高中数学项目式课堂教学案例分析

[摘 要]实施高中数学项目式课堂教学，有利于学生深度学习，有利于落实“立德树人”的根本任务。

[关键词]高中数学;项目式教学;直线参数方程

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2022）08-0016-04

国务院办公厅2019年印发的《关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见》指出，要培养学生学习能力，促进学生系统掌握各学科基础知识、基本技能、基本方法，培养适应终身发展和社会发展需要的正确价值观念、必备品格和关键能力。《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，通过数学课程的学习，学生应能“提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”，这是基于发展学生数学学科核心素养这一要求的高中数学课程目标之一。基于数学学科核心素养的高中数学教学应提倡以问题为导向，以活动为载体，采用问题驱动式教学方式，立足于问题发现、提出、分析、解决的全过程，在问题解决的过程中引发、深化学生的数学思考，促进学生数学学科核心素养的提升。教学要从以教师为中心的直接教学转向以学生为中心的探究性学习。其中基于项目的探究性学习是最为常用的方法。项目式教学是让学生在参与中进行持续的投入、合作、研究和资源管理，在真实情境中解决真实性问题的教学方法，分为项目规划、项目实施、项目展示、项目评价四个阶段。下面以“直线的参数方程”为例进行说明。

本课例是人教版普通高中课程标准实验教科书数学选修4-4第二讲的第三部分“直线的参数方程”的第二课时。通过第一课时的学习，学生对直线的参数方程中的参数[t]有了初步的认识。本节课作为第一课时的延伸，为了让学生更好地利用直线参数方程中的[t]来解决直线与曲线相交的弦长问题，笔者以“项目式教学”来组织课堂教学。

一、项目规划

项目式教学的第一阶段就是项目规划阶段，项目规划内容包括：

1.活动背景。直线的参数方程是高考的选考内容。考纲要求学生理解参数方程的概念，了解常用参数方程中参数的几何意义，其中直线的参数方程是重点考查内容之一。直线的参数方程的标准形式有其特殊的表现形式，其参数也有明确的几何意义，因而在解题时有其独特的作用。

2.活动目的。本节课的活动目的是让学生学会利用直线的参数方程中的参数[t]的几何意义解题，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，培养学生的团队合作精神。

3.活动立项。利用直线的参数方程中的[t]来解决直线与曲线相交的弦长问题。

4.项目评价。项目评价包含目标定位评价、内容设定评价、探究方法评价、成果评价等。

下面通过“直线的参数方程”的教学来进行说明。

师：第一课时我们学习了直线的参数方程，直线的参数方程中的参数[t]能帮助我们解决数学中的什么问题？非常期待！让我们先来回顾一下。

问题1：直线的参数方程[x=x0+tcosα ，y=y0+tsinα]（[t]为参数）的标准形式是什么？（如图1）直线的参数方程中每个量的含义是什么？

问题2：标准形式中[t]的几何意义是什么？（[PA=t]，其中定点P[ （x0， y0）]）

问题3：如何用[t]表示直线上两点间的距离？[PA=t]

问题4：定点[P（x0， y0）]所在直线与曲线交于[A]，[B]两点，则[PA+PB]，[PA·PB]，[AB]这些与线段有关的几何量如何用[t]表示？

（1）[PA+PB=t1+t2=t1+t2，（t1t2>0）t1-t2。（t1t2<0）]

（2）[PA·PB=t1t2]。

（3）[AB=t1-t2=t1+t22-4t1t2]。

问题5：直线的参数方程中的参数[t]能帮助我们解决数学中的什么问题？在解决这些问题时，要注意什么？

参数[t]能帮助我们解决数学中有关距离的问题。要注意两点：（1）直线的参数方程是否为标准式;（2）这些点都要在该直线上，且与定点[P]有关。

点评：教师以项目来组织课堂教学，教学方法新颖独特;以问题为导向，复习直线的参数方程标准式中[t]的意义，利用参数[t]解决数学中有关距离的问题。通过这样的问题设置，步步深入，培养学生独立思考的学习习惯，也为下面学习新的知识打下坚实的基础。

二、项目实施与展示

项目实施的关键是项目目标的确立。项目目标：能利用参数[t]求解数学中有关距离的问题。通过上面的复习，可以直接让学生先思考下面的例子，然后再总结确立项目目标。

[例1]经过点[P-1， 2]，倾斜角为[π4]的直线[l]与圆[x2+y2=9]相交于[A]，[B]两点，求[PA+PB]和[PA⋅PB]的值。

解：直线[l]的参数方程为[x=-1+22t，y=2+22t]（[t]为参数），将其代入[x2+y2=9]得[t2+2t-4=0]，

∴[t1+t2=-2]， [t1t2=-4]，

[PA+PB=t1+t2=t1-t2=t1+t22-4t1t2=32]，

[PA·PB=t1t2=4]。

[例2]直线[x=3+22t，y=3+22t]（[t]为参数）与椭圆[x216+y24=1]交于[A]，[B]两点，点[P（3， 3）]，求[PA+PB]。

解：将直线[l]的参数方程[x=3+22t，y=3+22t]（[t]为参数）代入[x2+4y2=16]得[5t2+302t+58=0]，

∴[t1+t2=-62]，[PA+PB=t1+t2=62]。

教师引导学生确立项目后，带领学生完成确立的项目，其中3个学习组完成第一个例题，另外3个学习组完成第二个例题，先独立完成，然后再同桌交流讨论，最后由小组长展示各人解法（投影）并回答以下问题：这两题，各人的解法有何不同？由上面两题的解法可以看出，容易出错的点在哪？解答本题的关键在哪？（一是正确写出直线的参数方程，二是注意两个点对应的参数符号的异同）

通过这两题的训练，学生学会了用参数[t]求解数学中有关距离的简单问题，达到了项目设置的基本要求。

点评：传统的数学课堂教学模式相对封闭，学生学习思维不够活跃，习惯了被动学习，学习的主动性和积极性不足。本节课，教师以问题为导向，创设集体性的教学环境，运用项目式教学模式组织教学，让学生开展小组互动，促进学生的交流和讨论，让学生在小组互动中加深对问题的思考，在交流中听取他人的意见，借鉴他人的经验和方法，促进了学生数学学习思维的碰撞，提高了学生的学习效率，培养了学生的集体协作能力，让学生实现了从被动学习向主动学习的转变。

[例3]在平面直角坐标系[xOy]中，圆[C]的参数方程为[x=2cosα，y=2sinα]（[t]为参数），以[O]为极点，[x]轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线[l]的极坐标方程为[ρcosθ-π4=1]。

（1）求圆[C]的普通方程及直线[l]的直角坐标方程;

（2）若直线[l]与圆[C]的交点为[A]，[B]，与[x]轴的交点为[P]，求[1PA-1PB]的值。

解：（1）圆[C]的普通方程为[x2+y2=4]，直线[l]的直角坐标方程为[x+y=2]。

（2）直线[l]的参数方程为[x=2-22t，y=22t]（[t]为参数），代入圆的方程，化简得[t2-2t-2=0]。设[A]，[B]对应的参数分别为[t1]，[t2]，则[t1+t2=2]，[t1⋅t2=-2]，故[1PA-1PB=1t1-1t2=t1+t2t1⋅t2=1]。

学生先独立完成，再同桌交流讨论，最后由一位同学（投影）展示他的解法并回答以下问题。

问题6：例3与例1、例2求距离时有什么不同？容易在什么地方出错？（前面的例子给出了定点，例3没有给出定点，其实是让学生自己去找，也就是找[P]点，同时还要注意[t]的符号）

点评：通过以上三个例子，学生懂得了如何构建项目及实施项目。教师根据教材重点和学生的实际情况提出难易适度、具有思考性的问题，再通过学生自主探究、合作交流以及教师示范、引导、指导，让学生更加明确学习的方向，通过这一项目式的活动探究，使学生轻松掌握新的知识。

知识延伸：直线的参数方程（非标准式）中[t]的应用是本节课的难点，如何突破难点是本节课的关键。

变式1：直线[l]的参数方程为[x=-1+t，y=2+t]（[t]为参数），直线[l]与圆[x2+y2=9]相交于[A]，[B]两点，求[PA+PB]，[PA·PB]的值。

问题7：直线的参数方程和例1有什么不同？请你复述一下直线的参数方程中每个量的含义。下列变式中的参数[t]是否具有同样的意义？

问题8：直线的参数方程[x=-1+t，y=2+t]（[t]为参数）的斜率是多少？直线的参数方程[x=x0+at，y=y0+bt]（[t]为参数）的斜率又是多少？

点评：以问题为导向，环环相扣，让思维的脉络在有序的轨道上层层递进。

问题9：直线的参数方程[x=x0+at，y=y0+bt]（[t]为参数）中的[a]，[b]与标准式中[x=x0+tcosα，y=y0+tsinα]（[t]为参数）的[cosα]，[sinα]有何联系？[cosα]，[sinα]能否用[a]，[b]表示？

分析：直线[x=x0+at，y=y0+bt]（[t]为参数）化为[x=x0+a2+b2·aa2+b2ty=y0+a2+b2·ba2+b2t]（[t]为参数），令[t=a2+b2t]，

[cosα=aa2+b2]，[sinα=ba2+b2]，则有[x=x0+tcosα，y=y0+tsinα] （[t]为参数）。

问题10：直线的参数方程为[x=x0+at，y=y0+bt]（[t]为参数），直线交曲线[C]于[A]，[B]两点，定点[P（x0， y0）]，如何求[PA+PB]，[PA·PB]，[AB] ？

总结得出结论：[PA+PB=a2+b2t1+t2=a2+b2t1+t2，（t1t2>0）a2+b2t1-t2。（t1t2<0）]

[PA·PB=a2+b2t1t2]。

[AB=a2+b2t1-t2]。

点评：问题8和问题9是项目式教学的核心问题，是本节课的难点，教师通过两个问题的设置，引导学生发现、探索并解决问题。在学生自主思考的基础上，通过学习互助小组，让学生先在同桌之间进行交流，然后小组讨论，这样每个学生都有了思考的机会和时间。教师鼓励学生大胆质疑，给他们充裕的时间去思考，在交流中丰富知识，在探索中解决问题，这样能让学生对知识有更加深入的理解，很好地提高了学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。

变式1解法1：直线[l]的参数方程化为[x=-1+22t，y=2+22]（[t]为参数），以下解法同上。

总结：把直线的参数方程的非标准式化为标准式[x=x0+tcosα，y=y0+tsinα]（[t]为参数），则有[PA=t1]，[PB=t2]，问题就迎刃而解了。

变式1解法2：将直线的参数方程[x=-1+t，y=2+t]（[t]为参数）代入[x2+y2=9]得[t2+t-2=0]，设[A]，[B]对应的参数分别为[t1]，[t2]，则[t1+t2=-1]，[t1t2=-2]，[PA+PB=2t1+2t2=2t1+t22-4t1t2=32]，[PA·PB=2t1·2t2=2t1t2=4]。