电子学仿真在PN结教学中的运用探析

［摘 要］ 在PN结等半导体器件中，载流子浓度表现出复杂的时空演化特征。目前，普遍采用理论分析的教学方法，虽然使学生感受到了复杂问题处理的技巧，却失去了对器件工作过程的全面认识。提出在器件教学过程中融入电子学仿真的研究方法，使学生掌握理解和探索器件的有力工具。比较了理论分析与数值仿真两种方法的优点和缺点，阐述了电子学仿真软件在PN结教学中的作用，并举例运用仿真手段剖析了教材中的疑点。相信仿真工具将激发学生的学习兴趣，促进从注重知识积累的学习习惯到自主探索的学习范式的转变，提升课程教学效果，并缩短从课程学习到科研实践的路径。

［关键词］ 电子学仿真；PN结；理论分析

［基金项目］ 2021年度中山大学本科教学质量工程及教学改革研究子项目“光电子仿真在半导体物理与器件类课程教学中的运用与效果”（教务〔2021〕93号）

［作者简介］ 郁建灿（1983—），男，浙江慈溪人，工学博士，中山大学材料学院副教授，主要从事数学物理方法、光电材料与器件课程研究；高平奇（1980—），男，河南邓州人，理学博士，中山大学材料学院教授，主要从事半导体物理学、太阳电池研究。

［中图分类号］ G642.0 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-9324（2024）24-0122-06 ［收稿日期］ 2023-05-07

半导体材料与器件是当代信息技术的核心，我们熟知的芯片实际上由大量不同的半导体器件集成，它们不仅广泛应用于电脑、手机等消费电子类产品，而且在家电、汽车、机器人、工业控制系统和医疗仪器中也不可或缺。美国对我国高端芯片的断供将对我国科技产业的发展带来深远影响，波及通信、大数据、AI智能、无人驾驶、元宇宙等众多前沿科技产业。所幸芯片断供事件激发了广大青年学子报考相关专业的热情。电气信息类和材料类等理工科专业与芯片密切相关，其中“半导体物理学”或“半导体物理和器件”则是这些本科专业的核心课程或专业选修课程。

“半导体物理学”课程通常分为半导体物理学和半导体器件两部分［1-3］，其中PN结是最简单的半导体器件之一，是众多其他器件的基本构建单元。“半导体物理学”主要介绍半导体中载流子的来源、浓度、运动学和非平衡子载流子动力学等基本概念和理论，一般仅限于各种物理量均匀分布的情形［1］。与之不同，PN结由空穴浓度较高的P型半导体和电子浓度较高的N型半导体两个区域组成，因此载流子浓度等物理量在空间上分布不再均匀，表现为位置的函数。此外PN结中表现出与静电势V、电子浓度n和空穴浓度p多个变量之间相互制约的复杂关系。在课堂教学中，我们不应该考虑简化内容，或一味地用更易理解的、更形象化的方式展现给学生，而应通过理论分析和仿真研究相结合的方式帮助学生建立复杂问题的分析思维，并培养解决问题的能力和高阶思维。电子学仿真作为一种工具，有助于学生直观地理解器件及其基本工作过程，并且仿真结果可补充教材的未尽之义。因此，我们主张在半导体器件教学中融入电子学仿真的研究方法，使学生掌握理解和探索器件的工具，为学生搭建起从课程学习到创新研究的桥梁。

一、理论分析与数值仿真

国内流行的半导体物理类教材，如刘恩科的《半导体物理学》［1］（以下简称教材），普遍采用理论方法对半导体电子器件进行阐述和分析。这种方法利用已学知识，通过数学上的近似简单地导出结果，不但符合认知规律，还充分体现了抓住问题的主要矛盾，从而转化为数学上易求的问题的重要思想，非常适用于课堂教学。然而，这种方法的局限性在于仅适用于结构简单的器件，精确的定量分析困难，不便于分析瞬态过程。

电子学仿真是一种利用先进的数值方法求解电子器件数学物理方程的过程，更具适用性和普遍性。有限元等仿真方法对器件结构无严格要求，适用于复杂结构的器件，很好地弥补了解析方法研究对象的局限性大、定量分析精确性欠佳等缺点。

二、电子学仿真的意义

电子学仿真是半导体器件研究中常用的方法，可辅助设计和模拟器件，缩短研发周期。COMSOL是一款适用范围广泛的有限元仿真软件，提供友好的可视化界面和丰富的应用案例库（文中COMSOL仿真实例来自COMSOL 6.0版本，软件许可证号：9411969）。对于材料类专业的学生，选择COMSOL进行仿真教学，以适应更广泛应用场景的需求［4］。在PN结教学中，我们选用COMSOL的一维模型（文件名：pn_junction_1d）展示电子学仿真的作用［5］。

（一）有助于掌握半导体器件的物理模型

PN结等电子器件的有限元仿真均建立在微分模型基础之上，描述器件物理模型的公式分散于教材的不同章节，学生难以对器件工作过程形成整体的认识。实际上，根据泊松方程、连续性方程和载流子输运方程，可以导出物理量电子浓度n和空穴浓度p及其时间演化与静电势V等之间的关系并由方程组来描述［6］，见方程组（1）。

其中和分别为电子、空穴的迁移率，和分别为电子和空穴的扩散系数，和为电子和空穴的产生速率与复合速率之差，为电离电荷密度。该方程组中有三个物理量： V，p，n，在合适的边初值条件下，可以唯一地确定这三个未知量及其随时间演化的过程。在有限元方法中，这三个求解的物理量称为形函数。COMSOL中默认选择的形函数是电势、电子和空穴的浓度。这些形函数都是空间的函数，把半导体载流子浓度、能级、电荷浓度等物理量和迁移率等性质参数视为空间位置的分布，对理解半导体器件的工作状态及过程非常关键。

（二）有助于直观理解器件的结构

利用COMSOL等商用有限元软件的图形化界面，可以直观地定义和查看器件的几何结构。器件由几种不同材料组成，因此几何体内部的不同区域通常会被赋予不同材料。这些材料的性质将决定电子器件中的静电势、载流子浓度分布及其时间演化规律。器件可简单地理解为能独立对外界输入起控制、变换功能的单元。任何器件都有输入和输出两部分：输入定义在器件外表面，在数学上一般体现为边界条件或方程的非齐次项；输出也定义在器件表面，通常是某物理量的值或其线、面积分。对于一维PN结二极管，输入为两端间的电压，输出则是某一端的电流。

（三）有助于快速掌握半导体物理参数间的关系

“半导体物理学”中有大量参数及公式，学生很难在短时间内掌握这些内容。COMSOL中的方程视图栏提供了半导体物理参数间的关系的界面，便于建模时查找。例如，玻尔兹曼分布和费米-狄拉克分布是描述载流子浓度的两大统计分布，在半导体物理场接口的模型属性栏下可以方便地选择。COMSOL中引入了简并因子（与imref函数相关），此时空穴和电子的费米能级分别为

无论是非简并半导体，还是简并半导体均可以用公式（2）这样简单统一的形式来描述。

（四）有助于全面认识材料的性质

材料具有丰富的物理化学性质。半导体物理与器件教学通常只涉及材料的少数几种性质，例如能带结构、迁移率和载流子寿命。仿真界面提供了全面认识材料模型的窗口。在COMSOL中，器件的组成材料一般定义在材料接口中。用户也可以在半导体接口下的半导体材料模型特征节点中自定义。PN结模型案例的材料接口下包含一种未命名的材料，其中包含基本性质、半导体材料性质和Shockley-Read-Hall（SRH）复合性质。从数值可以推断，这里采用的材料应为最重要的半导体电子材料——硅。COMSOL还提供了各种材料性质的模型，这些是材料专业的学生在学习过程中不常接触的模型，但在器件研究和开发过程中却必须掌握。

（五）有助于深入理解PN结的工作状态

COMSOL半导体模块的仿真演示可以让学生直观地理解PN结的状态及其在偏压下的瞬态过程。P区和N区的接触是个瞬态过程，原则上可以借助瞬态研究（Time dependent）功能来实现。由于这一过程在真实器件中并不存在，故我们不在仿真上展示这一过程。

先模拟热平衡状态下，即不加偏压时，PN结沿一维方向的静电势和载流子浓度的分布。载流子扩散导致空间电荷，空间电荷引起的内建电场诱导载流子漂移，并平衡载流子浓度梯度引起的扩散电流，即净电流为零。开路时，可将PN结两端电压均设置为0，计算得到热平衡状态时的空间电荷、内建电场、静电势与能带的分布（见图1）。教材中采用定性分析得到的图，COMSOL仿真均可得到类似的定量结果，但电荷分布差异较大。仿真结果中电荷分布在结区两侧并不呈现矩形状的均匀分布，而是缓变的。可见，仿真可以获得更加精确的量化结果，这是理论分析难以实现的。

图2比较了教材的理论分析与有限元仿真方法的过程差异。仿真时首先根据方程组（1）同时得到载流子浓度和静电势分布（形函数），然后再利用形函数与其他量之间的关系得到其他诸如电场、电荷和电流等。理论方法则基于电磁学基本原理，根据理想的电荷分布来分析其他各种物理量的分布，首先得到电场、静电势及能级分布，再利用能级间的关系确定载流子浓度分布和电流。这种理论分析所得的各种物理量的分布必定继承电荷分布的误差导致的误差。假设有限元计算的结果是准确的，我们可以将误差分析留给学生作为课后实践的作业。

三、释疑解惑

（一）半导体器件中的电流

在推导理想PN结电流电压特性时，教材主要考虑扩散电流，学生通常会有各种疑惑。例如，在偏压下，会有电场与漂移电流，为什么不直接考虑漂移电流？一种简单的理解是：正向偏压下，势垒降低导致多数载流子更容易通过势垒区扩散到另一侧，少数载流子形成新的分布和浓度梯度，扩散电流增加。两者是等价的，扩散电流更容易分析。仿真结果显示空间电荷区附近的电场和载流子的浓度梯度都非常大，因此漂移或扩散电流（0.1 V偏压下）比相应的净电流大几个数量级（见图3）。若采用理论分析的方法，直接对两个较大的漂移电流密度值相减，很容易引起不可预期的较大的误差，因而不便于用这种方法来分析总电流。

教材中对偏压下电流密度的计算处理得十分巧妙。根据电流密度沿PN结不同位置均相等（电流的连续性）的特征，以中性区与耗尽区的一个界面作为考察面来分析电流。以P区与耗尽区的界面为例，可将总电流J的贡献分解为扩散电流和在势垒区的复合电流两类，见公式（3）和图4。

（3）

，和分别为p区的少子电子、n区的少子空穴的扩散电流密度和空间电荷区的复合电流密度，这三者均可根据载流子的浓度分布来分析确定。

中性区少子电流密度的分析相对简单。由于非耗尽区中的压降和电场可以忽略，故不需要考虑漂移电流，只需考虑少数载流子浓度梯度引起的扩散电流。因此，根据中性区中少子的分布，就可以得到描述理想PN结电流电压关系的Shockley方程，见方程（4）。

其中，此处Dn 和Dp、

Ln和Lp分别为电子和空穴的扩散系数及其扩散长度。值得注意的是，教材中通常很少提到多子的扩散电流，会给人一种多子在中性区的电流可以忽略的假象。实际上，仿真结果显示中性区多子的电流密度通常较大（见图3），且不易分析，因而转化为易求的少子电流来处理。这种利用电流的连续性来分析半导体器件中电流的思路值得在今后学习和科研过程中充分借鉴。

有限元分析的求解方式似乎纯靠蛮力：先求解形函数——静电势、载流子浓度分布，再根据形函数来计算扩散和漂移电流密度，总电流即为各类电流的之和，但具有重要的实际研究价值。这种数值计算不仅便于提取各类电流密度及其贡献，还可以分析其位置依赖性，甚至还能精确计算高注入水平下的PN结电流。

（二）关于Shockley-Read-Hall复合

SRH复合是硅等间接带隙半导体的主要复合途径。耗尽层的复合电流与之相关，如果没有SRH复合，就会出现耗尽层内电子或空穴电流密度不变的情况。扩散电流是少子扩散过程中复合产生的，其本质也是复合电流。如果没有复合，载流子的扩散长度将无限长。

在PN结的电流推导过程中，虽然多次涉及载流子寿命，但学生对此的认识通常不够深入。不同载流子寿命及不同长度的PN结在正向偏压下的能带图如图5所示，正向偏压下，PN结模型的电子和空穴的准费米能级分别延续到P区后缓慢降低，或到N区缓慢升高，两者直至端面才一致，与教材中准费米能级在耗尽层附近构成一个类似平行四边形的情形不同。费米能级的分离表示半导体器件处于非平衡状态，那么是什么原因造成非平衡区域充满整个PN结？实际上推导理想PN结电流时，假设了PN结的两个区均足够长（即长PN结情形）。评价P区或N区是否满足长的指标是扩散长度，与扩散系数的1/2次成正比。在模型给定的载流子寿命下，扩散长度和，远远大于PN结设定的总长度（共），即该模型属于短PN结的情形。类似地，即使将PN结长度延长到25 μm或100 μm，电子和空穴的费米能级都要到两端（即外电极）才相等。为了展示短PN结时费米能级的分布，人为地将载流子的寿命降为1 ns，此时和，远小于PN结长度。此时电子和空穴的费米能级围成一个四边形，与教材中的类似。