对两种平均作用力使用误区的辨析

摘   要：在高中物理教学中，除经常研究恒力的作用过程外，有时还会对存在变力的力学过程进行分析和计算，涉及到两种平均作用力应用的区别问题。从常见的错误出发，引出两种平均作用力的物理意义，指出了在不同情境下应用两种平均作用力的区别。

关键词：力对时间的平均；力对位移的平均；两种平均作用力；辨析

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2024）2-0068-3

1    问题的引出

在一次讨论问题时得知，一个学生遇到了一道试题，对最后一问求解后查看参考答案，发现自己的解答过程和结果都与参考答案不同，但他又觉得自己的解答过程和计算结果没有问题，于是学生展示了解答过程，希望找到问题的原因。试题和解答如下。

题目  如图1所示，光滑平行足够长的金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨范围内存在磁场，其磁感应强度大小为B，方向竖直向下，导轨一端连接阻值为R的电阻，在导轨上垂直导轨放一长度等于导轨间距L、质量为m的金属棒，其电阻为r，金属棒与金属导轨接触良好，金属棒在水平向右的恒力F作用下从静止开始运动，经过时间t后开始匀速运动，金属导轨的电阻不计。求：

（1）金属棒匀速运动时回路中电流大小；

（2）金属棒匀速运动的速度大小以及在时间t内通过回路的电荷量；

（3）若在时间t内金属棒移动的位移为x，求电阻R上产生的热量［1］。

对第（3）问，学生解答过程为：由Q=W，W=Fx=BILx，I=，E=，QR=Q，解得QR=。大致一看，学生的解题思路似乎确实没有问题。

参考答案 力F做功增加金属棒的动能和回路的内能，则Fx=Q+mv2

电阻R上产生的热量QR=Q

解得QR=[Fx-]

到底是这道试题有多个答案，还是学生的解题方法存在问题呢？要解决这个疑问，首先要弄明白力对时间的平均值和力对位移的平均值的物理意义与区别。

2    两种平均作用力的区别与联系

2.1    力对时间的平均值

在t0到t的过程中，变力F对时间的平均值为（t）=Fdt=。可见，力对时间的平均值等于冲量除以时间。力对时间的平均值与时间的乘积，物理意义为力在时间上的积累，即冲量。故在应用动量定理时，若作用力为变力，我们往往引入力对时间的平均作用力与时间的乘积来等于这个过程中动量的变化量。

2.2    力对位移的平均值

在x0到x的过程中，变力F对位移的平均值为（Δx）=F（x）dx=。可见，力对位移的平均值等于动能的变化量除以位移［2］。力对位移的平均值与位移的乘积，物理意义为力在空间上的积累，即功。故在应用动能定理时，若作用力为变力，我们往往引入力对位移的平均作用力与位移的乘积来等于这个过程中动能的变化量。

从上面两种平均力的定义和物理意义可知，它们是根据力对时间和空间的两种不同的积累效应来引入的，它们不仅是数学的定义，而且还具有确切的物理意义。因此，在与质点动量变化相关的问题中，可用力对时间的平均值；在与质点动能变化相关的问题中，可用力对运动路径的平均值。这两种平均作用力的物理意义完全不同，在一般情况下，二者是不相等的。

2.3    两种平均作用力的大小关系

例1 如图2所示，一水平弹簧左端固定在竖直墙面上，右端固定在滑块P上，滑块与地面接触面光滑。现将滑块P向右拉离弹簧原长位置后由静止释放，则在物块向左回到弹簧原长位置过程中，弹簧弹力随位移和时间变化的图像如图3所示，试比较两种平均作用力的大小［3］。

由图像可知，弹力对位移的平均值为Fx===kx，弹力对时间的平均值为=>=kx，即>。这是因为在振动过程中，弹力对位移是均匀变化的，而弹力对时间是非均匀变化的，故造成了它们的大小不相等。所以在一般情况下，力对时间的平均值和力对位移的平均值是不相等的。

那么，是不是所有情况下它们的值都不相等呢？

例2  在匀变速直线运动中，求两种平均作用力的大小关系。

解  在t0 到t的过程中，变力F对时间的平均值为 （t）=Fdt=

在x0到x的过程中，变力F对位移的平均值为（Δx）=F（x）dx=

又因为Δx=（v0+v）Δt

联立可得 （t）=（Δx）

即在匀变速直线运动中，可证明出两种平均力大小相等。通过以上分析可知，只有在恒力作用下，物体做匀变速直线运动时，即力对时间和力对位移都是均匀变化的，这种情况下才有两种平均作用力的大小相等。

3    两种平均作用力的使用情境

由两种平均作用力的物理意义可知：（Δx）只能与位移相乘计算这个过程中变力做的功，而不能与时间相乘计算冲量；而（t）只能与时间相乘计算这个过程中变力的冲量，而不能与位移相乘来计算功。

回到前述学生遇到的问题，他列出方程W=x=BILx，对后续求解实际是力对时间的平均，显然用力对时间的平均值乘以位移来求功是错误的，进而导致最后结果与参考答案的不同。

由于在一般过程中，变力F的t和的大小一般不同，故我们在使用平均作用力求解变力问题时，一定要关注具体的问题情境。具体而言，t只跟力对时间的积累效应有关，故t只能应用于力对时间的积累效应的情境。例如，可用t求变力的冲量，求平均加速度，也可应用于动量定理求物体的速度、动量、通过的电荷量等。而不可以把应用于做功过程求功、平均功率，也不能把用于动能定理中求动能、速度等。与之相对应，只跟力对位移的积累效应有关，故只能应用于力对位移的积累效应的情境。例如，可用求变力的功、变力的平均功率，也可应用于动能定理求物体的动能、速度等。不可以把应用于求冲量和平均加速度，也不能把用于动量定理中求动量、速度等。否则就会导致错误［4］。

总之，在求解变力的相关问题时，我们首先要搞清楚这两种平均作用力的物理意义，进而明白各自的应用情境和条件，切不可不加判断而随意应用平均作用力，唯有如此才能避免类似的错误发生。

参考文献：

［1］高2020届高2017级高三物理一轮复习步步高全书学案第十章专题强化十三（2020年）［EB/OL］.http：//www.wendangku.net/doc/4f2902191.html.

［2］缪钟英，罗启蕙.力学问题讨论［M］.合肥：中国科学技术大学出版社，2018：182.

［3］陈恩谱.物理原来可以这样学［M］.长沙：中南大学出版社，2018：253.

［4］崔金岩.关于两种平均作用力及其应用［J］.物理教学，1990，12（4）：10-13.

（栏目编辑    蒋小平）

收稿日期：2023-11-14

作者简介：范青林（1982-），男，中学高级教师，主要研究高中物理疑难问题。