“数、法、编、视”四位一体教学模式的探索

［摘 要］ 为了顺应新工科背景下人才培养模式的革新趋势，着眼于培育面向未来工业4.0的创新研究型人才，特别针对“数值分析”课程，提出了“数、法、编、视”四位一体教学模式的改革方案。通过实际的案例引导教学进程，逐步推演数值计算方法，并将其融入程序设计实践中，进而展示可视化操作界面，以此激发学生的学习兴趣。同时，坚持理论与实践紧密结合的教育理念，构建了“数、法、编、视”四位一体的综合型人才培养模式。该模式将为工科学生提升解决实际复杂工程问题的能力提供有力支撑，同时为其他相关专业课程的教育教学改革提供参考与借鉴。

［关键词］ 新工科；教学改革；人才培养；多元化考核

［基金项目］ 2023年度山东大学本科教育教学改革研究项目“工业4.0时代‘数、法、编、视’四位一体教学模式的构建与实践”（2023Y263）

［作者简介］ 赵茉莉（1980—），女，山西榆社人，工学博士，山东大学土建与水利学院工程力学系副教授（通信作者），主要从事流体力学、岩土工程研究；杨 旭（1995—），女，河北保定人，山东大学土建与水利学院2020级工程力学专业博士研究生，研究方向为非牛顿流体力学、计算流体力学。

［中图分类号］ G642.0 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-9324（2025）01-0009-04 ［收稿日期］ 2024-06-24

在全球科技和产业革命的浪潮中，工业4.0时代崭露头角，它标志着信息化技术引领的产业智能化变革时代的到来。在这一过程中，工程科技成为推动经济、社会发展的重要杠杆。为了响应新时代对创新研究型人才的迫切需求，抓住教育改革的机遇，教育部自2017年起积极倡导新工科理念，通过深入研究和实践，为新工科建设注入了强大动力，为科技发展的未来布局奠定了坚实基础。

新工科，以传统工科为基础，融入“新”的理念，聚焦智能制造、云计算、人工智能、机器人等前沿技术，对传统工科进行深度改造和升级，孕育出新兴学科和产业，从而对传统产业的发展模式和人才需求产生深远影响。因此，新工科的教育模式尤为注重以下三个方面的培养：（1）强化学生的分析和实践能力，结合产业需求优化课程结构，培养终身学习的能力；（2）激发学生的创新潜能，鼓励学生继承传统的同时，敢于创新，以应对产业变革带来的挑战；（3）促进学科间的交叉融合和产学研一体化［1-2］，激发新的研究领域，提升科研成果的转化率。

在智能化时代，软件技术成为工科智能变革的核心驱动力，也是未来智能社会发展的关键。作为本科教育的重要组成部分，特别是在工科领域，编程技术的培养显得尤为重要。

“数值分析”［3］作为连接数值理论与编程实践的桥梁课程，在理工科领域具有举足轻重的地位。它不仅是科学与工程计算不可或缺的基础课程，更是培养学生批判性思维与解决实际问题能力的核心课程。通过学习“数值分析”，学生能够掌握一系列数学工具和计算方法，为解决现实世界的复杂问题提供有力的支撑。然而，当前“数值分析”课程在内容和教学模式上存在一定的滞后性，难以满足新工科对复合型人才的需求。因此，教育工作者正积极探索和改革“数值分析”课程的教学，以适应新时代的发展［4-6］。

在工业4.0背景下，新工科建设以培养创新型卓越工程科技人才为导向，以推动未来产业智能化升级为目标，有效落实在各个工程学科课程的教学改革和创新上。本文以“数值分析”课程改革为切入点，提出了“数、法、编、视”四位一体的教学模式，旨在全面提升学生的数学素养、数值计算方法应用能力、编程思维以及编程结果可视化的能力，培养能够应对未来挑战的高素质人才。此教学模式不仅有利于提升学生的综合能力，还有助于他们在信息时代中脱颖而出，迎接机遇和挑战。

一、课程教学现状及问题

（一）传统重公式推导的教学模式

“数值分析”作为工科领域的核心基础课程，其重要性不言而喻。然而，当前的教学模式在一定程度上仍偏重公式推导和数学理论的传授。这种传统的教学方式，虽然基于深厚的数学专业知识，但在教学过程中却常常陷入对大量概念定义和复杂公式的详细推导中，使课程变得较为理论化和抽象化。学生很可能会对这种重复且较为枯燥的教学模式产生审美疲劳，从而降低他们的学习热情和动力。更为关键的是，这种教学模式往往忽略了数值分析在实际工程和科学问题中的应用背景，导致学生难以深刻理解和体会课程的重要性和实用价值。因此，许多学生虽然掌握了大量理论公式，但往往无法将其有效地应用于实际问题中，导致理论知识与实际应用之间脱节。这不仅影响了学生的学习效果，也制约了“数值分析”课程在工科教育中应有的作用。

（二）编程能力训练不足

“数值分析”作为连接数值理论与编程实践的桥梁课程，在工科学生的培养中具有举足轻重的地位。然而，在许多工科专业的培养方案中，“数值分析”往往仅作为选修课程存在，导致分配的学时相对有限。但是其课程内容却相当丰富，涵盖了数学基础理论、数值计算方法、算法编程以及实际应用等多个方面。在传统的教学模式中，由于课时的限制，教师往往需要将大量时间用于讲解数学基础理论和数值计算方法，这两部分内容占据了大部分课时。然而，这种安排却忽略了编程技术这一关键训练环节，甚至对其少讲甚至忽略不讲。这样的教学方式不仅失去了数值计算本身的意义，也不能有效培养学生的编程思想和提升他们的编程能力。与欧美国家相比，他们的教学方法更加注重理论与实践相结合。在他们的教材中可以看到有三分之一的篇幅用于方法讲解，三分之一用于编程技术的训练，而剩下的三分之一则用于方法在实际问题中的应用。这样的教学方法使得学生在编写程序的过程中可以理解和掌握编程方法，实现了理论与实践的完美统一。

此外，传统教学基础设施的局限性也是面临的困境之一。由于多媒体教室的软件配备不足，使得课程教学与专业应用之间产生了脱节，进一步加剧了学生在编程和应用能力上的不足。为了克服这些困难，需要重新审视和改革“数值分析”课程的教学方式，确保学生能够在有限的课时内充分掌握理论知识和编程技能，为他们的未来发展打下坚实的基础。

（三）缺少结果可视化的交互性

传统的“数值分析”课程教学模式往往侧重于理论知识的灌输和解题技巧的传授，而学生的实践操作能力和直观理解能力未能得到充分的培养。特别是在编程结果的可视化交互环节上，传统模式显得尤为不足。这种缺失导致了学生在理解复杂算法和数值方法时，往往只停留在抽象的数学公式和理论层面，无法直观地看到这些算法在实际计算中的运行过程和结果。特别是在解决具体问题时，学生常常感到困惑，不知道如何有效地将理论知识应用于实际，更难以通过编程实践来调试和优化算法。编程结果的可视化交互环节能够帮助学生将抽象的数学概念和算法转化为具体的图形、图像或动画，使复杂的数据和计算过程变得直观易懂。通过这一环节，学生可以更清晰地了解程序在用户角度对交互性的需求，从而更深入地理解算法的工作原理和适用范围。同时，可视化交互技术提供了实时反馈和调试工具，使学生能够在编程实践中及时发现和解决问题，提升他们的实践操作能力。

二、课程教学改革方案

在山东大学“双一流”建设的战略引领下，我们致力于优化一流人才培养机制。针对智能化时代对智能信息化编程思想与技术的高要求，特选取“数值分析与编程”课程作为切入点，此课程在编程技术渗透中具有核心地位。在此基础上，创新性地提出了工业4.0背景下“数、法、编、视”四位一体教学模式的构建与实践研究，旨在将数学理论、算法设计、编程实现与可视化表达四个关键维度紧密融合，培养出适应未来工业发展需求的高素质人才。主要改革内容及目标如下。

（一）智能优化教学内容

智能优化教学内容，注重实用性。首先，“数值分析与编程”课程涉及的知识面广泛，但教学学时有限，因此在授课过程中应针对教学内容进行主次划分。针对工科各专业对数值分析的不同应用需求，统计应用最为频繁的领域，并对这些领域进行重点讲授。对于非数学专业的学生，更侧重于应用教学，增加工程背景和应用背景的内容，同时适当减少数学公式和定理的证明。其次，结合专业特点和实际需求，引入实际案例进行教学。通过引导学生从实际问题出发，逐步掌握求解思想、数值计算方法、编程实现技巧，最终实现结果的界面可视化展示。这一教学过程旨在培养学生的问题分析能力、计算能力和编程实践能力。此外，考虑到当前编程语言的多样性，教学中还要鼓励学生根据自己的熟悉程度选择编程语言（如MATLAB、C++、FORTRAN、PYTHON等）进行编程实践。教学重点在于编程技术的掌握和对实际问题的编程思想的渗透，旨在培养学生的编程思维和创新能力。

在“数值分析与编程”课程的试点教学中，数值分析理论教材具有举足轻重的地位。本文推荐选用《数值分析》（第5版）这部经典之作作为主教材，辅以计算机语言程序设计教材，共同构成了优化后的教学内容。该书由李庆扬、王能超、易大义等学者编著，由清华大学出版社出版，其丰富的内容、严谨的论述和实用的案例，无疑为教学工作提供了坚实的理论支撑。该书被列入普通高等教育“十一五”国家级规划教材，内容涵盖插值与逼近、数值微分与数值积分、非线性方程与线性方程组的数值解法、矩阵的特征值与特征向量计算、常微分方程数值解法等多个方面。每章节均配有习题、复习与思考题和计算实习题，便于学生深入学习和实践。同时，辅以MATLAB帮助文档作为计算机语言学习指导，其中详细介绍了MATLAB语言的基本语法，函数输入、输出和调用语法，并提供了丰富的示例供学生参考学习。

（二）教学方法手段多元化创新

在教学方法的探索中，力求实现多元化创新。首先，坚持数值方法公式推导板书化的教学方式，确保学生能够清晰、准确地理解并掌握数学推导和方法的本质。在多媒体教学普遍应用的背景下，板书讲解在关键教学内容中仍具有不可替代性。其次，对于编程实践部分，摒弃了单一的多媒体演示方式，而是采用软件过程化展示的方法。这种方式使学生能够更直观地理解编程过程，从而在实际操作中深化编程技术的运用和编程思维的锻炼。此外，建立全面的案例课程库，涵盖所有章节的数值计算方法。通过这一举措，引导学生从编程思维出发，以案例或项目的形式深入理解并掌握数值分析方法。具体而言，采用“1+1”的讲授方式，即首先通过案例或项目介绍一种方法，然后引导学生从编程思维出发，进行程序设计和程序编写，最终实现结果的可视化展示。通过引入编程结果的可视化交互环节，可以将复杂的算法过程以图形、图像等直观的形式呈现出来（见图1），帮助学生更加深入地理解算法的运行机制。这种直观的学习方式不仅可以激发学生的学习兴趣，还可以培养他们的创新思维和解决问题的能力。

（三）考核评价体系全面化、成果导向化

全面升级考核评价体系，从单一的考试形式转变为融合方法练习、考试与实际问题应用及界面化展示的综合模式。这一变革旨在深度融合理论与实践，让学生在项目设计的全流程中（从方案设计、模型构建、程序编写到结果界面可视化）深刻体会方法应用与实际问题的结合。此举可以培养学生的独立思考能力，以及通过程序化手段解决复杂问题的能力。

考核体系的具体构成如下：考试成绩占总评分的50%，主要考查学生对数值计算方法的掌握程度和应用能力，但不涉及数学证明；章节测验和作业占比20%，侧重于对学生数值计算能力的检验；基础类程序编写占比20%，涵盖Lagrange插值方法、Gauss消去法、Jacobi迭代法、G-S迭代法、高斯积分法、Newton迭代法、Euler方法等，确保学生掌握每章数值计算方法的编程实现；创新性编程技术占10%，鼓励学生发挥创造力，通过结果界面可视化展示其编程成果，教师也可以通过这一环节评估学生的学习效果，及时发现并纠正他们在学习中存在的问题。

结语

在工业4.0时代背景下，提出了“数、法、编、视”四位一体的教学模式，夯实基础理论与知识的同时，全方位培养学生的逻辑思维能力和科研探究能力，通过强化学生的编程技术、理论与工程实践的结合能力，有效提升他们的创新能力和创新精神，为其未来的创新创业奠定坚实的基础，标志着从传统的“知识获取”模式向“创新能力”培育模式的重大转变。该教学模式不仅为技术性强、应用性广的课程提供了全新的教学体系和考核方式，还通过优化教育资源配置，显著提高了教育教学质量和效果，为教育领域的改革和发展提供了宝贵的实践经验和启示。