在（-4，1）上单调递减，因为[f（-4）=7e4]，[f（1）=-3e]，当[x→+∞]时，[f（x）→+∞]，当[x→-∞]时，[f（x）→0]，令[f（x）=0]，解得[x=-1+212]或[x=-1-212]，所以可画出[f（x）]的大致图象（如图2），设[t=f（x）]，则[f（t）=a]。