高中物理两类力学模型“多题一解”浅析

摘   要：对高中物理中的两类经典力学模型进行了分析，包括圆锥摆模型和斜面摩擦力做功模型。这两个模型形式多样、涉及范围广泛，并具有多样的隐含条件。在新课程教学中，需要注意总结归纳，采用一种方法解决多种变式问题，总结多题一解的规律，整理主要知识脉络，以简化复杂问题，提高课堂教学效率。

关键词：圆锥摆模型；斜面摩擦力做功；多题一解；考点分析

中图分类号：G633.7 文献标识码：A    文章编号：1003-6148（2024）9-0077-6

高中力学模型种类繁多，考点广泛，具有综合性。学生在初学阶段，如果不能熟练掌握一些基础物理模型，总结解决变式问题的方法，学习效率就会较低，无法举一反三。以高中物理中两个具有相似特征的力学模型为例，通过对一类题目的考点分析和解题方法的总结，归纳出解决这类问题的通用方法，实现多题一解。多题一解不仅能够方便地梳理出力学模型的特点和相关应用，还能通过对比分析类似试题，提高学生综合分析试题考点和考查方向的能力，避免纯粹应试的学习策略，激发学生的学习兴趣。多题一解处理力学模型的方法还可以迁移到其他学习领域，进一步探索物理模型的学习方法。

１    圆锥摆模型

圆锥摆模型如图１所示，一根不计质量的长度为Ｌ的细线，一端系有一个质量为ｍ的小球，在水平面内做匀速圆周运动。细线与竖直方向的夹角（摆角）为θ，悬挂点Ｏ与圆心的距离为摆高ｈ。由于摆线掠过的轨迹形成圆锥体，因此称之为圆锥摆模型［１］。在该模型中，小球只受到两个作用力，即竖直向下的重力和沿绳方向的拉力。这两个力的合力指向圆心，提供小球做匀速圆周运动的向心力。在新课程教学中，要顺利找到这类模型的切入点，关键是准确进行受力分析，找到圆周运动向心力的来源。

１．１    求解基本物理量

要掌握圆锥摆模型，就需要从求解圆周运动的基本物理量开始。线速度、角速度、运动周期和向心加速度是圆周运动的基本物理量，也是该模型的重点考查内容。结合受力分析的扩展，这些量变得更加具有挑战性。对于初学者来说，圆锥摆模型是一道综合性问题，涉及受力分析和运动分析，解答过程较为复杂。然而，如果能够推导出模型中基本物理量的求解公式，并在解答问题时将问题分类处理，运用推导式进行判断，就能大大简化解答过程，并提高答题准确率。根据受力分析，小球所受的合外力提供向心力，即

例１  一根长为Ｌ的细线，上端固定在天花板上的Ｐ点，下端系质量为ｍ的小球。将小球拉离竖直位置，并赋予一个与悬线垂直的初速度，使小球在水平面内做匀速圆周运动。悬线与竖直方向的夹角为θ，悬线旋转形成一个圆锥面，这就是常见的圆锥摆模型，如图２所示。关于圆锥摆，下面说法正确的是（     ）

Ａ．圆锥摆的周期Ｔ与小球质量无关

Ｂ．小球做圆周运动的向心力由绳子拉力和小球重力的合力提供

Ｃ．圆锥摆的周期T=2π

Ｄ．小球做匀速圆周运动，其向心加速度为gsinθ

分析 考查圆锥摆模型的基本物理量公式、受力分析和向心力来源。通过向心加速度和周期推导式得出答案为Ａ、Ｂ和Ｃ。此题较为简单，目的在于建立圆锥摆运动模型，熟悉模型中基本物理量推导式的使用。

１．２    圆锥摆的动态分析

变式１ 如图３所示，细线下端系有一个金属小球Ｐ，细线上端固定在一个金属块Ｑ上。金属块Ｑ放置于带小孔（小孔光滑）的固定水平桌面上，小球在某水平面内做匀速圆周运动。现将小球移到一个更高的水平面上（图中Ｐ＇ 位置）继续做匀速圆周运动。两次金属块Ｑ都静止在桌面上同一点。与原来相比，以下判断正确的是（    ）

Ａ．细线所受的拉力变小

Ｂ．小球Ｐ做圆周运动的角速度变大

Ｃ．金属块Ｑ受到的支持力变大

Ｄ．金属块Ｑ受到的静摩擦力变大

分析 图中Ｐ和Ｐ'是圆锥摆模型中的两个位置。两位置摆角不同，相较于Ｐ点，Ｐ'点对应圆周运动的高度更高，摆角θ更大。题干中的隐含条件为两次金属块Ｑ静止于同一位置，摆线长Ｌ保持不变。根据r=Lsinθ，可知Ｐ'点对应水平圆周运动的半径更大［２］。根据基本物理量拉力和角速度的推导式，摆角θ越大，角速度越大，摆线拉力也越大。将研究对象转换为金属块Ｑ，根据平衡条件可得，金属块Ｑ受到的静摩擦力与细线拉力相等，桌面施加的支持力等于金属块Q的重力。因此，正确答案为Ｂ、Ｄ。

圆锥摆动态分析小结：

（１）当摆线与竖直方向的摆角θ增大时，圆周运动的角速度ω、向心加速度ａ、细线张力ＦＴ均增大，圆周运动的周期Ｔ和线速度ｖ均减小。反之，一个角速度较大的圆锥摆，其摆线与竖直方向的夹角θ也越大。

（２）当摆线长Ｌ和夹角θ均变化，而摆高ｈ＝Ｌｃｏｓθ不变时，由ω=，T=2π，得出角速度ω和周期Ｔ保持不变。

１．３    两种变式圆锥摆

变式２ 如图４所示，两根长度不同的细线的上端固定在天花板上的同一点，下端分别系一相同的小球，这两个小球在同一水平面内做匀速圆周运动。稳定时，ＯＡ和ＯＢ与竖直线的夹角分别为６０°和３０°。关于这两个小球的受力和运动情况，下列说法中正确的是（      ）

Ａ．两球运动的周期之比为 TA：TB=1：1

Ｂ．两球线速度的大小之比为vA：vB=3：1

Ｃ．细线拉力的大小之比为FA：FB=3：1

Ｄ．向心加速度的大小之比为aA：aB=3：1

分析 本题讨论不同圆锥摆的受力和基本物理量之间的关系。根据动态分析可知，两个圆锥摆的摆高ｈ相同，角速度ω、周期Ｔ也相同。两个圆锥摆Ａ和Ｂ的摆角分别为６０°和３０°。根据基本物理量拉力公式 F=，可得出细线拉力大小之比为：1。两小球运动的角速度和周期相同，根据圆周运动关系式a=ωv，v=ωr=ωhtanθ，可以得到线速度和向心加速度大小之比。因此，正确答案为Ａ、Ｂ和Ｄ。

变式３  如图５所示，两个相同的小球Ａ、Ｂ用不同长度的细线拴在同一点Ｏ，在不同的水平面内做圆锥摆运动，两绳与竖直方向的夹角相同，则小球Ａ、Ｂ的（   ）

Ａ．周期相等

Ｂ．角速度相等

Ｃ．线速度大小相等

Ｄ．向心加速度大小相等

分析 变式３中两个圆锥摆有相同的摆角θ，不同的摆长Ｌ，则摆高ｈ＝Ｌｃｏｓθ不同。根据基本物理量公式，两个圆锥摆的角速度、线速度、周期均不同。由受力分析得ａ＝ｇｔａｎθ，可知摆角相同时向心加速度相等，故正确答案为Ｄ。

两种变式圆锥摆小结：

（１）摆高相同、摆长不同的圆锥摆的周期和角速度相同，类似于同轴转动。线速度和向心加速度不同，两者大小之比由基本物理量间的关系判断。

（２）摆角相同、摆长不同的圆锥摆的摆高、角速度、线速度和周期一定不同。向心加速度与摆角有关，摆角相同，向心加速度一定相同。

１．４    圆锥摆临界问题

例２ 如图６所示，一个固定的光滑圆锥体静置在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，一条质量不计、长为Ｌ的细绳，一端固定于锥体的顶点Ｏ处，另一端系着一个质量为ｍ、可视作质点的小球，细线与轴线间的夹角θ为３７°。现使小球以角速度ω绕轴线在水平面内做匀速圆周运动。

１．５    连接体圆锥摆

将两个圆锥摆连接成一个整体，就组成了连接体圆锥摆。对于连接体圆锥摆模型，整体分析和隔离分析是解题关键。该模型是一个综合性力学问题，主要讨论组合圆锥摆的基本物理量关系、摆角关系和几何关系，难度系数大。

例３  如图９所示的小角度圆锥摆模型，甲、乙两个质量相同的小球（视为质点）用轻质细线１连接，并用轻质细线２悬挂在天花板上的Ｏ点。细线１、２的长度相等，两球在两个不同高度的水平面内做匀速圆周运动。细线与竖直方向的夹角分别为θ、 β （单位均为弧度），且θ、 β非常小，可以取tanθ=sinθ=θ，tanβ=sinβ=β。求：θ与β的比值。

分析  对于连接体圆锥摆，两小球在相同时间内转过的角度相同，类似于两球做同轴转动，可类比等高圆锥摆。

设细线１、２的拉力分别为ＦＴ１、ＦＴ２，两细线的长度均为Ｌ。隔离乙球，得

FT1cosθ=mg

FT1sinθ=mω2（Lsinθ+Lsinβ）

将甲、乙两球看作一个整体，得

FT2cosθ=2mg

FT2sinθ=mω2（Lsinθ+Lsinβ）+mω2Lsinβ

运算时，结合数学近似，可得到两个圆锥摆的摆角关系。

圆锥摆模型小结：

（１）该模型常考基本物理量公式，熟练掌握推导公式是关键。

（２）在此基础上进行基本物理量动态分析，可以根据问题进行试题归类，运用变式模型的特点和相关的结论，就能较轻松地掌握此类题型，做到多题一解。

２    斜面摩擦力做功

图１０是一个倾角为θ、长为Ｌ的斜面，斜面底端长度ｘ＝Ｌｃｏｓθ。质量为ｍ的滑块从顶端滑到底端的过程中，讨论摩擦力的做功情况，称为斜面摩擦力做功问题［３］。由滑动摩擦力f=μFN=μmgcosθ=μmgx，从斜面顶端到底端过程中，滑块克服摩擦力做的功，等同于滑块从斜面底端Ａ'点到Ｂ点克服摩擦力所做的功，这种等效替代的方法叫作等效法。

例４  如图１１所示，两个相同质量的物体，分别从斜面ＡＣ和ＢＣ的最高点由静止开始下滑，物体在两个斜面上的动摩擦因数相同，它们下滑至斜面底端Ｃ处的动能分别为Ｅｋ１和Ｅｋ２，在整个下滑过程中，物块克服摩擦力所做的功分别为Ｗｆ１和Ｗｆ２，则（     ）

Ａ．Ｅｋ１＞Ｅｋ２，Ｗｆ１＜Ｗｆ ２

Ｂ．Ｅｋ１＝Ｅｋ２，Ｗｆ１＝Ｗｆ ２

Ｃ．Ｅｋ１＜Ｅｋ２，Ｗｆ１＞Ｗｆ ２

Ｄ．Ｅｋ１＞Ｅｋ２，Ｗｆ１＝Ｗｆ ２

分析  设斜面的倾角为θ，滑动摩擦力做功Wf = μmgcosθL= μmgx，ＡＣ和ＢＣ是两个同底斜面，其水平距离相同，滑动摩擦力做功相同，即Ｗ１＝Ｗ２。由动能定理mgh-μmgcosθ=Eｋ-0可知，在ＡＣ斜面下滑的高度大，滑到底端时的动能也大，故正确答案为Ｄ。

变式５  如图１２所示，质量为ｍ的物块由静止从斜面Ａ点开始滑动，停在水平面上的Ｂ点（斜面与水平面通过一小段与它们相切的圆弧连接），量得Ａ、Ｂ两点间的水平距离和Ｂ、Ｃ两点间距离均为ｓ，物块与两个接触面间的动摩擦因数均为μ。如果用与轨道平行的力Ｆ把物块从Ｃ点拉回Ａ点，则力Ｆ做的功至少为（     ）

Ａ． μmgs   Ｂ．２μmgs

Ｃ．３μmgs     Ｄ．４μmgs

分析  物块从Ａ处由静止滑下，停在水平面上的Ｂ点。设ＡＢ间的高度差为ｈ，则mgh-μmgs=0-0。用力把物块从Ｃ点拉回Ａ点时，既要克服摩擦力做功，又要克服重力做功，由动能定理WF - μmg（s+s）-mgh=0-0，得WF =3μmgs。