加强数理融合思维考查　凸显高考评价体系内涵

［摘 要］高考的核心功能是立德树人、服务选才、引导教学。高考试题的命制要充分发挥育人功能，考查学生核心素养的发展情况与解决跨学科问题的能力，以适应高校选拔、新时代卓越创新型人才培养的要求。文章以2023年新高考全国卷数学、物理试题为例，基于跨学科理念对高考试题进行分析，以期对高中数学、物理学科的教学提供借鉴。

［关键词］数理融合思维；跨学科；高考

［中图分类号］    G633.7        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2023）35-0040-04

［基金项目］本文系江苏省高等教育学会资助课题“新工科背景下大学物理课程思政的实践与探索”（项目编号： 2020JDKT038 ）、苏州大学东吴学院重点培育课题“‘新工科’背景下数理深度融合的教学实践与探索”的研究成果。

［通信作者］曹海霞，女，江苏人，教授，博士，主要研究方向为物理教学研究和凝聚态物理理论研究。

党的二十大报告把教育、科技、人才作为一个整体进行论述，赋予教育以崇高的时代使命。提高人才自主培养质量是践行为国育才使命的必然路径。我国新一轮课程改革的目标指向落实核心素养，促进学生全面发展。《义务教育物理课程标准（2022年版）》新增了“跨学科实践”一级主题，旨在提升学生运用跨学科知识的能力及分析和解决问题的能力。高中数学、物理新课程标准强调数学、物理与生活以及其他学科的联系，强调基于真实情境培养学生综合运用数学、物理知识解决实际问题的能力，从而促进学生学科素养的全面提升。《中国高考评价体系》明确“一核四层四翼”的高考考查要求，强调高考试题的命制要注重基础性、综合性、应用性与创新性。在这样的背景下，物理、数学高考试题注重考查学生从不同角度发现、分析和解决跨学科问题的能力，特别是加强创设真实问题情境，考查学生综合运用数学、物理知识解决问题的能力，以适应高校选拔、新时代卓越创新型人才培养的要求。

无论是从学科的发展历史来看，还是从现代学科的特点来看，物理与数学都存在着巨大的交叉空间。在当前大中学贯通式教育的大背景下，加强学生数理融合思维的培养尤为重要。数理融合是指教师在承认数学、物理差异的前提下，有意识地应用贯通两学科概念原理的教学内容、情境素材、思维方法，帮助学生实现知识体系、学科技能的多元化融合，促进数学、物理学科核心素养的共同发展［1-2］。数理融合强调打破学科界限，依据数学与物理的思维互通性，提炼出数学与物理交融的知识点，发展学生的高阶思维能力，以此为基础整合数学与物理的学科教学。本文以2023年新高考全国卷数学、物理试题为例，基于跨学科理念对高考试题进行分析，以期对高中数学、物理学科的教学提供借鉴。

一、运用物理知识巧解数学高考题

创设情境是培养学生学科核心素养的有效途径。设计及运用情境化问题，有利于提升学生在真实情境下解决学科问题和跨学科问题的能力，促进学生学科核心素养的全面提升。设计情境化试题可以考查学生的学科核心素养，这也是当前高考各学科命题的必然趋势。数学高考题中的情境化问题为数学建模提供了背景材料，体现了数学源于社会、生活、科技和工程技术的发展，让学生感受到了数学的功能性和应用价值，彰显了数学的魅力。2023年新高考全国卷数学试题具有两个显著特点：一是体现了新课程改革、新高考改革的要求，深化考查内容的基础性与综合性，凸显了跨学科理念；二是注重与真实情境融合，重在落实“科学态度与责任”核心素养。例如全国Ⅰ卷第10题以噪声污染为问题情境，利用对数函数研究噪声声压级；全国Ⅱ卷第12题通过通信工程领域中信号处理时发出、接收信号的0或1的概率来考查概率问题。

［例1］（2023年新高考全国Ⅰ卷数学第10题）噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级[Lp=20×lgpp0]，其中常数[p0（p0>0）]是听觉下限阈值，[p]是实际声压，下表为不同声源的声压级：

[声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 ]

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车[10 m]处测得实际声压分别为[p1、p2、p3]，则（ ）。

A. [p1≥p2] B. [p2>10p3]

C. [p3=100p0] D. [p1≤100p2]

解析：根据题干中给出的声压级定义式[Lp=20×lgpp0]，可得[p=10LP20p0]。燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车的声压级为：[60≤Lp1≤90]、[50≤Lp2≤60]、[Lp3=40]，由此可求得对应的声压为：[103p0≤p1≤104.5p0]、[102.5p0≤p2≤103p0]、[p3=102p0]。由[p1≥103p0≥p2]可知选项A正确；因为[10p3=103p0]，所以[10p3≤p2]，选项B错误；因为[p3=102p0]，选项C正确；因为[105p0≥100p2≥104.5p0] ，所以[p1≤100p2]，选项D正确。

点评：本题以噪声污染为问题情境，引入度量声音强弱的物理量声压级，是一道考查学生综合运用物理、数学知识解决问题的能力的好题。解题时学生需要结合实际情境建立适当的数学模型，再运用数学知识进行解题。难点在于将题目给出的物理模型等转换为数学模型，即“解模”。汽车噪声污染取材于现实生活情境，体现了数学在解决实际问题中的重要作用。我国大力提倡发展新能源汽车产业，电动汽车不仅具有对环境无污染这一特点，相较于其他汽车还具有噪声小的优点，充分展现出了电动汽车的优势，顺应了绿色经济的潮流。本题贴近社会热点话题，旨在引导学生关注新能源的应用和培养学生保护环境的社会责任感，真正实现了“立德树人”目标。

本题的原型源自人教版高中数学必修第一册（A版）第141页第10题，是一道非常典型的数理融合题。

声强级[LI]（单位：dB）由公式[LI=10lgI10-12]给出，其中I为声强（单位：[W/m2]）。

（1）一般正常人听觉能忍受的最高声强为1[ W/m2]，能听到的最低声强为[10-12 W/m2]。求人听觉的声强级范围。

（2）平时常人交谈时的声强约为[10-6 W/m2]，求其声强级。

声强级是一个物理概念。高中物理虽未介绍声波的知识，但学生在初中已掌握了相关的物理背景知识。以苏科版初中物理教材为例，学生在初二就学习了“声现象”一章的知识，本章的“生活·物理·社会”栏目拓展介绍了有关声强级的内容，列出了不同声强级的声音对人的影响。这也充分显示了初高中物理教材的编写注重体现跨学科理念及教材内容的贯通性和衔接性，为培养学生的数理融合思维提供了可能。物理教材中的“声强级”与高考数学试题中的“声压级”有何区别？要弄清楚这一问题，首先需要理解机械波中的能流密度（又称“波的强度”，用I表示）的定义：单位时间内通过垂直于波线方向的单位面积上的平均能流，可表示为[I=12ρω2A2u]，其中[ρ]为介质的密度，[ω]为振动频率，A为振幅，[u]为波速。声波的能流密度称为声强，人耳对声音强弱的主观感觉称为响度。实验表明，响度近似地与声强的对数成正比，声强级[LI]用声强的对数来表示：[LI=10lgII0]，式中[I0]是频率为1000 Hz时人耳能感觉到的最低声强（闻域的声强），[I0=10-12  W/m2]，声强级的单位是分贝（dB）。声压（用p表示）是指介质中有声场时的压强与无声场时的压强之差，声压级[Lp]用声压的对数来表示：[Lp=20×lgpp0]。一般可认为声压级与声强级的数值近似相等，推导过程如下：当声波以平面波或球面波的形式进行传播时， [p2=Iρu]，由题干给出的声压级定义式[Lp=20×lgpp0]，[p0=2×10-5 N/m2]，计算可得[LI=Lp+10lgp20ρuI0]，[ρu=ρc]为介质的声阻抗率，随介质的温度与气压发生改变［3］。在20 ℃和1 atm条件下（[ρ=1.2 kg/m3]，[u=340 m/s]），[10lgp20ρuI0=10lg400408=-0.09 dB]，声压级与声强级相差0.09 dB，可近似认为两者数值相等，但两者的物理意义并不相同。在日常生活中表示噪声大小时常用声压级，而表示声音的能量时则用声强级。

［例2］（2023年新高考全国Ⅱ卷数学第16题）已知函数[f（x）=sin（ωx+φ）]，如图1所示，A、B是直线[y=12]与曲线[y=f（x）]的两个交点，若[AB=π6]，则[f（π）=]            。

解法1：设A、B点的横坐标分别为[x1]、[x2]，则[ωx1+φ=π6]，[ωx2+φ=5π6]，又因为[x2-x1=π6]，解得[ω=4]。曲线[y=f（x）]过[2π3，0]，则[4×2π3+φ=2π]，即[φ=-2π3]，解得函数[f（x）=sin4x-2π3]，可得[f（π）=-32]。

解法2：从物理视角运用简谐运动的矢量表示法（又称“简谐运动的参考圆方法”）求解。如图2（a）所示，A是一个长度不变的矢量，起点在[x]轴的原点处。[t=0]时，[A]与[x]轴的夹角为[φ]，矢量[A]以角速度[ω]绕坐标原点沿逆时针方向做匀速圆周运动。矢量[A]在任意时刻[t]与[x]轴的夹角为[ωt+φ]。矢量[A]在[y]轴上的投影可表示为[y=Asin（ωt+φ）]，代表一个简谐运动。[A、ω、φ]分别表示简谐运动的振幅、角速度和初相位。本题中将[f（x）=sin（ωx+φ）]的图像转换到半径为1的参考圆中，[x、ω、ωx+φ]分别表示运动时间、角速度、相位。由[y=12]图像对应的[A]、[B]两点可标出对应在参考圆上的位置，如图2（b）所示。经过时间[Δx=π6]，旋转矢量转过角度[Δφ=2π3]，故矢量旋转的角速度[ω=ΔφΔx=4（rad/s）]。由图1可知运动时间[x=2π3]时，[y=0]，对应图2（b）的[C]点，相位[ωx+φ=4×2π3+φ=2π]，则初相位[φ=-2π3]。

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（a）                                      （b）

图2

点评：质点的匀速圆周运动模型是一个典型的物理运动模型，高中生已掌握匀速圆周运动的相关基本概念和质点的运动规律，运用参考圆方法，可以让学生更直观地体会数学中的正余弦函数与物理中的匀速圆周运动的紧密联系以及数学建模与物理建模之间的关系，真正实现学科间的深度融合，促进学生高阶思维能力的提升。

二、运用数学方法速解物理问题

数学与物理密不可分，物理是应用数学知识最为广泛和最为充分的学科。高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的运用，运用数学知识与方法解决物理问题的能力是高考物理考查的能力之一。常见的数学方法有图像法、极值法、几何法和微元法等［4］。2023年高考全国甲卷与乙卷物理试题中的“数理融合”题凸显了两大特点：（1）数学知识范围广，涉及“圆”的平面几何、三角函数、相似三角形等；（2）数学方法应用难度大。这要求学生不仅要会运用数学知识，还要能够运用数学思想方法解决物理问题。从具体的试题来看，全国甲卷计算题第2题运用微元法，通过对微元进行求和从而得到完整的运动过程；全国乙卷选择题第5题，利用角度关系找出粒子运动半径是解题的关键；全国乙卷选择题第8题，巧妙地利用物块与木板的[v-t]图像，能快速比较位移的大小关系。