从数学思想引发对物理问题的探讨

摘   要：数学知识是理科学习的基石，结合数学思想探究物理问题，可以拓展学生的发散性思维，加深对知识内容的理解。以一道试题的分析探讨数学思想在高中物理习题教学中的应用，以数学思想促进物理的学习，以物理思维扩展数学的认知。

关键词：核心素养；数学思想；习题教学；阿基里斯悖论；级数收敛

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2024）2-0065-3

1    原题呈现

例1 把一篮球从离地面高度为H处由静止自由释放，每次与地面碰撞，篮球都会损失碰撞前动能的能量，篮球始终在竖直方向运动，不计空气阻力。则至篮球停止运动时其运动的总路程为（      ）

A.8H B.7H C.4H D.2H

高考评价体系提出“一核四层四翼”的要求，在内容考查层面上，不仅注重对必备知识理解深度的考查，更侧重对学生关键能力、学科素养以及核心价值的考查，通过创设现实问题情境，引导学生从“解题”向“解决问题”转变。此题以篮球自由下落为素材创设生产生活问题情境，初看是一道难度适中的动力学综合分析题，以篮球运动为载体考查受力分析、功能关系、自由落体运动等必备知识，实则还考查了模型建构能力、推理论证能力，以及进行严谨推理、严密论证的科学思维能力。本题尽管由常规简单的情境创设问题，但在考法上却颇具新意，零碎的信息导致求解此题时没有特别明确的切入点，必须根据题目综合分析才能得到解题思路，在不失基础性的同时又极具灵活性。

2    试题分析

从能量守恒的角度可知，篮球的下落是重力势能向动能转化，则篮球落地瞬间的动能

Ek=mgH（1）

篮球与地面碰撞过程中损失的能量总为碰撞前动能的，即在与地面碰后，动能变为先前的，得碰后动能Ek1=mgH。篮球弹回上升是动能向重力势能转化，由Ek1=mgh1可知在第一次与地面碰撞后，篮球的最大上升高度

h1=H（2）

同理可得，篮球第二次与地面碰撞后的最大上升高度

h2=h1=（）2H（3）

进而得到第三次上升的最大高度

h3=（）3H（4）

直至第n次

hn=（）nH（5）

通过数学归纳，由（5）式可知篮球每次与地面碰撞后的最大上升高度为等比数列，由图1可知至篮球停止其总路程为

s=H+2h1+2h2+2h3+…+2hn（6）

结合（5）式，对等比数列求和

s=H+（2·H）（7）

至篮球停止，n取无穷大，则总路程

s=H+（2·H）=7H（8）

故B选项正确。

3    问题再探

依据上述的分析及作答，从能量转化的角度可得出每一次篮球与地面撞击后反弹的高度，结合运动情境分析，由（6）式求解总路程，该题至此理应完全解决。然而，学生在对其的理解上似乎还存在一个疑惑：篮球每次与地面撞击后反弹的高度会是前一次高度的，则该撞击过程会一直进行下去，那么篮球最终怎么会停下来？且对无穷尽的每段高度怎么能求和？尤其对于数学能力稍弱的学生而言，难以想到等比数列的求和方法，甚至在知晓正确的解题方法后仍困惑于篮球无法停止与无限路程怎么求和的“悖论”中。

教师在物理的习题教学中通常是只专注于解题本身，围绕物理的基本概念、基本规律、基本公式教授给学生解题的逻辑和技巧。然而，习题教学亦是核心素养落实的重要环节之一，在习题教学过程也应注重学科素养的自然渗透，从而形成逻辑严密、结果自洽的完整习题教学，以培养学生理性思考、敢于质疑、不断创新的科学素养，故针对该习题中的“悖论”有必要进行深入探讨。

4    阿基里斯悖论

事实上，关于上述疑惑科学界有过一个有趣的悖论，这便是公元前五世纪出生在意大利半岛南部埃利亚的古希腊著名数学家、哲学家芝诺发表的著名的“阿基里斯悖论”。该悖论指的是埃利亚学派哲学家芝诺提出的阿基里斯和乌龟赛跑的故事，只要乌龟先跑，阿基里斯无论如何也追不上它。芝诺提出，让运动更慢的乌龟先走至点B，此时阿基里斯从A点开始运动（图2），每当阿基里斯追到乌龟先前所在的位置时，乌龟总是又往前爬了一段，这个过程无法穷尽，故阿基里斯永远不可能追上乌龟。

从常识方面来看，阿基里斯悖论是违背常识和数学逻辑的。从追及相遇的角度来看，设乌龟的速度v=0.1 m/s，阿基里斯的速度v=10 m/s，二者保持匀速且同时开始运动，乌龟起初在阿基里斯前方s0=99 m处。根据位移关系v·t=v·t+s0，可知经过10 s阿基里斯追上乌龟。此外，从相对运动的角度也可知t=，亦能得出经过10 s阿基里斯追上乌龟。

阿基里斯悖论实则是无限分割的问题，其误区在于将一个无穷级数的项数无穷与结果无穷混为一谈了。如将一根1 m长的木棍无数次分割，项数（分割次数）是无限的，但对所有项的求和不会因项数的无限而无限，结果一定是1 m，是有限的，这与阿基里斯追及乌龟的问题相通。阿基里斯追乌龟的距离可划分为无限多段，时间亦可进行无限分割，当对时间以及空间都进行无限分割，阿基里斯要到达分割出的无限多个点（或点与点间的无限多段长度）需要的有限的时间，也是从原有用时中所分割出的无限多个时间点（或点与点间的无限多段时间）来完成的。诚然，在讨论“无限”概念时，无限的分割次数不等于无限的长度，也不等于无限的时间，从数学级数理论及极限思想来看：若级数收敛，对其无限项求和则是有极限的。因阿基里斯追乌龟的路程有限（即级数收敛于最初间隔距离），则运动时间必有限，终将追上。与收敛相对的概念就是发散，芝诺的阿基里斯悖论反映了离散和连续系统的关系问题，这为数学家们提供了关于“有限”和“无限”的思考契机，对后来数学微积分的出现产生了积极的影响。

依据阿基里斯悖论再来看我们的篮球落地问题，存在的易混淆点实则一致。从数列角度出发，由（7）式可知该等比数列收敛（限于篇幅，这里不作证明），则必有极限，因此篮球运动路程有限，终将停下来。极限运算作为一种高级运算，是有限和无限之间的桥梁，由（8）式讨论n→∞即可得出结果。由此可看出数学思想在物理问题当中的运用，联系数列进而求解的物理问题会具有过程多、重复性强的特点，但并非完全重复前一个过程，而是伴随着某种变化的过程重复［1］。随着物理过程的重复，相应的物理量也将逐渐产生具有前后联系的变化（数值的衔接关系），对于这样的物理问题，数列法在对其理解和破题上都具有关键作用。

5    等效模型建构

依据对本题过程的分析，亦可用等效法解题。由题意，篮球初能量为重力势能Ep=mgH，每次与地面碰撞过程损失的能量为碰撞前动能的，且不计空气阻力。如此可知，篮球与地面第1次碰撞损失能量ΔE1=mgH；篮球与地面第1次碰撞反弹高度h1，与地面第2次碰撞损失能量ΔE2=mgh1；篮球与地面第2次碰撞反弹高度h2，与地面第3次碰撞损失能量ΔE3=mgh2。通过归纳总结可以发现，对于篮球的下落过程，若下落高度为h，则损失能量ΔE=mgh，ΔE 是与h有关的函数，且h前系数mg为定值。故可以构建这样的等效模型：篮球在下落过程受到一恒定阻力作用（特别注意：篮球反弹上升过程不受该等效阻力作用），且F=mg，直至篮球初重力势能在该等效阻力做功下完全转化为内能，即停止（图3）。解答步骤如下：

设篮球下落过程的路程为s，对篮球全过程由能量守恒列式

mgH=mg·s（9）

考虑到篮球的反弹上升过程，结合（6）式，有

s=2（s-H）+H（10）

得s=7H，答案为B选项。

上述等效模型（篮球弹跳模型转化为单向下落模型）是依据该题目信息由数学思想而创设的情境，符合题目给出的数值衔接变化。在高中阶段学习数学和物理原本便是相辅相成、相互促进的，将运用数学知识提升到运用数学思想与数学方法的高度，从数学思想出发思考物理问题，可以得到另一番解题思路。

6    结  语

数学思想在物理教学中的渗透，对于物理教学的发展有着重要的推动作用［2］。在中学数学中，数学思想有集合思想、化归思想、极限思想和对应思想等，数学方法有数学模型法、数形结合法、变换法、函数法和类分法等，数学思想和数学方法是分析、处理和解决数学问题的策略和手段。物理学作为一门高度数学化的定量科学，用数学思想探讨物理问题则会严谨自洽且逻辑性强。物理教学过程中，恰当地融入数学思想以构建教学，能够产生高效课堂，自然渗透核心素养以培养学生的理解能力、模型建构能力、推理论证能力、创新性思维能力等关键能力，促进学生综合能力的提升。

随着素质教育理念在全社会的持续深入，高中物理教学亟待落实素质化的改革与发展。作为教师，要从教学实际出发，把握物理学科的特点，促进实际教学观念与教法的更新，把教学目标、学习路径、教学策略和课堂环境有意识地结合起来，落实学生在物理学习中的深度思考，让物理课堂成为思维碰撞、才思涌现的佳地，如此方能促进学生思维和素养的高质量发展，最终促进学生的综合性发展。

参考文献：

［1］陈燕.递推法在解决高中物理问题中的应用［J］.物理教师，2015，36（8）：74-77.

［2］杨志坚.数学思想在物理教学中的渗透［J］.中学物理教学参考，2019，48（6）：10-11.

（栏目编辑    蒋小平）

收稿日期：2023-09-20

作者简介：刘洋（1995-），男，中学一级教师，主要从事高中物理教学工作。