刍议双棒模型中的电和热

作者: 张鼎

刍议双棒模型中的电和热0

摘   要:在电磁感应中,依靠安培力做功可以实现不同形式能量之间的转化。克服安培力做功时,机械能转化为电能,电流通过电阻可以转化为热能;安培力做正功时,电能又可以转化为机械能和热能。文章讨论了在既有安培力做正功、又有安培力做负功的系统中,电能和热能的关系。

关键词:电磁感应;双棒模型;电能;热能

中图分类号:G633.7 文献标识码:A     文章编号:1003-6148(2022)12-0052-3

1    问题的引出

在对电磁感应部分的复习中,遇到如下一道双棒模型的例题。

例1 如图1所示,在磁感应强度大小为B的匀强磁场区域内,与磁场方向垂直的水平面内有两根固定的足够长的平行金属导轨,导轨上面平放着两根导体棒ab和cd,两棒彼此平行,构成一矩形回路。导轨间距为L,导体棒的质量都为m,电阻都为R,导轨部分电阻可忽略不计。设导体棒可在导轨上无摩擦地滑行,初始时刻ab棒静止,给cd棒一个向右的初速度v0。求:

(1)cd棒速度减为0.8v0时的加速度大小;

(2)从开始运动到最终稳定,电路中产生的电能;

(3)两棒之间距离增加量的最大值。

在第(2)问的解答中,复习资料上给出了下面的解答过程,这也是大多数老师的解法。

设两棒稳定时共同的速度为v,根据动量守恒定律得

mv0=(m+m)v

解得v=v0

故Q=mv-(m+m)v2=mv

在这种解法中,默认在全过程中电路中产生的电能等于回路中产生的焦耳热。那么,事实上是不是电能全部转化为热能呢?如果真是这样,那么ab棒增加的动能是什么形式的能量转化而来?又是如何转化为动能的呢?

2    问题分析讨论

(1)从做功和能量转化的宏观角度分析

首先,对cd棒进行分析。根据题意,cd棒所受到的合外力为安培力,其做功为W=mv2-mv,代入值可以得到W=-mv。

接下来,对ab棒进行分析。ab棒所受到的合外力也为安培力,其做功为W=mv2,代入值可以得到W=mv。

对整个回路来说,克服安培力所做的总功等于回路中产生的焦耳热,也就是从能量守恒的角度建立等量关系所得出的结果,即为解析所给出的答案。

接下来,分别分析W和W所对应的能量转化情况。根据功是能量转换的量度,W为负功,通过安培力对cd棒做负功,实现了cd棒的机械能转化为电能,即对应cd棒减少了mv的动能,转化为电路中的电能。这些电能一部分通过安培力对ab棒做正功,实现了电能转化为ab棒的动能,另一部分通过电流流过电阻发热,转化为回路中的焦耳热。

下面我们通过功率来分析能量转化之间的关系,设轨道的宽度为L,某一时刻回路中的电流为I,此时cd棒的速度为v1,ab棒的速度为v2。其中I=,则cd棒将动能转化为电能的功率(cd棒克服安培力做功的功率)为

P1=BILv1=BLv1

回路中的热功率

P=I2×2R=

ab棒将电能转化为动能的功率(安培力对ab棒做功的功率)为

P2=BILv2=BLv2

由计算可得,满足能量守恒P1=P+P2。

(2)从动生电动势产生的微观角度分析

对于cd棒,考虑棒中的一个电子,电荷量为e。如图2甲所示,假定某一时刻金属杆的速度为v,由于棒运动,电子受到洛伦兹力f1的作用,满足f1=evB,方向由c指向d,因此cd棒的c端带正电(相当于电源正极),d端带负电(相当于电源负极),这就是动生电动势产生的本质,电子所受洛伦兹力f1为产生动生电动势的非静电力。

另一方面,如图2乙所示,由于电子沿棒方向上有定向移动,故其还受到另一洛伦兹力f2的作用。设电子沿棒方向上定向移动的平均速率为v',则洛伦兹力f2满足f2=ev'B,方向水平向左。由于洛伦兹力一定不做功,故W1+W2=0,其中W1和W2分别表示f1与f2做的功。现考虑多个电子的情况,令cd棒横截面积为S,长度为L,单位体积内的电子数为n,则Nf2=nSLf2。将f2代入可得Nf2=nSLev'B。由电流的微观表达式I=neSv',进一步得到Nf2=BIL。因此,cd棒内所有电子所受洛伦兹力f2的叠加即为cd棒所受安培力,则Wcd=NW2。同时,由于洛伦兹力f1为产生动生电动势的非静电力,若用E表示cd棒产生的电能,则E=NW1。因此E=-Wcd,即cd棒克服安培力所做的功等于回路中产生的电能。

如果我们把双棒模型和我们生活中的电动机和发电机模型对应起来,cd棒相当于一个内阻为R的发电机,将机械能转化为电能,电流通过R将一部分电能转化为电热;而ab棒等效为内阻为R的电动机,将一部分电能转化为动能和焦耳热,其实我们在恒定电路中就着重强调过该问题。非纯电阻电路中,电能和热能、电功率和热功率是不一样的。本题中能量转化对应的流程图应该如图3所示。

而对于电能应该是能量转化过程中的一个中间量,通过安培力做正功和电流流过电阻,又转为了动能和热能。

3    结  论

通过上面的分析,回路中的电能应该是cd棒克服安培力所做的功,而不等于回路中的焦耳热,即不等于回路中克服安培力所做的总功。

因此对于该题第(2)问中,电路中产生的电能应为E=mv-mv2=mv,而不是Q=mv。

无独有偶,在同样的一本复习资料上又出现了如下一道双棒的题目。

例2  如图4所示,两根光滑平行金属导轨(电阻不计)由半径为r的圆弧部分与无限长的水平部分组成,间距为L。水平导轨部分存在竖直向下的匀强磁场,磁感应强度大小为B。一质量为2m的金属棒ab静置于水平导轨上,电阻为2R。另一质量为m、电阻为R的金属棒PQ从圆弧上M点处由静止释放,下滑至N处后进入水平导轨部分,M到N的竖直高度为h,重力加速度为g,若金属棒PQ与金属棒ab始终垂直于金属导轨并接触良好,且两棒相距足够远,求:(下转第58页)

(上接第53页)

(1)金属棒PQ滑到N处时,金属导轨对金属棒PQ的支持力;

(2)从释放金属棒PQ到金属棒ab达到最大速度的过程中,整个系统产生的内能;

(3)若在金属棒ab达到最大速度时给金属棒ab施加一水平向右的恒力F(F为已知),则在此恒力作用下整个回路的最大电功率为多少?

在第(3)问中,要求在恒力作用下整个回路的最大电功率,资料给出的解析过程如下:

当金属棒PQ达到最大功率时,金属棒PQ与金属棒ab加速度相同,速度差恒定,回路中产生稳定电流。由牛顿第二定律得

PQ棒:F=ma

ab棒:F-F=2ma

得F=

由安培力的公式可得F=BIL

电功率P=I2·3R

联立以上各式得P=

同样地,解析认为回路中的最大电功率就是最大热功率,显然还是存在和前面一样的问题,混淆了电功率和热功率的概念。在本题中,回路中的电功率应该等于ab棒克服安培力做功的功率,因为ab棒相当于电源。而根据分析,安培力大小在最后保持不变,但ab棒做匀加速直线运动,速度不断增加,ab棒克服安培力做功的功率不断增加,所以电功率没有最大值。因而,应该把最后一问中的最大电功率改为最大热功率才是可求的。

因此,对于电磁感应中的双棒模型,电能和热能、电功率和热功率是有区别的。我们在命题的过程中,应慎用电能和电功率这样的问法,不然很有可能会出现混淆,甚至无解的情况。而如果是单棒的问题,在不考虑摩擦的情况下,棒所减少的机械能全部转化为电能,并最终转化为热能,就不存在这样的问题了。

参考文献:

[1]陆球.电磁感应中关于安培力做功与电阻发热量关系的讨论[J].物理教师,2018,39(11):55-56.

[2]陈欢.对安培力做功中对应的能量转化问题的探讨[J].试题与研究,2019(20):4-5.

(栏目编辑    蒋小平)

收稿日期:2022-08-11

作者简介:张鼎(1983-),男,中学高级教师,主要从事高中物理教学工作。

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