电磁感应与简谐运动结合类试题的分类与剖析

摘    要：高中物理试题中常出现电磁感应与简谐运动结合类试题，由于这类试题涉及到电学和力学部分内容，试题综合性强，学生求解难度较大。根据这类试题中的磁场是否为匀强磁场，将这类试题分为导体棒在非匀强磁场中做简谐运动类试题和导体棒在匀强磁场中做简谐运动类试题，并分类归纳出每类试题的相应求解方法。

关键词：电磁感应;简谐运动;回复力;磁场

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2022）9-0038-3

电磁感应是高中物理电学部分内容的主干知识，能很好地考查学生力与运动和功与能方面的主干知识。简谐运动是高中物理中的常备知识，而且简谐运动有其独特的对称规律。若导体棒在均匀磁场中做简谐运动切割磁感线，那么回路产生的电流为正弦交变电流，遵循正弦交变电流的相应规律。而正弦交变电流知识亦是高中物理中要求学生掌握的内容，这使得电磁感应与简谐运动结合类试题深受命题者的青睐。

笔者根据电磁感应与简谐运动结合类试题中的磁场是否为匀强磁场，将电磁感应与简谐运动结合类试题分为导体棒在非匀强磁场中做简谐运动类试题和导体棒在匀强磁场中做简谐运动类试题。

1    导体棒在非匀强磁场中做简谐运动类试题剖析

若磁场为非匀强磁场，一般可使磁场随位置成线性变化关系，再使导体棒中通以恒定电流即可实现导体棒在非匀强磁场中所受的合外力随位移成线性规律变化，满足简谐运动的力学特征。解决这类试题的基本方法是盯牢导体棒的平衡位置和导体棒所受合外力与偏离平衡位置的位移成正比关系的特征。

例1 间距为L、电阻可忽略的两平行光滑金属导轨如图1所示，x轴平行导轨，y轴垂直导轨。在y轴位置有一厚度可不计的绝缘薄层，隔开两部分电路。在导轨间存在一个磁感应强度大小相对y轴对称的磁场，磁场沿y方向均匀分布，沿x方向大小随x变化;y轴左侧磁场方向垂直纸面向外，右侧磁场方向垂直纸面向里。在x=x0处磁感应强度为B0。导轨右侧的恒流源为电路提供恒定电流I，开关S接通时，电流方向如图1所示;导轨左侧接一阻值为2R的电阻。有一电阻为R的导体棒M垂直导轨静止置于x=x0处，当开关S接通时发现其在y轴右侧的位移随时间变化规律为x=x0cosωt，其中ω为常数。金属棒在左侧导轨运动的最远距离为-xm，求：（1）磁感应强度大小B与x的函数关系;（2）从开关S接通到棒运动至左侧最远处的过程中流过导体棒的电量q;（3）在y轴左侧运动时导体棒产生的焦耳热Q。

分析与求解 （1）由于导体棒在y轴右侧运动的位移随时间按余弦规律变化，即x=x0cosωt，所以易求得导体棒在此非匀强磁场中做简谐运动且平衡位置在x=0处;导体棒所受合外力与导体棒偏离平衡位置的位移成正比。即在x=x0位置B0IL=-k·x0，在任意位置BIL=-k·x，解得B=■·x。（2）导体棒在y轴右侧做简谐运动，流经导体棒的电流恒定，易求得此过程流经导体棒的电荷量q1=I·■，方向向上;当导体棒在左侧运动时切割磁感线，流经导体棒的电荷量q2=■=■=■=■。方向向下;故流经导体棒总的电荷量q=q1-q2=■-■;（3）导体棒在y轴左侧运动时，导体棒的动能转化为整个回路的焦耳热，即有3Q=■mv■■，y轴右侧导体棒做简谐运动，即有F■=-kx，对导体棒应用动能定理有W■=■kx■■=■B0IL·x0=■mv■■，解得：

Q=■B0ILx0

变式1：固定在水平桌面上的光滑金属导轨PQ、MN处于竖直向下的磁场中，恒流源提供恒定的电流I。开始时质量为m的金属杆ab处在坐标原点O处，如图2所示。某时刻接通电路，金属杆ab在水平向右的恒定外力F0作用下，从静止开始向右运动，运动中金属杆ab始终垂直于金属导轨且接触良好，当金属杆ab速度再次为零时运动结束。已知，Bx=B0+kx，F0=2B0IL，可以用F-x图像下的“面积”代表力F所做的功。则金属棒（       ）

A.运动的加速度大小不变

B.速度达到最大时的位置为■

C.最大速度为B0■

D.最大位移是■

分析与求解 对金属棒向右运动过程中任一位置受力分析可知，金属棒受到向右的外力F0和安培力FA=BxIL作用，金属棒受到的合外力F■=

-BxIL+F0=B0IL-kILx;从金属棒所受合外力表达式中可以看出金属棒所受合外力与金属棒位移成线性关系，即金属棒应做简谐运动，平衡位置在x=x0=■位置，简谐运动振幅A=x0=■;所以，金属棒最大位移x=2A=■，D选项正确。由简谐运动可知金属棒在平衡位置速度最大，对金属棒应用动能定理有F■·x0=■mv■■-0，即■B0IL·■=■mv■■-0，解得vm=B0·■，故A、B、C选项都不正确。

点评：在磁感应强度大小随位置变化的非匀强磁场中，导体棒一般接恒流源;若导体棒在磁场中所受到的合外力随位置线性变化，此时导体棒必在磁场中做简谐运动，遵循简谐运动的规律。

2    导体棒在匀强磁场中做简谐运动类试题剖析

导体棒在匀强磁场中做简谐运动切割磁感线时，回路电流随时间按正弦规律变化，导体棒所受安培力随时间按正弦规律变化。所以，导体棒除受安培力作用外必受一变化的外力作用，变化的外力和安培力共同作用使导体棒所受合外力与位移成正比关系，即F■=-kx。

例2 （2020年1月浙江省物理选考试题）如图3甲所示，在xOy水平面内，固定放置着两个间距为l的平行金属直导轨，其间连接有阻值为R的电阻，电阻两端连接示波器（内阻可视为无穷大），可动态显示电阻R两端的电压。两导轨间存在大小为B，方向垂直导轨平面的匀强磁场。t=0时一质量为m、长为l的导体棒在外力F作用下从x=x0位置开始做简谐运动，观察到示波器显示的电压随时间变化的波形是如图3乙所示的正弦曲线。取x0=-■，则简谐运动的平衡位置在坐标原点O，不计摩擦阻力和其他电阻，导体棒始终垂直导轨运动。（1）求导体棒所受到的安培力FA随时间t的变化规律;（2）求在0至0.25T时间内外力F的冲量;（3）若t=0时外力F0=1 N，l=1 m，T=2π s，m=1 kg，R=1 Ω，Um=0.5 V，B=0.5 T，求外力与安培力大小相等时导体棒的位置坐标和速度。

分析与求解 （1）示波器上显示的电压波形即为电阻R两端电压随时间的变化图线，据此图线易求得U=Umsin■t，闭合回路的电流I=■=■sin■t，导体棒所受到的安培力FA=-BIl=

-■sin■t;

（2）t=0.25T时刻导体棒回到平衡位置，此时速度最大Um=Blvm，解得vm=■，对导体棒在此过程中应用动量定理有IF-BIl·Δt=mvm-0，解得IF=Blq+mvm=■+■=■+■;

（3）由导体棒做简谐运动可知导体棒受到的合外力F■=-kx，即有F+FA=-kx;t=0时刻x0=-1 m，F0=1 N，FA=0，代入得k=1;当外力大小与安培力大小相等、方向相反时有F=-■kx=-■x，FA=■kx=■x，解得x=0，此时v=±vm=±■=±1 m/s;当外力大小与安培力大小、方向相同时有F=FA=-■kx=

-■x，对回路应用能量守恒定律有■kx■■-■kx2=■mv2，FA=-■x=-■，解得x=±■ m，v=

±■ m/s。

变式2：如图4所示，间距L=1 m的平行金属导轨水平放置，一质量m=1 kg的导体棒MN垂直导轨放置，在导体棒运动的区间存在方向垂直导轨平面、大小B=0.3 T的匀强磁场。导轨左边接有一阻值R=0.3 Ω的电阻，电阻两端接有内阻可视为无穷大的示波器，可动态显示电阻R两端的电压随时间的变化。t=0时，导体棒在外力F作用下从静止开始运动，示波器显示的电压随时间变化的波形如图5所示，t=0至1 s为直线;t=1 s至5 s为余弦曲线。导体棒MN始终垂直导轨运动，不计其他电阻和阻力。（1）求t=0至5 s内安培力与时间的关系;（2）求t=0至3 s内安培力的冲量;（3）若t=0至1 s内电阻产生的焦耳热Q=0.1 J，求t=0至5 s内外力所做的功。

分析与求解 （1）根据电压随时间变化图线易求得电压随时间的变化关系，当0<t<1 s时，U=0.3t;当1 s<t<5 s时，U=0.3cos■（t-1），导体棒所受安培力FA=-BIL=-B■L，解得当0<t<1 s时，FA=-0.3t;当1 s<t<5 s时，FA=-0.3cos■（t-1）;（2）当0<t<1 s时，IA1=FA·Δt=-0.15 N·s;当1 s<t<3 s时，安培力的冲量IA2=0，所以0<t<3 s内，安培力的冲量IA=IA1+IA2=-0.15 N·s;（3）1 s<t<5 s时间内，流经回路电流为正弦交流电，电阻R上产生的焦耳热Q2=I2R·Δt=■×0.3×4 J=0.6 J，t=5 s时，U=0.3 V=BLv，解得v=1 m/s，在t=0至5 s内利用能量守恒定律WF=Q1+Q2+■mv2=1.2 J。

点评：导体棒在匀强磁场中做简谐运动时，由于磁感应强度大小不变，导体棒在磁场中受到变化的安培力和变化的外力作用。此时虽然导体棒所受外力和安培力都在不断变化，但导体棒所受合外力却随位移成正比例关系。在求解这类试题时，应盯牢导体棒所受合外力与位移成正比例关系这一特征。

电磁感应与简谐运动结合类试题在高中物理各大型考试中常有出现，能很好地考查学生力学和电学部分知识。学生在求解时要紧紧围绕电磁感应相应规律和简谐运动对称规律。本文根据这类试题的基本特征，分类剖析电磁感应与简谐运动结合类试题，总结每类试题的特征及其一般求解方法。以期学生在后期求解这类试题时有规律可借鉴，教师在讲授这类试题时有章可循。

参考文献：

[1]罗倩敏，李亮芝.简谐运动特征及其分类应用[J].高中数理化，2022（2）：2-6.

[2]程稼夫.中学奥林匹克竞赛物理教程力学篇[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2013：125-128.

（栏目编辑    陈  洁）