问题导学，促进深度学习

苏科版数学八（下）第十二章“二次根式”（第二课时）中，理解二次根式的概念是难点，理解二次根式的性质是重点。学生在学习了第一课时后，掌握了二次根式的概念，经历了探索关于二次根式的重要结论的发现过程，初步具备了计算和化简的一般方法，但运算的熟练程度存在一定差异，还需教师引导关注解决问题方法的多样化，真正理解概念内涵，提高运用法则的灵活性和解决问题的能力。问题链的设置可以帮助学生挖掘知识的本质，引发学生深度思考，引导学生在探究感悟中逐步培养良好的思维方式。类比整式与分式等内容的研究方法，笔者尝试以问题导学的方式设计教学，目的是促进学生深度学习，为后续一元二次方程和二次函数的学习做铺垫。

一、教学目标

理解二次根式的意义，熟练运用二次根式的性质；经历观察、归纳等数学活动，在演算推理中渗透分类讨论、由特殊到一般、数形结合等数学思想方法，归纳总结，培养严谨细致的学习态度和勇于实践的精神。

二、问题设置

初中数学深度学习应该建立在对已有数学知识理解的基础之上，对新知识进行深层次建构，并将其纳入原有认知中，引导学生主动提出问题，通过对数学情境中的问题进行批判性分析，深化对问题的认识，在此基础上，进行知识整合，把握本质，将知识有效迁移。引导学生用数学语言对问题进行猜想，去描述变化，深度学习就会自然发生。

1. 深度建构，问好问题

问题1 当x是什么样的实数时，下列各式有意义？

（1）[x+2]；（2）[（x+2）2]；（3）[x2+2]；（4）[-（x+2）2]；（5）[-x+2]。

【设计意图】从算术平方根的数学意义，到二次根式的双重非负性；从完全平方式，到绝对值的变化，问题1让学生在对比中深刻理解二次根式的双重非负性，感悟普遍联系的辩证观念。

问题2 当x是什么样的实数时，下列各式有最大或最小值？请分别求出最值。

（1）[2-x]；（2）3-[2-x]；（3）[2-x2]；（4）[x2+4]+[（12-x）2+9]。

【设计意图】通过探究最值，引导学生思考负数没有平方根以及二次根式的非负性，学会从转化的角度去发现、思考。解决问题（4）要构建数学模型，从数形结合视角构造直角三角形，运用勾股定理，可以提升学生对最值问题探究的认识，体会二次根式最值问题的一般研究方法。

2. 灵活变式，拓展探究

问题3 当0<x<1时，求[（x-1x）2+4]-[（x+1x）2-4]的值。

拓展1 已知y=[8-x]+[x-8]+[12]，求 [yx+xy+2]-[xy+yx-2]的值。

变式1 已知x<0，求[4-（x+1x）2]-[4+（x-1x）2]的值。

变式2 化简[（3-x）2]+[（x-7）2]。

【设计意图】比较[a2]与（[a]）2 的异同点，对问题3进行拓展、变式，培养学生正确进行分类讨论的科学态度，对解法深度分析；引导学生发现二次根式化简的本质，得到解决问题的方法。

问题4 先化简x+[1+2x+x2]，然后求x=-2时代数式的值。

问题5 先化简x+[1+2x+x2]，然后求x=3时代数式的值。

拓展2 已知[x+1>0，x-1<0，]请化简：[1+2x+x2]-[1-2x+x2]。

【设计意图】拓展问题4，借助数轴，深挖数学模型，改变条件，让结论不确定，引导学生积极思考，完善学生的认知，让学生联想已有的经验与方法，搭建结论与条件之间的桥梁。

问题6 （1）计算[（x+4）2]-[（x-2）2]， （-4<x<2）。

（2）已知x、y满足y<[x-2]-[2-x]+4，化简[y-4]-[y2-10y+25]。

（3）已知a、b、 c分别为[△ABC]的三条边长，请化简[（a+b+c）2]+[（a-b-c）2]+[（b-c-a）2]-[（c-a-b）2]。

【设计意图】由数及形，通过问题串促进学生对[a2]=[a]的正确理解，引入数学模型，建构概念的核心，鼓励学生寻求条件与结论之间的过渡性条件并进行质疑和猜想。

3. 沉淀思维，升华问题

问题7 观察：①[3-310] = [2710]=3[310]，②[4-417]=[6417]=4[417]，填空：[5-526]=       =       。猜想：[n-nn2+1]（n[≥]2 ，n为自然数）=               。

拓展3 观察：①[3-22]=[（2）2+12-2×1×2]=[（2-1）2]=[2]-1，填空：[7-43]=              ，[5-26] =      。

变式3 化简[1+1n2+1（n+1）2]。

变式4 设[19-83]的整数部分为a，小数部分为b，试求a+b+[1b]的值。

【设计意图】拓展知识，探求一般规律，感悟化简二次根式所涉及的知识、思路、策略等，帮助学生把新概念纳入已有的概念系统中，突破难点，优化思维。

三、教学反思

数学教学是高阶思维的教学，而不是数学结论的教学。问题链可以创设思维活动情境，有价值的问题是生成数学思维的源泉。本节课以问题驱动的方式，围绕理解二次根式的概念、性质，循序渐进，以定义为起点，变化二次根式中被开方数的呈现形式，联系完全平方式、绝对值及代数式的恒等变形，整体建构数学模型，追根溯源，让学生感悟知识发生、发展的过程，体会知识间的密切联系，避免了就题论题、一解到底的机械讲解，强化了学法引导。对概念的辨析，要强化对概念“内涵”与“外延”的理解，不能局限于理解概念的定义，要用联系和发展的眼光设计关联的问题。本节课设计的问题围绕二次根式的定义、性质及运用，明晰了数学概念从哪里来、为什么研究，引导学生掌握从特殊到一般的研究问题的方法，使学生对同类问题的认识更加深远，真正做到有法可想、有法可用。

（作者单位：江苏省太仓市第一中学）