两线结合 轻松解题

[摘 要]角平分线和垂直平分线是非常重要的解题“钥匙”。研究角平分线和垂直平分线的综合应用，能让学生灵活、轻松解题。

[关键词]角平分线;垂直平分线;综合应用

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2022）05-0023-03

角平分线和垂直平分线作为初中数学的“两线”，无论是其定义、性质、判定、画法还是应用，都在初中数学几何中有着举足轻重的地位。可以说，学生掌握好这“两线”对解题大有裨益。本文结合实例对角平分线和垂直平分线的综合应用进行分析。

一、角平分线和垂直平分线的妙用

角平分线和垂直平分线的教学都是按照定义、性质、判定、画法、应用五个方面进行的。角平分线和垂直平分线既有相通、相似之处，又能结合起来设置更具灵活性的问题。一般来说，角平分线和垂直平分线有如下妙用。

（一）角平分线的妙用

角平分线的作用非常多，常用来求证点到线的距离相等问题。具体思路有“角平分线 + 垂两边”“角平分线 + 造全等”“角平分线、平行线 + 等腰三角形”“角平分线、垂线 + 等腰三角形”。

[例1]如图1所示，在[Rt△ABC]中，[∠C=90°]，[AD]平分[∠BAC]，交[BC]于点[D]。若[DC=7]，则[D]到[AB]的距离是            。

分析：首先，要充分理解“D到[AB]的距离”，此为“点到直线的距离”定义，所以应过点[D]作[AB]的垂线;然后再结合“[AD]平分[∠BAC]”这一条件，过角平分线AD上的一点向[∠BAC]的两边作垂线，最后利用“角平分线上的点到角两边距离相等”的性质来解决问题。

[例2]如图2所示，[∠1=∠2]，[OE=OF]，连接[DE]，[DF]，求证：[△ODE≌△ODF]。

分析：本题欲证明两个三角形全等，那么应先寻找证明其全等的条件。由题意可知，两个三角形的两个对应夹角未知，而这需要根据“[OC]平分[∠AOB]”获得。可在[∠AOB]的两边上取相等的线段后，结合角平分线构造全等三角形。

[例3]如图3所示，在[△ABC]中，[BO]，[CO]分别为[∠ABC]，[∠ACB]的平分线，经过点[O]的直线[DE∥BC]，交[AB]于点[D]，交[AC]于点[E]。若[BD=3]，[EC=2]，则[DE=]           。

分析：有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的另一边的平行线，从而构造等腰三角形。也可以过角的一边上的一点作角平分线的平行线，与角的另一边所在直线交于一点，从而构造等腰三角形。如果没有角平分线，那么需要留意题中是否有垂直平分线、中位线、平行线、等腰三角形等条件，因为运用这些条件解决问题时也可产生与运用角平分线性质相同的效果。

[例4]如图4所示，在[Rt△ABC]中，[AB=AC]，[∠BAC=90°]，[BD]平分[∠ABC]，[CE⊥BD]的延长线于[E]。求证：[BD=2CE]。

分析：从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与另一边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用等腰三角形“三线合一”的性质（若题目条件中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段止于角的另一边）。另外，利用所作的垂线还能构造一对全等的直角三角形。

[例5]如图5所示，有[L1]、[L2]两条公路相交于点[O]，现要在公路内部修建一个加油站[A]，使得加油站到两条公路到[L1]、[L2]的距离相等，你认为该加油站应该在何处修建较好？

分析：要解决这类问题，首先要想到角平分线的一个妙用，即作出点使其到两边的距离相等。在这里可以将加油站[A]看成角内部的一个点，然后只要作出角的角平分线就能确定加油站所在的位置，即位于[OA]这条射线上，因为可以根据角平分线的性质得到这样的[A]点到角的两边的距离相等。

（二）垂直平分线的妙用

垂直平分线的作用也有很多，常见的有可用来求点到点的距离相等、转换线段的位置等。

[例6]如图6所示，在[△ABC]中，[AB]，[AC]的垂直平分线分别交[BC]于点[D]，[E]，垂足分别为[F]，[G]，已知[△ADE]的周长为12 ㎝，则[BC=]             。

分析：在本题中，需要将线段[AD]转换至[BD]，将[AE]转换至[EC]。这样一来，原本告知的“[△ADE]的周长为12 ㎝”条件，便瞬间转化为“[BD+DE+EC=12]”，这就是本题所求的[BC]的长度。

[例7]如图7所示，某城市规划局为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区[A]、[B]、[C]之间修建一个购物中心，试问：该购物中心应建于何处，才能使得它与三个小区的距离相等？

分析：这一类问题在初中几何尤为常见，所采用的方法就是先将[A]，[B]，[C]三点连接成一个三角形，然后分别作这个三角形每条边的垂直平分线，这三条垂直平分线会相交于某一个点，该点则为购物中心修建处。

二、角平分线和垂直平分线的综合应用

角平分线和垂直平分线的综合应用主要体现在两个方面，一是借助角平分线和垂直平分线进行计算和证明，二是借助角平分线和垂直平分线进行尺规作图。

（一）借助角平分线和垂直平分线进行计算和证明

[例8]如图8所示，在[△ABC]中，[∠ABC=45°]，[DH]垂直平分[BC]交[AB]于点[D]，[BE]平分[∠ABC]，且[BE⊥AC]，垂足为点[E]，与[CD]相交于点[F]。

（1）线段[BF]与线段[AC]相等吗？

（2）[CE]与[12BF]之间有何关系，为什么？

分析：本题同时出现了角平分线和垂直平分线，在综合应用的过程中需同时考虑“两线”的性质及其应用。

（1）线段[BF]与线段[AC]相等。因为[DH]垂直平分[BC]且[∠ABC=45°]，所以[BD=DC]，且[∠BDC=90°]。因为[∠A+∠ABF=90°]，[∠A+∠ACD=90°]，所以[∠ABF=∠ACD]。可以证明[△BDF]和[△CDA]全等，由全等三角形的性质得到[BF=AC]。

（2）由（1）分析可知[BF=AC]。因为[BE]平分[∠ABC]，所以[∠ABE=∠CBE]且[BE⊥AC]，可以证明[△ABE]和[△CBE]全等，得到[CE=AE=12AC=12BF]。

小结：当一道计算题或证明题中同时出现角平分线和垂直平分线时，首先需要根据角平分线和垂直平分线分别得出相应的结论，然后将它们根据解题需要进行综合应用。一般来说，有角平分线和垂直平分线的题目，通常会涉及全等三角形。

[例9]如图9所示，[∠A=90°]，[BE]平分[∠ABC]，[DE]垂直平分[BC]，[AB=6]，[AC=8]。求[△ABE]的面积。

分析：本题同时出现角平分线和垂直平分线，那么在分析问题时，应分别利用“两线”得出结论，然后借助直角三角形列出相应的方程。由角平分线可得[AE=DE]，由垂直平分线可得[BE=EC]。此时，不妨设[AE]为[x]，那么[EC=8-x]，所以在直角三角形[ABE]中，可得[x2+62=（8-x）2]。解之即可求出[△ABE]的面积。

小结：这种模型在学生平时训练时经常会见到，解题的基本思路是先找出等边后设未知数并解方程，即把相关的边放在一个直角三角形中，然后利用勾股定理列出方程，通过数形结合解决问题。

（二）借助角平分线和垂直平分线进行尺规作图

[例10]如图10所示，[AB]和[BC]两条公路相交于[B]点，在其内部有[D]、[E]两个村庄。为了给两村村民提供更多生活便利，现计划在[∠ABC]的内部建一个超市，要求该超市与两个村庄的距离相等，且同时到两条公路的距离相等。运用所学知识，采用尺规作图画出该超市点[P]。

分析：本题需要同时考虑角平分线和垂直平分线，因为“要求该超市到两个村庄的距离相等，且同时到两条公路的距离相等”。因此，点[P]既要在[∠ABC]的角平分线上，又要在线段[DE]的垂直平分线上。如图10所示，连接[DE]，作[DE]的垂直平分线，再作出[∠ABC]的角平分线，两线相交于点[P]，则点[P]为所求的点。

小结：遇到这类尺规作图问题，首先要熟识作图方法，然后要清楚“点到点的距离相等作垂直平分线，点到边的距离相等作角平分线”。

综上所述，在一个问题中同时出现角平分线和垂直平分线时，要掌握“两线”的定义、性质、判定、画法应用等内容，以及与之相关的等腰三角形、全等三角形等知识。只有理解掌握这些知识点，才能灵活解决问题。因此，教师在平时教学中要注重这方面的训练，积极帮助学生构建知识体系和掌握解题技巧。

[   参   考   文   献   ]

[1]  任淑芳，张森.找出“型”方能“行”，能力才能得提升：以“角平分线的综合应用”教学为例[J].中学数学， 2020（22）：12-13，22.

[2]  乔琦花，董磊.运用“几何画板”，凸显数学思想方法教学：以“平行线的性质与判定的综合应用”为例[J].中学数学教学参考，2020（8）：75-78.

[3]  高峰.应用“线段垂直平分线性质定理”解题[J].中学生数学，2013（12）：41-42.

（责任编辑 黄桂坚）