自感“千人震”实验的理论分析与数值模拟

摘   要：对中学物理“自感现象”教学中经常被教师引入课堂的“千人震”自感小实验进行理论分析和数值模拟。详细分析了实验中开关闭合和开关断开过程中的电流和电压变化，并且结合相关实验参数对闭合开关瞬间和断开开关瞬间电流和电流变化率随时间演化的数值模拟，深入解释实验产生“千人震”现象的原因。

关键词：“千人震”实验；自感；数值模拟

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2024）2-0047-4

在中学物理电磁感应部分的“自感现象”教学中，很多教师将“千人震”自感小实验引入课堂，让学生现实体验自感现象的有趣和神秘［1-2］。该实验原理如图1所示，实验器材也非常简单，选用生活中常用的电动势为1.5 V的干电池作为直流电源，一个用于日光灯上的镇流器（电感），以及开关和导线。实验邀请几个学生手拉手站成一排，两边的学生分别抓住导线的两端与镇流器并联（图1），这时开关处于断开状态；然后闭合开关；经过一段时间后再断开开关。该实验的结果是：在开关由断开到闭合瞬间的过程，参与实验的学生没有触电的感觉；开关持续接通的过程中，参与实验的学生仍然没有触电的感觉；然而，在断开开关的瞬间，参与实验的学生有明显的触电感觉。此实验有惊无险，学生对一节干电池的“威力”疑惑不解时，教师也顺利引入“自感现象”的教学。之所以参与实验的学生会有触电的感觉，是由于镇流器产生的自感高压［3-4］。本文就实验的几个过程从理论上详细分析电流、电压的变化。

1    实验理论分析

如图1所示，设电源电动势为E（忽略电源内阻），镇流器自感系数为L，电阻为R（简单起见，这里将镇流器的电阻从镇流器中分离出来，与外电阻合并成电阻R），参与实验学生的电阻为Rm。实验开始，参与实验的学生按照图1握住导线两端。闭合开关S前，整个电路没有任何电流。闭合开关S，电阻+镇流器（R+L）支路和参与实验学生（Rm）支路并联与电源E接通，如图2所示。其中，通过电源的总电流为I；参与实验学生（Rm）支路，在闭合开关S瞬间与电源直接相连，电流不随时间变化，记为Im；电阻+镇流器（R+L）支路，由于镇流器的自感作用电流逐渐增加，故记为i。

1.1    开关从断开到闭合过程

这里，我们从参与实验学生（Rm）支路和电阻+镇流器（R+L）支路两个支路来分析开关从断开到闭合的过程（图2）。

1.1.1    参与实验学生（Rm）支路

闭合开关瞬间，参与实验学生（Rm）支路与电源接通，支路两端电压（即图2中d，e两点之间的电压）Ude为电源电压。

该支路的电流不随时间变化。电压、电流关系可直接由欧姆定律给出

E=ImRm

电流为

Im=

这里也可以看到闭合开关瞬间，接在参与实验学生身上的电压仅仅是电源电压，即干电池的1.5 V的电压，电压特别低，所以学生并没有触电的感觉。

电路图以及电流流向表示

1.1.2    电阻+镇流器（R+L）支路

开关闭合瞬间，电阻+镇流器（R+L）支路两端电压（即图2中a，c两点之间的电压）Uac为电源电压E。电阻R两端电压Uab=iR，而镇流器两端电压Ubc满足

Ubc=L

虽然电阻+镇流器（R+L）支路电流i随时间变化，但是在开关闭合瞬间仍然满足

E=Uab+Ubc

即

E=iR+L

电流变化率

=-i

分离变量可得

=-dt

对上式进行积分

=-dt'

即

ln[]

=-t

闭合开关S瞬间的初始时刻（t=0），电流i（0）=0，所以

ln[]=-t

两边同时取指数并化简可得

i=[1-e-（R/L）t]

这时我们可以给出通过镇流器的电流变化率随着时间的函数关系

=e-（R/L）t

当t=0时，电流i=0，电流变化率=。

当t→∞，电流i→，电流变化率=→0，如图3、图4所示。

[][t][i][O]

1.2    闭合开关后一段时间的状态

如图4所示，当闭合开关后电流变化率随着时间推移越来越小。如果时间足够长，电流变化率几乎为零，电阻+镇流器（R+L）支路电流稳定在E/R。这个时间非常短，后面可以用实例来说明。对于参与实验学生（Rm）支路来说，从闭合开关到整个电路稳定的过程中，电压和电流均不变化，分别为E和E/Rm。

1.3    开关从闭合到断开过程

闭合开关后，很短的时间电路就达到稳定状态，稳定电流I=E/R。这个时候断开开关S，镇流器将会在自感作用下产生感应电动势阻碍电流的减小，即t=0时刻，流过镇流器的电流为E/R。图5给出了断开开关瞬间的电流流向示意图，可以看到镇流器、参与实验学生、电阻构成回路，其中镇流器作为电源。

开关瞬间的电路图以及电流流向表示

假设断开开关时镇流器的感应电动势为ε=-L（di/dt），回路中的电流为i。该回路满足Kirchhoff定律［5］，可以给出如下方程

ε=iR+iRm

即-L=iR+iRm

电流变化率可写为

=-i

分离变量可得

=-dt

对上式进行积分

=-dt'

lni

=-

t

两边取e指数，得

e=e

断开开关瞬间，t=0时刻，电流大小为开关闭合时稳定的电流i0=E/R，所以回路中的电流随时间的变化函数为

i=e

电流变化率

=-e

镇流器的感应电动势为

ε=-L=e

图6、图7给出了断开开关瞬间，电流i和电流变化率随时间的演化。可以看出，随着时间的推移，电流和电流变化率均趋近于零。这里电流变化率为负值是说明电流是关于时间的减函数。

2    实验参数计算

以上给出了“千人震”实验的理论分析和无量纲化的结果。在实验过程中，究竟多长时间电流达到稳定状态，参与实验的学生能够感受多大的电压，我们给出一些实验参数进行计算。对于人体的平均电阻大约为Rm=2 000 Ω，干电池电压E=1.5 V，镇流器电感L=0.05 H，外电阻（包含镇流器内阻） R=100 Ω。将这些实验参数分别代入前面得到的电流和电流变化率的表达式，即可得到电流和电流变化结果。不过为了直观起见，图8—图11分别给出了闭合开关瞬间和断开开关瞬间电流和电流变化率随时间演化的数值模拟结果。

从图8、图9中可以看到，闭合开关瞬间，电流从0迅速增加到0.015 A，而电流变化率也从30 A/s迅速下降为0。这个过程非常短暂，近乎3×10-3 s内完成。对于断开开关过程，从图10、图11中可以看到，电流从0.015 A迅速减小为0，同时电流变化率也从-630 A/s迅速减小为0。这个过程比闭合开关过程还要快，耗费时间近乎10-4 s。

3    总   结

“千人震”实验现象很明显，让学生切身体验物理实验事实，可以激发学生对物理学的学习兴趣。本文从理论上对该实验进行了深入分析，给出了电流、电流变化率以及自感电动势在开关闭合、断开等过程的表达式。并且进一步代入实验参数，对电流和电流变化率进行了数值计算。电流和电流变化率随时间变化过程非常短暂：闭合开关后，电流在3×10-3 s后基本稳定；而断开开关过程电流变化的时间更短，耗时大约在10-4 s的量级，这里也说明断开开关瞬间电流变化率要远远大于闭合开关时的电流变化率。闭合和断开开关的过程中最大电流均为E/R=0.015 A，是安全电流。能够产生触电的感觉，是因为断开开关自感线圈中电流变化率非常大而产生的高压。按照前面的数据可以估算出感应电动势的最大值为31.5 V。由于人体的电阻远大于外电阻R（包含镇流器的电阻，Rm/R=20），所以大部分自感电动势加在了人体上，故而有触电的感觉。从能量的角度来看，闭合开关过程，干电池的化学能转化为电磁能储存在自感线圈中。断开开关，自感线圈中的能量释放，由于电路中人体电阻大，大部分能量在瞬间释放给了人体，所以参与实验学生有触电的感觉。

参考文献：

［1］谢敏.一堂由游戏引出的复习课［J］.物理教学，2008，30（5）：58-59.

［2］张月红，殷少来.《互感和自感》的教学设计——“三动”课堂研究案例［J］.物理教学探讨，2011，29（4）：25-26，80.

［3］邓宗茂.谈“千人震”自感现象实验［J］.中学物理教学参考，2013，42（6）：30-31.

［4］游峰.自感现象的创新实验设计［J］.中学物理，2016， 34（11）：61-62.

［5］邓铁如，徐元英，孟大敏.西尔斯当代大学物理（下册）［M］.北京：机械工业出版社，2009.

（栏目编辑    刘   荣）

收稿日期：2023-09-25

作者简介：谭红芳（1984-），女，中学一级教师，主要从事统计物理与复杂系统和中学物理教学等方面的研究工作。