“粉笔弹跳”运动分析及试题编制

摘   要：首先基于“粉笔弹跳”现象提出问题并合理猜想，然后建立摩擦自锁和弹跳模型。接着经历实验设计、数据分析、验证猜想等一系列探究过程，充分利用Tracker视频技术分析弹跳运动细节。最后联系瓷器制作技术中的“跳刀”工艺，并尝试利用此情境编制习题，以期为高中物理教学提供可借鉴的情境教学素材。

关键词：粉笔弹跳；摩擦自锁；试题编制

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2024）2-0051-4

在真实情境中深入探究，让知识活学活用，是激发学生物理学习兴趣的重要方式。“粉笔弹跳”是一个源于日常教学生活的奇异现象，蕴含着丰富、深刻的物理知识，也为高中学生提供了极好的探究学习题材。

1    观察现象，提出问题

如图1所示，将粉笔往后拉时总是在黑板上留下连续的线条；而将粉笔向前推时，有时粉笔会发生快速弹跳，在黑板上留下断断续续的点状线印迹。为什么粉笔会出现弹跳呢？

2    情境再现，合理猜想

将粉笔在黑板上往前推，不断调整粉笔的倾角θ（粉笔与黑板面之间的夹角），通过多次实验总结发现：要使粉笔连续弹跳，粉笔的倾角θ不能太小。对“粉笔为什么会发生弹跳”进行以下猜想。

猜想1：粉笔能否弹跳与粉笔的倾角有关，存在一个临界角。

猜想2：粉笔的弹跳过程与受力有关。将粉笔弹跳的过程分解成“跳—落—锁”三个阶段。“跳”由静到动，粉笔应该受到了一个使其跳起来的力；“落”由动到静，粉笔应该受到了使其停止运动的力；在“锁”的阶段，可能与摩擦自锁现象有关［1］。

3    理论推导，构建模型

3.1    摩擦自锁模型

“锁”的阶段，假设粉笔重力影响忽略不计，黑板与粉笔之间的滑动摩擦系数为μ，手施加一个沿着粉笔方向的推力，要让粉笔在黑板上被静摩擦力锁住，分析粉笔的倾角θ应该满足的条件。

如图2所示，粉笔共受3个力：手对粉笔的推力F，摩擦力f，支持力F。把手对粉笔的推力F分解，有F=Fcosθ，F=Fsinθ。竖直方向上受力平衡，有F=F，对应的滑动摩擦力f=μF=μFsinθ。当粉笔锁在黑板上时，水平方向的推力要小于等于最大静摩擦力，设最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，即应满足F≤f。把上面F和f的表达式代入，有Fcosθ≤μFsinθ，化简可得tanθ≥。粉笔“锁”在黑板上时的临界角θ=arctan；当粉笔的倾角θ≥θ时，粉笔将出现自锁，能在黑板上保持静止；而当粉笔的倾角θ<θ时，粉笔则不会出现自锁。

3.2    弹跳模型

要使粉笔在黑板上发生弹跳，光锁住不行，还要有“跳”“落”两个阶段。如图3所示，“跳”的阶段，需要打破粉笔的自锁状态，这时只沿着粉笔方向用力肯定是不行的，还需要给粉笔施加一个向左上方拨的力。“落”的阶段，为了使跳起粉笔落下，则需要给粉笔施加一个向右下方压的力。

4    实验探究，分析论证

4.1    验证临界角的存在

4.1.1    测定滑动摩擦系数，确定临界角的理论值

选好小黑板和粉笔，然后测定滑动摩擦系数μ。把小黑板倾斜成斜面，让粉笔沿斜面滑下，逐渐减小倾角α，直至粉笔可以匀速滑下。如图4所示，通过受力分析可得μ=tanα。实验测得α≈35°，小黑板和粉笔之间的滑动摩擦系数μ≈0.7。因此，粉笔发生弹跳的临界角的理论值

θ=arctan≈55°

4.1.2    验证实际的临界角与理论值是否一致

把小黑板水平放置在桌面上，把粉笔往前推，调整粉笔的倾角，可以得到不同倾角时粉笔的印迹，如图5所示。由于临界角的理论值是55°，所以特意在55°的前后分别进行了50°和60°的测试。实验结果表明：当粉笔的倾角θ≥55°时，会发生弹跳现象；当粉笔的倾角θ<55°时，则没有弹跳。实验得到的临界角和理论值是一致的。这说明的确是摩擦自锁使得粉笔处于“锁”的状态，前述猜想1的模型是正确的。

4.2    用Tracker软件分析粉笔的运动细节

验证粉笔的弹跳模型需要对粉笔的运动进行细致研究。将手机固定在三脚架上，手机镜头与黑板面同高，用手机中“慢动作”拍摄粉笔的运动过程。实验结束后再用Tracker软件分析粉笔的运动情况。在视频分析时，以黑板上长5 cm的划线为水平方向的定标杆，以黑板上竖直放置的高1 cm的参照物为竖直方向的定标杆，再以 s为帧时间间隔，逐帧手动确定粉笔头的位置。

4.2.1    粉笔的位移图像分析

以两个不同倾角推粉笔，设粉笔水平方向的位移为x，竖直方向的位移为y，得到两个不同的x-t，y-t图像，如图6所示。观察图6（a），当粉笔的倾角小于临界角时，粉笔在水平方向的位移不断增大，在竖直方向的位移一直为零。这说明粉笔没有发生弹跳。当粉笔的倾角大于临界角时，为了使图中每条曲线变化都比较明显，作图时保持x不变，y扩大了10倍（×10），如图6（b）所示。此时获得规律性图像：每一个“跳—落—锁”的过程，都对应x先增大后不变的过程。在x增大的过程中y先增大后减小，对应“跳”“落”的过程；在x不变的过程中，y值基本都为0，对应“锁”的过程。每一个“跳—落—锁”的过程大约对应8～9帧照片，时间间隔约为 s～ s，其中“锁”的过程对应3～4帧，时间约为 s～ s。

4.2.2    粉笔弹跳过程中水平方向的运动分析

保证粉笔的倾角大于临界角，让粉笔在黑板上弹跳，设水平方向的位移为x，速度为vx，加速度为ax，绘制图7，坐标采用“厘米-克-秒”单位制。为了便于观察，作图时将x扩大了20倍（×20），速度vx不变，加速度ax缩小了30倍（÷30）。观察图7，可以发现：水平方向速度均为正值，在“锁”的过程中都对应有速度为零的时刻。每一个“跳—落—锁”的过程中，加速度均由正值变为负值，在负的最大值时对应刚锁住的时刻，然后急剧增加到正的最大值对应锁住的最后一个时刻。这说明跳起时受到不断减小的沿x轴正方向的力作用，接着又受到不断增大的沿x轴负方向的力作用而落下，在力最大时开始锁住；在“锁”的过程先受到不断减小的沿x轴负方向的力作用，然后受到不断增大的沿x轴正方向的力作用，在力最大时即将跳起。

4.2.3    粉笔弹跳过程中竖直方向的运动分析

设竖直方向的位移为y，速度为vy，加速度为ay，绘制图8，坐标也采用“厘米-克-秒”单位制。同样为了便于观察，作图时将y扩大了50倍（×50），vy不变，ay缩小了50倍（÷50）。观察图8，可以发现：每一个“跳—落—锁”的过程中，竖直方向速度都有一个从正值变为负值然后再变为正值的过程，“锁”的过程都有速度为零的时刻，并且在这个时刻前后速度由负值转为正值。加速度从正值先减小为负值再增大到正值，说明粉笔刚跳起时受到不断减小的沿y轴正方向的力，然后受到先增大后减小的沿y轴负方向的力，在“锁”的过程受到先增大后减小沿着y轴正方向的力。

综上，把水平方向和竖直方向的受力进行合成，可以验证弹跳模型：跳起的时候，水平方向受到沿x轴正方向的力，竖直方向受到沿y轴正方向的力，两个力合成会使粉笔受到一个往左上方的力；落下的时候，水平方向受到沿x轴负方向的力，竖直方向受到沿y轴负方向的力，两个力合成会使粉笔受到一个往右下方的力。

5    以“跳刀工艺”为素材的试题编制

我国有一种传承千年的陶瓷技艺——跳刀。跳刀，顾名思义，就是让坯刀在行进过程中反复跳起来。跳刀工艺与“粉笔弹跳”在物理原理上有异曲同工之妙，均存在“锁”的过程，也存在“跳”“落”的过程。

5.1    试题样例

“跳刀”工艺是中国传统的瓷器制作技术之一。在制作过程中，坯刀以一定的角度、力度，与转轮上高速旋转的泥坯相切，由于阻力作用坯刀会在坯体上产生急促而有力的跳动，留下断续而有规律的划痕，极具装饰美感。图9（a）是使用跳刀工艺的北宋磁州窑白釉褐彩小盖罐。现假设“跳刀”过程中坯体不动，坯刀往前推，并建立坐标系，如图9（b）所示，x轴沿坯刀前进的方向，y轴垂直于坯体竖直向上。坯刀每次弹跳的过程分解成“跳—落—锁”三个阶段。“跳”是坯刀从静止弹起的阶段；“落”是运动坯刀下落的阶段；“锁”是坯刀因阻力而静止的状态。图9（c）是坯刀在x轴方向运动的vx-t图像，图9（d）是坯刀在y轴方向运动的ay-t图像。试求解以下问题：

（1）假设坯刀重力的影响可以忽略，手对坯刀的推力F沿坯刀方向，阻力f沿x轴负方向，若坯刀与坯体之间的夹角为θ时坯刀刚好能因“锁住”而静止，则此时坯刀与坯体之间的阻力系数μ（阻力与正压力的比值）是多少？

（2）在一次完整的“跳—落—锁”过程中，坯刀在x轴方向的位移是多少？这个过程中x轴方向的平均速度是多少？

（3）设坯刀质量为50 g，在坯刀“锁住”过程中所受冲力是多少？方向如何？试分析坯刀能够跳起的原因。

5.2    试题设计意图

本试题旨在引导学生利用物理原理解决实际问题，发展其迁移应用知识的能力。“粉笔弹跳”是基础，“跳刀工艺”是延伸；选择“跳刀工艺”为素材来设计试题，不仅能够激发学生的学习兴趣，还有利于学生了解中国传统文化中的物理，引导其在解决实际问题中灵活运用知识。以上命题的第（1）问，学生需要将实际问题情境简化，建立抽象模型，然后利用已学知识来进行理论推导，能锻炼其抽象思维能力以及知识迁移能力。第（2）问和第（3）问主要考查学生的图像分析能力，学生需要根据图9（c）分析出坯刀“跳—落—锁”整个周期过程用时为 s，尤其要关注在 s时刻处于速度为0的“锁住”状态，否则第（3）问将无从下手。第（2）问和第（3）问又各分成了两小问，以递进式问题引导学生的思维进阶。整个题目求解运用的只是运动学、动力学的基础知识，但是学生需要具备较强的合理分析情境、挖掘关键信息的综合能力，符合“注重核心主干知识，强化综合应用能力”的新高考命题趋向［2］。

6    结  语

本文从生活中的“粉笔弹跳”有趣现象出发，深入探究其运动过程；然后拓展到中国传统文化中的“跳刀”工艺，并基于此情境进行命题。物理教师要善于捕捉生活中的有趣现象并将其引入物理教学，以真实探究活动作为撬动学习兴趣的杠杆［3］，在解决实际问题中培养学生迁移应用知识的能力。

参考文献：

［1］李葵花，边江，侯德成.由全国高考第24题谈摩擦自锁及其应用拓展［J］.中学物理，2013，31（3）：54.

［2］梅砚君，陈建香，李国星.2022年山东卷物理试题的特点、问题和命题建议［J］.物理教师，2023，44（4）：81-86.

［3］李帆.深度教学视角下的初中物理实验教学［J］.中学物理教学参考，2022，51（23）：7-9.

（栏目编辑    刘   荣）

收稿日期：2023-10-31

作者简介：孙锦如（1974-），女，讲师，主要从事物理教学研究。

*通信作者：王强（1975-），男，教授，研究方向为学科教学（物理）。