数形结合巧说理，思维碰撞促提升

［摘  要］ 图形是数学学习中不可缺少的元素，它是展示数学知识的载体，也是促进思维发展的工具。它能够挖掘隐性知识内涵，使学生理解数学本质；能够将抽象的数学知识变得更加形象，使课堂教学生动有趣；能够动态展示知识的形成过程，增强学生的体验。文章从巧用图形显隐性、妙用图形化形象、善用图形展动态三个方面探索运用数形结合的方法，以促进学生明白数学道理，提升思维能力。

［关键词］ 数形结合；思维能力；数学道理

作者简介：张淼（1978—），本科学历，中小学一级教师，从事小学数学教学与研究工作。

数学是一门具有逻辑思维的学科，知识的增长应伴随着思维能力的提升。倘若教师在教学中采用满堂灌的方法让学生被动地接受知识，不能引导学生进行思考探究，体验知识发展过程，明晰数学道理，就会挫伤学生的学习热情，导致学生不敢质疑，不能积极表达自己的想法，这不利于学生深度思维的发展。数学知识是从具体问题中抽象和概括出来的事物本质特征，具有很强的抽象性，借助直观的图形，可以将抽象的知识转化为生动形象的内容，激发学生的学习兴趣，促进学生主动学习。因此，在教学中教师要通过数形结合的方法引导学生探究数学道理，在深度思维活动中学会表达，善于说理，发展思维，从而提升学生的数学核心素养。

一、巧用图形显隐性，说理纠错

学生在学习过程中出现的错误是对知识的理解不够深刻或理解出现偏差后的反映。纠正错误，形成正确认识，从而逐步提升思维能力是学生学习的一种路径。面对学生的错误，倘若教师仅仅将正确答案塞给学生，而不能让学生理解其中蕴含的道理，那么学生还会一错再错。因此，在教学中教师要引导学生挖掘知识背后隐藏的道理，对错误的原因讲解透彻，使学生能够真正纠正错误，形成正确认识。图形能够将隐性的知识变得形象具体，教师在教学中要运用数形结合的策略将隐性的知识本质显性地呈现出来，使学生直观地明白错误的原因，找到正确的方法，从而理解数学的本质，提升思维能力。

案例1  两位数乘两位数的横式笔算

课件展示例题14×12。

师：大家一起看一下这道两位数乘两位数的例题，我们还没有学习过这样的计算，你能尝试计算出这道题的得数吗？

生1：我们可以将14和12分别分解成10和4与10和2，接着分别将4和2相乘，得到8，再将两个10相乘得到100，最后将两者相加可以得到结果为108。

师：这样的解法正确吗？

学生犹豫不决，不能确定。

师：我们一起来观察生1的计算过程（如图1），对照表格（如图2）想一想这个答案是否正确？如果这个答案是不正确的，那么错在哪里？

学生结合图1和图2，将生1的计算过程与表格内容进行比较，查看计算是否正确。

生1：与表格内容比较，我发现我的得数构成里面只有8和100两个部分，没有计算出40和20这两个部分。

生2：生1计算的时候仅仅用个位与个位相乘，十位与十位相乘，漏掉了10×4和2×10两个部分。

生3：我们在计算两位数与两位数相乘时，不仅要将个位数与个位数相乘，十位数与十位数相乘，还要分别将个位数与十位数相乘。

师：很好，我们一起通过动态演示来观察两位数乘两位数的计算过程。

课件动态展示计算过程，如图3。

生4：课件动态演示了两位数乘法的过程，可以看到结果是由四个部分构成的，要将个位与十位进行两两相乘，因此生1的解法出现了错误。

学生在学习过程中出现的错误答案往往是其内心认定的想法，因此要纠正学生的错误，必须让学生从内心真正“信服”。本例中，教师在面对学生出现的错误时没有直接将正确答案和盘托出，而是借助图形引导学生主动发现计算过程中的问题，使学生能够将错误的原因分析透彻，讲解清楚，从而对错误的计算方法进行剖析和修正，形成正确的认识。通过动态的计算过程演示，学生在对比中能够清晰地表达算理，对于两位数与两位数相乘有了更加深刻的认识，为接下来的进一步学习打下了良好的基础。

二、妙用图形化形象，讲理解惑

数学知识的抽象性常常让学生对知识的理解产生困难，还处于形象思维中的小学生往往面对抽象的知识会出现许多困惑，甚至导致对数学学习出现畏惧心理。要帮助学生理解抽象的数学题，依靠单纯灌输是行不通的。对此，在教学中教师可以巧妙地运用图形，将抽象的知识进行形象化表达，通过图形将提炼出的知识直观地呈现出来，让学生能够清楚明白地讲道理，解疑惑，增强思维深刻性。

案例2  小数乘法

在学习小数乘法时，学生会经常遇到这样的问题：当乘数分别大于、等于和小于1时，积的变化有何规律？在教学中，教师一般是通过计算例题、引导观察、提炼总结、举例验证的方式使学生掌握积的变化规律。虽然大部分学生能够掌握这一结论，但是仍然有不少的学生会出现以下困惑。

生1：整数乘法的意义是几个相同加数的和，因此积必然是大于或者等于其中一个乘数，但是在小数乘法中，却出现了积小于其中一个乘数的现象，这是为什么呢？

师：同学们观察得非常仔细，也很善于思考，我们一起来研究这几个算式，1.5×1，1.5×1.4，1.5×0.8，比较这几个算式的得数，你有什么发现？说一说其中的道理。

学生小组讨论交流，互相分享自己的想法。

生2：类比整数乘法的意义，我们可知1.5×1表示1个1.5，积为1.5，而1.5×1.4表示1.5的个数超过1，1.5×0.8表示1.5的个数小于1，所以它们的积分别比1.5大和比1.5小。

学生纷纷表示同意。

生3：我觉得生2的说法是非常正确的，我还可以利用图形来讲解其中的道理。

师：很好，刚才老师发现有几个小组都是用画图的方式来分析的，我们来听听生3是如何思考的。

生3：我们可以用长为1.5、宽为1的长方形的面积来表示1.5×1的结果，如图4。

师：这种数形结合的方法非常好，那么1.5×1.4的积与1.5相比，有什么关系呢？

生：3：我们可以再画一个长方形，如图5，长依然是1.5不变，宽则变成1.4，将这个长方形的宽分割成1和0.4两个部分，那么大长方形的面积由两个小长方形构成，即1.5×1.4=1.5×1+1.5×0.4，观察算式可知面积增加了1.5×0.4这一个部分，因此积一定比乘数1.5大。

师：很好，积大于其中一个乘数的情况我们清楚了，那么1.5×0.8的积比其中一个乘数小又是什么原因呢？你能用画图的方式进行解释吗？

生3：我们还是用图形来进行表示，如图6，长方形的长不变，宽减小为0.8，相当于将原来的宽平均分为10份，现在取其中的8份，那么这个长方形的面积为1.5×0.8，比较可知长方形的面积减少了1.5×0.2这一部分。在计算过程中，可以将1.5×0.8看作1.5×1-1.5×0.2，计算所得结果自然比1.5小。

师：生3的讲解非常清晰，我们无论是从直观图形观察中，还是从直接计算中都能发现1.5×0.8的积比乘数1.5小。

生4：从图形变化中我还发现了一些规律，如图7，长方形的长始终不变，若宽比1小，则长方形的面积小于1.5；若宽与1越接近，则长方形的面积越接近1.5；若宽等于1，则长方形的面积恰好等于1.5；而宽比1大，则长方形的面积会大于1.5。

师：生4观察非常仔细，总结也很准确，相信同学们都受到了很大的启发。我们发现要总结小数乘法中积的规律，可以通过画图观察、列举实例等不同的方式来理解。现在你们知道什么时候乘数的积会比其中一个乘数小了吗？

生5：若乘法算式中一个乘数比1小，则两个乘数的积会比另一个乘数小。

数学知识的本质规律具有抽象性，需要学生在观察实践中探究思考，不断深化自己的认识。本例中，教师引导学生从不同的角度尝试说理，如从几何角度进行长方形面积比较、从代数角度用乘法分配律比较，真正做到图与数相结合，揭示了乘法规律，更为重要的是学生在探究过程中掌握了验证说理的方法，领会了知识的本质，从而使抽象的知识变得更加形象生动、浅显易懂。学生在轻松的氛围中讨论交流，互相激发，生成了更多的课堂智慧，激发了学习的热情，使课堂更具生命力。

三、善用图形展动态，明理勾连

数学知识具有严密的逻辑性，知识内在也具有密切的联系。学生正处在认知发展的阶段，还不能从整体上看待知识之间的联系，造成头脑中的知识点相互孤立，往往难以主动构建起知识网络，更不会将知识融会贯通，在解决问题中灵活使用。因此，教师要善用图形、思维导图、表格梳理等形式为学生动态地呈现知识的形成过程，从而引导学生由局部到整体，建构知识联系。

案例3  乘法分配律

下列哪个算式中运用了乘法分配律进行计算？

（1）简便计算125×32×25，可以写成（125×8）×（4×25）；

（2）由450÷15=30，得出4.5÷0.15=30；

（3）计算0.73×2.6后，用2.6×0.73验算；

生1：我觉得第（1）个算式使用了乘法分配律。

生2：我觉得第（1）个算式是乘法结合律，不是乘法分配律。

生3：我觉得首先要排除第（4）个算式。

生4：第（4）个算式虽然是竖式计算，但是仔细观察可以发现运用了乘法分配律。

……

学生热烈讨论，充分暴露出他们对于乘法分配律的理解还不够深刻。教师只要在呈现的形式上稍做改变，学生就会被“蒙骗”，这反映出学生没有从本质上理解乘法分配律，也没有在乘法竖式计算与乘法分配律之间构建联系，不会灵活运用知识进行判断。因此，教师可以借助图形动态呈现乘法计算过程，从而使学生发现知识之间的联系。

师：大家回忆竖式计算的过程，能不能借助乘法分配律的知识来讲一讲图8竖式计算中的算理？

生1：在15×12的竖式计算中，我分成两个步骤进行计算，第一步求出2个15的和为30，第二步求出10个15的和为150，最后将两者相加求和为180。

生2：也可以结合点子图进行理解，将一个10×15的点子图分为两个部分，分别计算出2行点子和10行点子的个数，最后两者相加即为12行点子的总数。

利用点子图动态演示竖式计算，将两者一一对应。

师：生1和生2的分析非常正确，那么我们能不能将点子分配的过程用横式表示出来呢？

生3：如图9，用横式计算将点子图的分配过程表示出来，可以发现竖式与横式计算的算理具有一致性，两者都使用了乘法分配律。

学生用横式计算将乘法的计算过程表示出来，并且与点子图上的各个部分进行一一对应，进一步理解了乘法分配律在具体问题中的应用。

乘法分配律的知识在乘法计算以及混合计算中有着广泛的运用，能够为学生解决实际问题提供更加便捷的方法。学生在学习乘法分配律时仅仅采用记忆的方法很难深刻理解其中的算理，导致使用过程僵化，思维得不到锻炼。本例中，教师结合点子图将乘法分配律与竖式计算建构联系，在多位数乘法与乘法分配律之间架起一座桥梁。教师还通过借图说理、数形结合，将乘法分配律的“外形”进行变化，引导学生探究其本质，加强学生对知识的理解，并建立起对乘法分配律的完整认知结构。

综上所述，图形是数学学习的重要工具，巧妙运用图形语言能够将抽象、深刻、静态的数学知识变得形象生动、浅显易懂。教学中，教师要善用图形语言，渗透数形结合思想，在数与形统一的基础上，发展学生的思维能力，使学生不仅掌握知识，还能在理解知识的基础上讲清楚知识的本质，从而提升学习效果，发展数学核心素养。