利用函数图象求不等式解集
作者： 王益琴
［摘 要］利用函数图象求不等式的解集是初中数学教学中的难点。文章结合几道典型例题，探讨如何利用函数求解不等式解集，以拓宽学生的思维，提升学生灵活处理问题的能力。
［关键词］函数图象；不等式；解集
［中图分类号］ G633.6 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-6058（2023）35-0024-04
利用函数图象求不等式的解集是初中数学教学中的难点，处理这一类问题，要运用转化思想、数形结合思想，通过将不等式转化为函数，作出函数的图象，在观察中获取不等式的解集。下面笔者结合几道典型例题，从五个方面进行分析探讨。
一、观察两个一次函数图象得不等式解集
画出一次函数[y=k1x+b]和[y=k2x+b]的图象，通过观察可以得到不等式[k1x+b>k2x+b]和[k1x+b<k2x+b]的解集，还可以得到不等式组[k1x+b>0，k2x+b<0]和[k1x+b<0，k2x+b>0]的解集。
［例1］如图1所示，在同一个坐标系中，一次函数[y=k1x+b1]和[y=kx+b]的图象分别与[x]轴交于点[A]、[B]，两直线相交于点[C]，已知点[A]的坐标为（-1，0），点[B]的坐标为（2，0），观察图象并回答下列问题：（1）关于[x]的不等式[kx+b<0]的解集是 ；（2）直接写出关于[x]的不等式组[kx+b>0，k1x+b1>0]的解集是 ；（3）若点[C]的坐标为（1，3），关于[x]的不等式[k1x+b1>kx+b]的解集是 。
分析：（1）不等式[kx+b<0]的解集，就是函数[y=kx+b]，当[y<0]时，对应[x]的取值范围，据此可得到答案；（2）观察两个函数图象在[x]轴上方部分对应的自变量的取值范围的公共部分，可以得到不等式组的解集；（3）观察函数[y=k1x+b1]的图象在函数[y=kx+b]图象的上方时，对应的自变量的取值范围，可以得到不等式的解集。
解：（1）观察[y=kx+b]的图象，当[x>2]时，[y<0]，所以关于[x]的不等式[kx+b<0]的解集为[x>2]。
（2）点[A]的坐标为（-1，0），点B的坐标为（2，0），观察函数图象，得[-1<x<2]时，函数[y=k1x+b1]的图象在[x]轴上方，函数[kx+b]的图象也在[x]轴的上方，此时函数值都大于0，所以关于[x]的不等式组[kx+b>0，k1x+b1>0]的解集[-1<x<2]。
（3）观察函数图象，可知当[x>1]时，一次函数[y=k1x+b1]的图象在一次函数[y=kx+b]图象的上方，所以不等式[k1x+b1>kx+b]的解集是[x>1]。
二、观察一次函数与绝对值函数的图象得不等式的解集
对于含有绝对值的不等式，如何求其解集呢？可以将不等式化为绝对值与一个代数式的不等关系，然后画出绝对值函数与一次函数的图象，观察函数图象求解。
［例2］［问题提出］如何解不等式[x-1+x-3>x+2]？
预备知识1：图2中给出了函数[y=x+1]和[y=2x+3]的图象，观察图象，我们可得：当[x>-2]时，函数[y=2x+3]的图象在[y=x+1]图象的上方，由此可知：不等式[2x+3>x+1]的解集为 。
预备知识2：函数[y=x=x（x≥0），-x（x<0），]称为分段函数，其图象如图3所示，实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号。比如化简[x-1+x-3]时，可令[x-1=0]和[x-3=0]，分别求得[x=1]和[x=3]（称1、3分别是[x-1]和[x-3]的零点值），这样可以就[x<1]，[1≤x<3]，[x≥3]三种情况进行化简，得[4-2x（x<1），2（1≤x<3），2x-4（x≥3）。]
预备知识3：函数[y=b]（[b]为常数）称为常数函数，其图象如图4所示。
［知识迁移］如图5所示，直线[y=x+1]与直线[y=ax+b]相交于点A（[m]，3），则关于[x]的不等式[x+1≤ax+b]的解集是 。
［问题解决］结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式[x-1+x-3>x+2]。在平面直角坐标系内作出函数[y=x-1+x-3]的图象，如图6所示。在同一直角坐标系内再作出直线[y=x+2]的图象，如图7所示，可以发现函数[y=x-1+x-3]与[y=x+2]的图象有两个交点，这两个交点坐标分别是 ， ；通过观察图象，便可得到不等式[x-1+x-3>x+2]的解集。这个不等式的解集为 。
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图6 图7
分析：
［问题提出］当[x>-2]时，函数[y=2x+3]的图象在[y=x+1]的图象上方，也就是[x>-2]时，[2x+3>x+1]。
［知识迁移］由点A（[m]，3）在[y=x+1]上，可求出m的值，观察函数[y=ax+b]的图象在[y=x+1]的图象的上方时，对应[x]的取值范围，即可得到不等式的解集。
［问题解决］将绝对值函数化为[y=4-2x（x<1），2（1≤x<3），2x-4（x≥3），]观察图象，求直线[y=4-2x]与[y=x+2]的交点坐标，直线[y=2x-4]与[y=x+2]的交点坐标，观察[y=x-1+x-3]的图象在[y=x+2]的上方时对应自变量的取值范围。
解：［问题提出］如图2所示，∵当[x>-2]时，函数[y=2x+3]的图象在[y=x+1]的图象上方，∴不等式[2x+3>x+1]的解集为[x>-2]。
［知识迁移］如图5所示，∵点A（[m]，3）在[y=x+1]上，∴[m+1=3]，解得[m=2]，∴A（2，3），∵当[x≤2]时，函数[y=ax+b]的图象在[y=x+1]的图象的上方，∴不等式[ax+b≥x+1]，即[x+1≤ax+b]的解集为[x≤2]。
［问题解决］如图6、图7所示，设[y=x-1+x-3]，根据题意得[y=x-1+x-3=4-2x（x<1），2（1≤x<3），2x-4（x≥3），]由函数图象得[y=4-2x]与[y=x+2]有交点，则[y=4-2x，y=x+2，]解得[x=23，y=83，][y=2x-4]与[y=x+2]有交点，则[y=2x-4，y=x+2，]解得[x=6，y=8，]
∴[y=x-1+x-3]与[y=x+2]的两个交点坐标分别为[23，83]和（6，8），由函数图象可知，当[x<23]时，[y=x-1+x-3]的图象在[y=x+2]的上方；当[x>6]时，[y=x-1+x-3]的图象在[y=x+2]的上方，故不等式[x-1+x-3>x+2]的解集为[x<23]或[x>6]。
三、观察反比例函数与一次函数图象得不等式解集
反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，是反比例函数考查的重点，在这样的试题中，一般会有这样三个问题，求两个函数表达式，求形成的三角形面积，求不等式的解集。求不等式的解集时，需要观察两个函数图象的交点坐标，及两个函数图象的相互位置关系。
［例3］如图8所示，一次函数[y1=k1x+b]的图象与[x]轴、[y]轴分别交于[A]、[B]两点，与反比例函数[y2=k2x]的图象分别交于[C]、[D]两点，点[B]的坐标为（0，2），点[C]的坐标为（2，4）。（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）已知[D]（-4，-2），求[△COD]的面积；（3）直接写出[k1x+b<k2x]时，[x]的取值范围。
分析：（1）把点[C]的坐标代入反比例函数，把点[B]、[C]的坐标代入一次函数，求得两个函数表达式；（2）根据[S△COD=S△BOC+S△BOD]进行计算，根据点[B]、[C]、[D]的坐标求得这些三角形的高与底边；（3）分别在第一象限、第三象限内，观察一次函数图象在反比例函数图象的下方时对应的自变量的取值范围。
解：（1）∵点C（2，4）在反比例函数[y2=k2x]的图象上，∴[k2=2×4=8]，∴[y2=8x]。∵B（0，2），C（2，4），B、C在[y1=k1x+b]的图象上，∴[2k1+b=4，b=2，]∴[k1=1，b=2，]∴一次函数为[y1=x+2]。
（2）依据题意，∵D（-4，-2），B（0，2），C（2，4），∴[S△COD=S△BOC+S△BOD=12×2×2+12×2×4=6]。
（3）观察函数图象，得在第一象限内，当[0<x<2]时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，在第三象限内；当[x<-4]时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，所以当[0<x<2]或[x<-4]时，[k1x+b<k2x]。
四、观察二次函数图象得不等式的解集
如何求一元二次不等式的解集呢？实际上一元二次不等式可以看作二次函数当函数值大于0或小于0时，对应自变量的取值范围，所以求一元二次不等式的解集，需要画出对应二次函数的图象，观察函数图象在[x]轴上方或下方部分对应的自变量的取值范围可以求得不等式的解集。
［例4］请阅读下列解题过程：解一元二次不等式：[x2-2x-3<0]。解：设[x2-2x-3=0]，解得：[x1=-1]，[x2=3]，则抛物线[y=x2-2x-3]与[x]轴的交点坐标为（-1，0）和（3，0）。画出二次函数[y=x2-2x-3]的大致图象（如图9）。由图象可知：当[-1<x<3]时，函数图象位于[x]轴下方，此时[y<0]，即[x2-2x-3<0]，所以一元二次不等式[x2-2x-3<0]的解集为[-1<x<3]。
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的 和 （只填序号）。
①转化思想