对安培力与洛伦兹力的关系的探讨

摘   要：安培力和洛伦兹力是不同的物理概念，它们既有联系又有区别。通过对二者数学关系的推导，在做功问题上的矛盾的讨论，利用霍尔效应对其机理的分析，进一步论证了安培力与洛伦兹力在宏观和微观上的联系，以加深对这两个基本概念的理解。

关键词：安培力；洛伦兹力；霍尔效应

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2024）2-0062-3

安培力和洛伦兹力是高中物理电磁学部分的重要概念，二者与诸多电磁学问题相联系，对它们的理解、掌握和应用情况关系到教学目标是否能实现，也是教学中的重点与难点。然而，由于受高中物理课程标准和教材内容编写要求所限，对这两种力只能进行基本的讲解，无法让学生明白其更深刻的物理机理，从而导致在教学中出现一些学生难以理解的问题，如安培力与洛伦兹力的关系等。

安培力是电流产生的吗？如果是，两束平行运动的电荷受到彼此的磁场力的作用也是安培力吗？此外，众所周知，洛伦兹力不做功，而安培力可以做功，但又有“安培力是洛伦兹力的宏观表现”的说法，这岂不矛盾了吗？下面将对这些问题进行探讨。

1    概念辨析

在人教版《普通高中教科书 物理 选择性必修第二册》（2020年5月第1版）（以下简称“高中物理教材”）中，是这样定义安培力和洛伦兹力的：

安培力 把通电导线在磁场中受到的力称为安培力。

洛伦兹力 把运动电荷在磁场中受到的力称为洛伦兹力。

在赵凯华主编的《新概念物理教程 电磁学》（第二版）（以下简称“大学电磁学教材”）中，是这样定义安培力和洛伦兹力的：

安培力 由定义磁感应强度的表达式d=Id×，电流元Id在外磁场中受到的磁场力d称为安培力。其中，d为某个闭合回路中的一部分。

洛伦兹力 带电量为q、以速度在磁感应强度为的磁场中运动的带电粒子所受的力=q×称为洛伦兹力。

从以上教材的定义可以看出：无论是高中物理教材中的“通电导线”，还是大学电磁学教材中的“电流元”，安培力均是对通有电流的“导线”在外磁场中受的磁场力而言的，而不是对“电流”（电流可以不依赖于导线而存在，如分子电流）；洛伦兹力则均表述为在磁场中运动的带电粒子所受的磁场力。显然，这两种力的受力者是不一样的，前者为“通电的导线”，后者为“运动的带电粒子”。尽管通电导线中通有电流，且电流本身就是由做定向运动的电荷形成的，但安培力并不是“电流”或“做定向运动的电荷”所受的力。故，这两种力在概念上是不一样的。显然，两束平行运动的电荷受到彼此的磁场力的作用与以上关于安培力的定义有所差异。

2    安培力与洛伦兹力的关系的理论推导

在大学电磁学教材中，对安培力与洛伦兹力的关系进行了如下推导：如图1所示，设在某段圆柱形导体内通有电流I，方向水平向左。从微观角度看，此电流是导体中的自由电子向右以速率v做定向运动而形成的。设自由电子数密度为n，每个电子所带电荷量为-e，导体的横截面积为S，dt时间内电子在导体中前进的距离为dl，则该时间内通过导体横截面的电荷量等于导体内以底面积为S、高为dl的圆柱体内的自由电子的总电荷量，即dq=neSdl。由电流强度的定义，有

在此导体中，取长为l的一段，它所受的安培力大小为F=BIl。将（1）式代入，得

F=BneSvl（2）

在长为l的这一段中，总的自由电子数为N=nsl，故（2）式可写成

F=NevB（3）

而每个自由电子在磁场中所受的洛伦兹力大小为

f=evB（4）

故由（3）（4）式可得

F=Nf（5）

从（5）式可以看出，在此段导体中通有电流I时，它所受的安培力的大小是其中N个自由电子受到的洛伦兹力大小之和。基于此，在大学电磁学教材中也出现了“导线受的安培力就是作用在各自由电子上洛伦兹力的宏观表现”的表述。

3    关于做功问题

我们熟知，洛伦兹力不做功，而安培力可以做功。下面从一个常见的通电导体在磁场中运动的问题对此进行讨论。

如图2所示，在水平放置的U形平行金属导轨上有一长为L、电阻为R的粗细均匀的直导体杆，导体杆与导轨垂直并始终保持良好接触，杆在水平力F作用下沿与导轨平行的方向以速率v1向右做匀速直线运动，电源电动势为E（忽略内阻和导轨的电阻）。现在来讨论杆从AB位置运动到CD位置的过程中，安培力对杆所做的功和杆中自由电子所受洛伦兹力做功的情况。

设回路中的电流为I，则由已知条件有I=，因而杆所受的安培力大小为F=BIL=。设杆在此过程中的位移大小为Δx，则安培力做功为

WF =F·Δx=（6）

现在考虑洛伦兹力做功的情况。杆中的自由电子参与了两个分运动，即速率为v1的与杆一起向右的匀速运动和速率为v2的与杆垂直且方向指向A的、在导体中形成电流的定向运动，其合运动的速率为v，与两个分运动相应的自由电子受到的洛伦兹力分别为f1和f2。

显然，杆中所有自由电子所受的洛伦兹力的分力f2在宏观上即表现为杆所受的安培力，其对杆做正功，大小由（6）式给出。在杆从AB位置运动到CD位置的过程中，经历的时间为Δt=。f1与杆运动方向垂直因而对杆不做功，但会在杆中产生与电源电动势相反的动生电动势Ei=-BLv1。此电动势在时间Δt内所做的功为

Wf = EiIΔt=-BLv1··=-（7）

由（6）（7）式可知，f2做正功，f1做负功，且总和为零，即杆中自由电子所受洛伦兹力总体上是不做功的，这与我们熟知的结论一致。同时，因为f1和f2这两个洛伦兹力是同时且成对出现的，因此无法仅就其中一个洛伦兹力可做功的情况便否定洛伦兹力不做功的结论。所以，也不可以认为安培力一定是洛伦兹力的合力或宏观表现［1］。

由此也可以看出，在此问题情境中，安培力确实是洛伦兹力的宏观表现，而安培力做的功也只是洛伦兹力贡献的一个分力所做的。

4    从霍尔效应看安培力

如图3所示，一横截面为矩形的导体置于垂直于纸面向里的匀强磁场中，其中所通的电流为I，方向与磁场垂直且水平向左。由于导体中的电流与磁场垂直，导体中的自由电子会受到竖直向下的洛伦兹力fm而向下偏转，从而使导体上表面带正电，下表面带负电，在两表面之间产生电势差，这即是霍尔效应。上下两表面开始积累净电荷后就建立起了霍尔电场，因此自由电子受到竖直向下的洛伦兹力的同时还受到了竖直向上的霍尔电场力fe的作用。随着积累的电荷量的增加，fe逐渐增大，最终会与洛伦兹力fm平衡，霍尔电场达到恒定状态。由此可见，在导体中做定向运动的自由电子所受的洛伦兹力已与霍尔电场力平衡。那么，导体受到的安培力从何而来呢？

实际上，在导体中通有恒定电流时，尽管有霍尔效应的产生，但导体内宏观上看无限小、微观上看非常大的区域还是电中性的。因此，前面讨论了运动的自由电子受力达到平衡，还应当考虑与自由电子电荷量相当的相应正电荷受到的霍尔电场力，这些正电荷受到的霍尔电场力在宏观上的表现便可认为是导体受到的安培力［2］。

大学电磁学教材中认为，“虽然这个力（洛伦兹力）作用在金属内的自由电子上，但是自由电子不会越出金属导线，它所获得的冲量最终都会传递给金属的晶格骨架。宏观上看起来是金属导线本身受到这个力”［3］。可是，根据霍尔效应的观点，任何置于磁场中的导体，只要其中的电流不平行于磁场，都会产生霍尔效应，因而可认为自由电子受到的洛伦兹力与霍尔电场力达到平衡，从表面上看安培力产生的机理与洛伦兹力没有直接的关系。但是，尽管达到了动态平衡，自由电子整体运动方向不再有垂直于电流方向的偏转，但洛伦兹力本身仍然存在，且会有沿这一方向的宏观冲量。

当然，也可以从另一个角度来考虑。一方面，因导体中的正、负电荷量是相等的，它们受到的霍尔电场力也必然大小相等、方向相反，所以对整个导体来说是平衡的。另一方面，自由电子在其中做定向运动时受到了洛伦兹力，而这一洛伦兹力的方向正好与安培力方向一致，因而也可认为是自由电子受到的洛伦兹力通过与金属晶格的作用而整体上表现为导体受到的安培力。

5    小   结

建立模型是解决物理问题和发展物理理论的重要手段，因此模型建构能力也是中学物理教学中要培养的学生的重要能力之一。通过建立的物理模型解释客观的物理现象时，只要是合理且严谨的，就可以应用。如果对某个物理现象用几种模型都可以解释，那么不仅能说明建立的物理模型本身的合理性，也说明此物理现象背后可能还隐藏着我们未知的秘密，正如牛顿用万有引力解释天体运行规律而爱因斯坦用的却是相对论理论一样。安培力和洛伦兹力有着紧密的联系，二者在不同的情境中又体现出不同的关系和特点。这两种力都是人为赋予的概念，它们在本质上都是电磁相互作用，人们只是根据其具体的情况和特点命名而已，并非要从根本上进行区分。在教学中，也无须刻意从物理根源上把二者割裂开来或等同起来。

参考文献：

［1］管金来.安培力是洛伦兹力的合力吗［J］.中学物理， 2014，32（23）：43-44.

［2］陈璐畅，邓有鸿.关于洛伦兹力与安培力关系的思想碰撞［J］.物理通报， 2017（6）：102-105.

［3］赵凯华，陈熙谋.新概念物理教程 电磁学（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2006.

（栏目编辑    蒋小平）

收稿日期：2023-10-13

作者简介：雷贤明（1967-），男，中学正高级教师，主要从事中学物理教学工作和实验研究。