带电微粒在匀强磁场中两类临界问题讨论

摘   要：以2020年物理高考全国I卷第18题为例，讨论带电微粒在有界匀强磁场中运动的临界问题，教学生如何发现临界态，分析临界态，从而找到此类问题的解决策略。最后归纳出中学阶段常见的两类带电微粒在磁场中运动临界问题的解法。

关键词：高考试题研究；带电微粒；匀强磁场；临界问题；方法归纳

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2022）12-0044-3

带电微粒在有界匀强磁场中运动的临界问题是高中物理学习的重点和难点，同时也是物理高考的一个热点。本文以2020年全国I卷第18题为例，对此类问题进行探讨和归纳。

1    例题呈现

试题 [2020年物理高考（全国I卷）第18题]一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图1中虚线所示，为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为 （       ）

解析 带电微粒在匀强磁场中做匀速圆周运动qBv=， T=，可得带电微粒在匀强磁场中的运动周期T=，带电微粒在匀强磁场中运动的时间t=·T=。

由此可知，带电微粒在匀强磁场中运动的时间与入射速度无关，微粒运动时轨迹所对的圆心角越大，在磁场中完成运动所需要的时间越长。可以采用放缩圆思维解决该问题。

（1）当半径满足r≤0.5R和r≥1.5R时，微粒分别从ca、bd所在的直线范围中射出，R为半圆的半径，如图2，微粒在边界磁场中的运动轨迹为一个半圆，运动的时间则等于半个周期。

（2）当半径满足0.5R<r<1.5R时，带电微粒将从下侧的半圆形边界射出，利用缩放图（图3）容易得：当微粒的运动轨迹半径为R时，圆弧轨迹所对的圆心角即为最大。接着再逐渐增大运动轨迹的半径，则圆弧所对的圆心角就将逐渐减小。因此，当微粒运动的圆弧轨迹半径为R时，圆弧轨迹的圆心角就最大。即此时所对应的最大圆心角为θ=π+=π，微粒运动时最长时间为t=T=×=，故选C选项。

2    方法归纳

笔者归纳了学生解答此题遇到的主要问题：（1）审题时，不清楚“微粒具有各种速率”和“在磁场中运动时间最长的微粒”的物理含义；（2）分析微粒在有界磁场中运动的各种情况时，不能理解题目中“在磁场中运动时间最长的粒子”的物理含义，更不会挖掘其隐含的临界条件。该类问题在高中物理各类习题中，多次出现例如“刚好”“最大”“至少”“范围”等特定的词语，这些特定的词语其实就是在暗示该问题为临界问题。因此，学生在分析题意时，必须要重点关注这些特殊语言。下面我们根据两类模型来分析微粒在有界磁场中运动常见的两类型的临界问题，并总结其方法。

2.1    微粒的速度方向不变，大小改变

由于速度v方向不变，当速度大小逐渐增加时，其临界状态为运动轨迹与有界磁场相切。解题思路为根据已知微粒的入射位置及出射方向，找到微粒在有界磁场中做匀速圆周运动的轨迹，再用数学的几何关系分析和计算微粒做匀速圆周运动时的半径。

例1 如图4所示，一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从矩形区域ad边的中点O处垂直磁场射入一速度方向跟ad边夹角为37°、大小为v0的带电粒子，已知粒子质量为m，电量为+q，ad边长为L，重力影响忽略不计。试求粒子能从ab边上射出磁场的v0的大小范围？

例1中，微粒从同一位置方向相同但速度大小不同进入磁场，通过缩放图容易得到，临界态为微粒将会刚好与边界ab相切，同理微粒也会与边界dc相切（图5）。然后分析其临界态的物理含义：微粒出射速度方向与边界相切。找到出射速度的方向和入射速度的方向即可以得到微粒在有界磁场中运动的圆心和半径。

解析 对微粒在有界磁场中做匀速圆周运动，则 qvB=m，得R=

（1）当微粒刚好与边界ab相切时，则由几何关系可得：R1+R1cos53°=

所以R1=L，则v1=

（2）当微粒与边界dc相切时，则由几何关系可得：R2-R2cos53°=

所以R2=L，则v2=

综合所述：要使微粒能从ab边直线范围上射出磁场，则入射速度v0的大小应该为：

2.2    微粒的速度大小不变，方向改变

当微粒速度大小不变，朝不同方向发射，求它在磁场中运动最长的时间时，临界状态为微粒在有界磁场中的运动轨迹具有最大圆心角。根据数学知识知道微粒在有界磁场中做匀速圆周运动的圆心，再由几何长度关系求解微粒匀速圆周运动时的半径大小。

例2 如图6所示，半径为r的匀强磁场区域边界在y轴右边跟y轴相切于坐标原点O，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。在O处有一放射源S，可向纸面各个方向射出速度为v的带电粒子。已经粒子的比荷（荷质比）为=，求出粒子在磁场中运动最长的时间为多少？

审题时着重分析微粒在磁场中运动最长时间的物理含义。带电微粒以相同的速率从空间一点沿不同的方向射入磁场，它们的运动半径相同，所以微粒运动轨迹的圆心将构成以O点为圆心、半径为R的圆，微粒可以到达有界磁场任意地方，易知要使时间最长，则微粒在磁场中轨迹圆的弦最长。

解析 对微粒在磁场中做圆周运动，则

qvB=m，R==2r，T=

要使微粒在磁场中运动时间最长，则微粒从B点射出，故圆心为O1（图7）。由几何关系可得：Rsinα=r，即α=30°

所以，微粒在磁场中运动时间t=T=

3    总  结

带电微粒在有界匀强磁场中的匀速圆周运动，是历年物理高考试题中经常出现的内容，而带电微粒在各种有界匀强磁场中做匀速圆周运动的临界问题和状态的分析，又是高中学生学习的重点和难点。当一个物理情景（或物理表象）向另一个物理情景（或物理表象）转变时，存在一个分界几何点，我们把这个几何点叫临界点，也把物体在这种情景下所出现的状态称为临界状态，与该状态相关的物理参量则被称为临界参量，涉及此类问题就是临界问题。本文分析讨论了两类微粒在磁场中临界问题的解法：（1）微粒的速度v方向不变，大小改变；（2）微粒的速度v大小不变，方向改变。

在解决带电微粒在有界匀强磁场中做匀速圆周运动的临界状态时，可以通过以下几个步骤来分析：

（1）发现临界问题。通常临界状态的存在具有相当的隐蔽性，审题时应注意题目的描述，力求准确地分析和寻找题目所出现临界点的物理参量，并逐渐展开分析带电微粒的运动轨迹。有时可以用极限法暴露出粒子运动的情况，从而发现临界问题。

（2）确定临界位置。确定了临界问题后，学生理清带电微粒在磁场中的受力情况，并且依据题干给出的约束条件以及运动特征确定临界位置（入射位置或出射位置）。

（3）解决问题。确定临界位置后，根据临界状态的特征（比如，最长弦或者速度方向与边界相切），分析微粒在磁场边界的出射方向或出射点，找到微粒运动轨迹的圆心和半径，从而求解所需的问题。

因临界问题的隐蔽性特点且变化较大，故教师要有意引导学生在学习过程中应准确分析所蕴含的物理含义，准确区分、归纳和总结经典的物理题型，为今后的物理学习打下坚实的基础。

参考文献：

［1］胡卫雄.从几道高考题谈有界磁场的临界与极值问题的数理方法［J］.数理化解题研究，2021（1）：88-90.

［2］刘崎.让“轨迹圆”动起来——分析带电粒子源在磁场中做圆周运动的临界问题［J］.中学物理教学参考，2016，45（4）：56-57.

［3］雷闻韬.运用临界条件解决高中物理带电体在磁场中运动的问题［J］.亚太教育，2016（4）：53-54.

［4］陈水勇，饶华东.建构学科知识体系促进科学思维发展——2020年全国Ⅰ卷理综第18题教学启示［J］.物理教学探讨，2021，39（7）：60-63.（栏目编辑    陈  洁）

收稿日期：2022-09-20

作者简介：胡冬梅（1982-），女，中学一级教师，主要从事高中物理教学工作。