关于教材“简谐运动的数学描述”的再思考

收稿日期：2023-12-16

作者简介：肖顺银（1976-），女，副教授，主要从事物理教育、教学研究。

摘    要：对粤教版高中物理教材中“从匀速圆周运动得出简谐运动的数学描述”的相关内容进行探讨，就推导过程中负号“-”的含义进行剖析，结合回复力的物理本质，探讨余弦函数在物理情境中的矢量意义，明晰“匀速圆周运动在某坐标轴上的投影是简谐运动”这一结论的论证逻辑。

关键词：物理教材；简谐运动；匀速圆周运动；回复力；余弦函数

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2024）4-0044-2

粤教版高中物理教材在选择性必修第三册中的“简谐运动的描述”一节介绍了“从匀速圆周运动得出简谐运动的数学描述”的方法［１］，本文将根据其中关于周期公式的推导过程展开进一步讨论。

１    教材内容复现

教材以在水平面上做匀速圆周运动的玩具小车为研究对象（图１），利用幻灯机得到小车在墙壁上的投影，随后探讨了匀速圆周运动与简谐运动的关系，并得出简谐运动的周期公式，过程如下。

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图１  小车运动的投影

设小车沿半径为Ａ的圆周做匀速圆周运动，其角速度为ω，则向心力

Ｆ＝ｍω２Ａ

如图２所示，Ｆ在ｘ轴上的投影

Ｆｘ ＝-ｍω２Ａｃｏｓθ

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图２  向心力在ｘ轴上的投影

上式的负号表示Ｆｘ 与ｘ轴的正方向相反，由几何关系可知

ｘ＝Ａｃｏｓθ

于是有

Ｆｘ＝-ｍω２ｘ

由于ｍ和ω都有确定的数值，ｍω２可以用一个常数ｋ表示，即ｋ＝ｍω２，上式可以写成Ｆｘ＝

-ｋｘ。弹簧振子做简谐运动时，受到的回复力Ｆｘ＝

-ｋｘ。由此可知，做匀速圆周运动的物体在某一直径方向的投影正好与弹簧振子做简谐运动的情境完全相同，并且ω２＝■。

简谐运动的振动周期与物体做匀速圆周运动的周期相等，所以

Ｔ＝■＝２π■

２    负号的适用范围与问题的提出

根据教材内容可知，能够将匀速圆周运动在ｘ轴上的投影与简谐运动对应起来的关键，是要论证做匀速圆周运动的物体在ｘ轴上的分位移和所受向心力的分力满足关系式Ｆｘ＝-ｋｘ。此时，向心力的分力充当了做简谐运动物体所受到的回复力。在图２中，把小车视为质点，小车在ｘ轴上的分力Ｆｘ和分位移ｘ的关系为Ｆｘ＝-ｋｘ，其中ｋ＝ｍω２，的确满足简谐运动的回复力关系式，并且根据回复力的物理意义可知式子Ｆｘ＝-ｋｘ中的负号表示Ｆｘ和ｘ轴正方向相反。

然而，教材中关于负号的使用条件还需要进一步探讨。

在教材中，式子Ｆｘ＝-ｍω２Ａｃｏｓθ中的负号被用来表示“Ｆｘ 与ｘ轴的正方向相反”。

质点的位置在第一象限，此时θ∈（０，■），ｃｏｓθ＞０，而Ｆｘ指向ｘ轴负方向，数值上Ｆｘ＜０，关系式Ｆｘ＝-ｍω２Ａｃｏｓθ成立，负号的含义可以解释为“Ｆｘ与ｘ轴的正方向相反”。

当质点运动到第二象限时，θ∈（■，π），ｃｏｓθ＜０，Ｆｘ指向ｘ轴正方向，数值上Ｆｘ＞０，关系式Ｆｘ ＝-ｍω２Ａｃｏｓθ仍然成立，但此时负号的含义就不能解释为“Ｆｘ与ｘ轴的正方向相反”。

那么，式子Ｆｘ＝-ｍω２Ａｃｏｓθ中的负号到底指什么？如何在物理意义上与回复力Ｆ■＝-ｋｘ中的负号对应起来呢？

３    余弦函数的意义与问题的解答

在数学教材中，余弦函数是从圆导入的（图３），ｃｏｓα＝■中的ｘ为圆上Ｐ点的横坐标，ｒ为单位圆的半径［２］。

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图３  单位圆上的Ｐ点

在任意半径的圆上，某点坐标为（ｘ，ｙ），则对应的余弦函数值为■，不难看出，ｃｏｓα＝■，圆的半径只能是正值，而横坐标可以是正值或者负值。横坐标的正负直接决定余弦值的正负，表明圆上某点在ｘ轴上的投影位于正半轴或者负半轴。

因此，本文认为余弦函数ｃｏｓθ其实已经具备了矢量的特性，余弦值的正负可以表示方向，正弦值ｓｉｎθ亦然［３］。

回到教材的物理情境中，式子Ｆｘ＝-ｍω２Ａｃｏｓθ中的负号其实指的是Ｆｘ与“ｃｏｓθ”方向相反。进一步分析“ｃｏｓθ”隐含的方向信息，ｘ＝Ａｃｏｓθ，ｃｏｓθ＝■=■，ｘ表示质点在ｘ轴方向上的分位移，是矢量，而Ａ表示半径大小，是标量。显而易见，余弦值ｃｏｓθ的正负体现的就是分位移的方向，因此式子“Ｆｘ＝-ｍω２Ａｃｏｓθ”中负号指的就是“向心力在ｘ轴方向上的分力Ｆｘ与位移在ｘ轴方向上的分位移ｘ方向相反”，这才能与回复力式子Ｆ■ ＝-ｋｘ中负号所表达的物理意义相对应。也正是因为做匀速圆周运动的物体在ｘ轴上表现出了简谐运动所具有的特性，才能得出“匀速圆周运动在某坐标轴上的投影是简谐运动”这一结论。

４    结  语

本文基于粤教版教材中“从匀速圆周运动得出简谐运动周期公式”的相关内容，围绕向心力在ｘ轴方向上分力表达式中负号“-”的含义，探讨了余弦函数“ｃｏｓθ”在匀速圆周运动这一物理情境中所具有的矢量特性，结合回复力表达式的物理意义澄清了“匀速圆周运动在某坐标轴上的投影是简谐运动”这一事实的内在逻辑。

参考文献：

［１］熊建文．普通高中物理教科书选择性必修第一册［Ｍ］．广州：广东教育出版社，２０２０．

［２］章建跃，李增沪．数学（必修1 Ａ版）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１９．

［３］陈熙谋，吴祖仁．普通高中教科书物理选择性必修第一册［Ｍ］．北京：教育科学出版社，２０２１．

（栏目编辑    邓   磊）