利用MATLAB加强滑动变阻器原理探究

摘   要：以滑动变阻器的工作原理为基础，结合MATLAB仿真技术，深入对比分析了滑动变阻器在限流电路和分压电路中对负载电流（电压）的调节特性。通过对两种电路在实际应用中的能耗进行精确计算与比较，明确了滑动变阻器调节便捷性的具体表现，并探讨了不同阻值滑动变阻器对负载调节的线性特性和精细调节能力的影响。研究为理解滑动变阻器的电路应用和优化设计提供了理论依据。

关键词：滑动变阻器；能耗分析；调节范围；线性特性；精细调节

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2024）7-0076-5

滑动变阻器作为高中物理实验中不可或缺的电学仪器，在高考考查中占据重要地位。在测量电阻、电阻率、描绘小灯泡伏安特性曲线，以及测定电源电动势和内阻的实验中，滑动变阻器的使用对于调节负载上的电流和电压至关重要［1］。高考对滑动变阻器的考查主要集中在其选择和两种电路——限流电路（图1）与分压电路（图2）的连接方法上。

传统教学中，教师往往将滑动变阻器的选择和使用原则简化为“小分大限，限节能，分万能”，虽然这一总结能够帮助学生应对多数考题，但在培养学生核心素养和科学思维方面却显不足。学生对于“小滑动变阻器调节更方便”这一论断背后的物理意义常常感到困惑，这反映了他们在滑动变阻器调节原理理解上的不足［2-3］。同时，教师在讲解负载上电流、电压调节范围和能耗时，往往忽略电源内阻的影响，导致理论与实际存在偏差。这些问题的根源在于教学中对滑动变阻器原理的阐释缺乏深度和严谨性，核心概念界定模糊，以及对复杂问题的深入探究不足。因此，本文将利用MATLAB的强大数学和图形处理能力，对滑动变阻器在限流和分压电路中的节能效果及其对负载电流电压的调节范围进行深入对比研究，并对滑动变阻器调节的方便性进行准确阐述与分析。

1    调节范围探究

在图1的限流电路中，通过负载R的电流取值范围为：

其中，E为电源电动势，r为电源内阻，R为负载电阻，R1为滑动变阻器的最大阻值。分析易得，在负载和电源一定的情况下，R1越大，负载中电流的可调范围就越大。

在图2的分压电路中，通过负载R的电流取值范围为：

小而减小。因此，实验中若滑动变阻器的阻值过小，将使得负载中的电流可调范围变小，从而失去可调范围大的优点。

从上面的分析中可以看出，仅仅向学生传授“在测量大范围时使用分压接法，选择小滑动变阻器”这样的结论是不严谨、不科学的，且与真实实验结果不符。此外，通过对负载中电流最大值的分析，学生得知分压电路中负载电流的最大值实际上小于限流电路中的最大值。因此，在实验中，教师必须根据负载所需电流的具体范围进行细致分析，以选择合适的滑动变阻器，而不能一味地偏好选择阻值较小的滑动变阻器。

为进一步对比限流接法与分压接法在负载电流可调范围上的差异，可以通过计算两种电路中负载调节范围的比例z来进行定量分析，即定义z为

化简，得

利用MATLAB绘制图像，如图3所示。

通过分析可得，变量z始终小于1，这表明在电源、负载和滑动变阻器参数相同的情况下，分压接法在负载上的电流（或电压）调节范围始终大于限流接法。在特定的条件下，即当n>5且m>5时，两种电路调节范围的比值基本保持恒定。在这种情况下，分压电路的调节范围大约是限流电路调节范围的5倍，表明在这一参数区间内，分压电路的调节能力显著优于限流电路。当n>5，m<5且n确定时，变量z会随m的增大而增大。然而，在n<2的范围内，当变量n确定时，变量z随m的增大而急剧减小。但是，当m>5后，z值的变化变得较小，并趋于稳定。

教学建议：在教授限流电路和分压电路中负载调节范围时，教师可以先设定电源内阻为零的条件，让学生自主探究并展示他们的发现。随后，引导学生考虑电源内阻不为零的情况。对于限流电路，学生能够相对容易地分析出结果，而分压电路的分析则较为复杂，此时教师应引导学生共同完成。在得出理论结果后，教师应利用MATLAB对两种电路的调节范围进行对比分析，并绘制相应的函数图像，以使结果更加直观，帮助学生形成对限流和分压电路负载调节范围的完整且严谨的理解。

为了巩固知识，教师可以设置以下练习题目：某物理兴趣小组要描绘一个标有“4 V 2 W”的小灯泡的完整伏安特性曲线。除了导线和开关，他们还可以使用以下器材：

A.直流电源6 V（内阻r=2 Ω）；

B.电流表（量程0～0.6 A，内阻不计）；

C.电压表（量程0～3 V，内阻9 kΩ）；

D.滑动变阻器R1（标有“10 Ω 2 A”），R2（标有“5 Ω 2 A”）；

E.三个定值电阻（R01=1 kΩ、R02=2 kΩ、R03=3 kΩ）。

（1）小组发现，电压表量程不足以满足实验需求。为了完成测量，他们需要将电压表进行改装，从给定的定值电阻中选择最合适的电阻（选填“R01”“R02”“R03”） 与电压表串联，完成改装。

（2）为了描绘出小灯泡的完整伏安特性曲线，滑动变阻器应采用                （填写“限流”或“分压”）接法。

（3）小组使用滑动变阻器R2进行实验，但发现无论如何调节，都无法使小灯泡两端的电压达到额定电压。检查电路元件和导线均无问题。请分析原因，并提出至少一种改进方案。

原因分析：

改进方案：

解析：（1）R03；（2）分压；（3）原因分析：由于电源有内阻，且选用的滑动变阻器阻值过小，即使将滑动变阻器全部与小灯泡并联，小灯泡上的电压仍然小于其额定电压；改进方案：可以选择滑动变阻器R1或更换电压更高的电源。

2    能耗探究

当电源电动势相同且通过负载的电流相同时，限流电路的总功率为

P1=EI（1）

分压电路的总功率为

其中，x为与负载并联的滑动变阻器部分与滑动变阻器总阻值的比值。将（2）式与（1）式相除得二者能耗之比

限流电路中负载上电流的取值范围为

分压电路中负载上电流的取值范围为

分析可得：

由（4）式可得，负载上电流I与x正相关。将I的取值范围代入（4）式，可得x的取值范围。I取最小时，可得

x2R+RR1x+R（R1+r）=0（5）

求解（5）式，可得

把（6）式代入（3）式，得

利用MATLAB绘制图像，如图4所示。

当n确定时，m越大，zmax值越大。

当n>10时，随着m的增大，zmax变化很小，且zmax值也较小。可见，在这个范围内限流电路的节能效果并非特别明显。

当n<10时，随着m的增大，zmax变化较大，即在这个范围内限流电路的节能效果最好。例如，当n=0时，分压电路与限流电路的能耗最大值之比约为m+2。若负载R=200 Ω，R1=10 Ω，分压电路能耗可达到限流电路能耗的22倍。

教学建议：在探讨限流和分压电路的能耗时，教师可以引导学生自行计算两种电路的总功率。学生很容易得出（3）式，从而得出分压电路的能耗一定大于限流电路的结论。然而，学生也可能会错误地认为当x取极小值时，分压电路的能耗将远远大于限流电路的能耗。因此，在得出（3）式后，教师应及时指出该式是在通过负载的电流相同时简化得到的，并且强调要比较两种电路的能耗，必须确保负载上的电流在两种电路中都可以取值。

在说明了电流的取值范围后，教师可以引导学生计算在电流的可取范围内对应x的取值范围。然而，对于学生来说，确定x的取值范围可能具有一定的难度。对于层次较高的班级，学生可能能够完成这项任务，但对于层次较低的班级，教师可以适当降低难度，例如提供电源、负载和滑动变阻器的具体参数，以简化符号运算的复杂性。

在得出两种电路的能耗比公式之后，教师可以使用MATLAB展示函数图像，并在图像中选取不同的点来展示对应能耗比的具体数值，从而帮助学生更准确、直观地理解两种电路的能耗比。

在理论探究之后，教师可以设置以下题目来让学生巩固所学知识：

在图1、图2两电路中，电源电动势E=6 V，内阻r=1 Ω，负载R=50 Ω，滑动变阻器R1=10 Ω，求：

（1）图1电路消耗的最大功率P1；

（2）图2电路消耗的最大功率P2；

（3）当通过电阻R的电流相同时，两电路消耗的功率之比为多少？

解析：（1）P1=0.7 W；（2）P2=0.9 W；（3）6.0～6.4。

3    调节方便性探究

在实验操作中，滑动变阻器的体积和长度可能会影响其操作的便利性，但这并不是衡量调节方便性的主要因素。实际上，“方便”的物理含义应体现在调节的有效性和精细程度。调节的有效性主要是指滑动变阻器阻值变化引起负载上电压或电流变化的线性程度［4］。而调节的精细程度则是指滑片位置变化对负载上电流或电压改变的程度。这两个方面共同决定了滑动变阻器的调节性能。

3.1    线性程度分析

限流电路中，通过负载的电流为

在分压电路中，通过负载的电流为

变形，整理（12）式得

通过图像分析，可以观察到，在负载和电源保持不变且电源内阻可忽略的情况下，参数m的增大有助于提高图像的线性度。特别是当m≥1时，图像呈现出近似线性的特征。因此，在实验中，可根据R≥R1的原则选取滑动变阻器，以确保负载上的电压能够均匀调整。

考虑到电源内阻不为零的情况，可以通过分析不同n值来探究其影响。分析结果表明，不同的n值下，图像形态基本保持一致，如图7所示。这表明，电源内阻对负载上电流的线性程度影响甚微。因此，在进行相关探究时，可以将电源内阻视为零，以简化实验条件。

3.2    细调程度分析

限流电路中，负载上的电流为

当E、r、R、R1一定时，微分可得

由于滑动变阻器的阻值变化至少对应于一圈绕线的电阻值，即Δx的最小变化量是绕线一圈的电阻值与总阻值R1的比值。因此，在选定滑动变阻器后，Δx的值是固定的。随着滑动位置x的增加，ΔI（电流变化量）逐渐减小，这表明细调的精度在提高。换句话说，在限流电路中，滑动变阻器接入电路的阻值越大，其细调性能越优越。

分压电路中，负载上的电流为

对（17）式微分，得

通过图像分析，在保持负载和电源不变且忽略电源内阻的条件下，可以观察到以下现象：当m≥1时，滑动变阻器对负载电流的调节精细程度几乎不随位置x的变化而变化，并且与m<1相比，其调节的精细程度更优。当m<1时，随着x的增大，调节精细程度起初略有提升，随后逐渐减弱，并且在x≥0.8后会迅速降低。对于n≠0的情况，通过赋值分析，发现其结果与n=0时的情况基本相符。

教学建议：关于滑动变阻器对负载上电流（电压）调节的线性程度和细调程度的理论探究，对高中学生来说可能存在一定难度。因此，教师可以简单定义滑动变阻器的调节方便性，使学生理解调节的方便性并非由滑动变阻器阻值的大小决定，而是取决于调节的线性程度和细调程度。对于这两个概念的理论探究，教师可以提供相应的阅读资料，鼓励学生自主学习。

4    结  论

在滑动变阻器的教学中，由于时间和条件的限制，学生难以通过自主实验深入探究其作用特点。同时，受限于高中学生的数学能力，即使进行理论探究，学生也可能难以全面理解滑动变阻器在不同电路中的作用效果和特点。如果教学仅限于向学生传授结论，而不对滑动变阻器的原理进行深入探究和准确说明，可能会导致学生对知识的理解出现偏差，不利于科学思维能力和核心素养的培养。因此，教师在教学中应利用科学计算软件等辅助工具，解决疑难问题，深化对抽象问题的理解，加强原理的探究和问题的深度剖析。教师不应回避困难，只有自己首先进行科学探究，才能有效开展科学探究的教学活动，从而培养出具有科学探究能力的学生。

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.普通高中物理课程标准（2017年版2020年修订）［S］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］葛建光，滕建强.基于原始物理问题培养科学思维的探讨［J］. 物理教师，2023，44（12）：14-17.

［3］郭玉英.从三维课程目标到物理核心素养［J］. 物理教学，2017，39（11）：2-4，8.

［4］张春勤，李兴宁.滑线变阻器分压限流特性的探究［J］.泰州职业技术学院学报，2004，4（4）：29-31.