“地下水运动方程”的案例式教学探索

［摘 要］ “地下水运动方程”讲述各类地下水运动现象对应的数学模型及其解析求解过程。课程具有很强的学科交叉特色，学生在学习和理解时对一些抽象的概念及对应的数学表达常常表现出困难。介绍案例教学法在改进该课程教学效果方面的经验，探讨不同形式案例如何发挥“引导式”教学形式的积极作用，针对部分抽象概念和模型，探索利用形象化实物道具辅助案例教学的方法。教学实践表明：案例式教学法充分体现了理论结合实践的思想，由表及里，由浅入深，激发了学生的学习兴趣，提高了学生从具体到抽象的思维能力和分析问题、解决问题的能力。

［关键词］ 地下水运动方程；引导式教学；案例教学；道具设计

［基金项目］ 2021年度中国地质大学（北京）课程思政教学改革项目“地下水运动方程”（KCSZ202117）

［作者简介］ 李 娜（1981—），女，陕西汉中人，博士，中国地质大学（北京）水资源与环境学院副教授，主要从事饱和-非饱和带水文过程模拟研究；韩鹏飞（1988—），男，河北唐山人，博士，中国地质大学（北京）水资源与环境学院副教授，主要从事地下水循环研究；王旭升（1974—），男，江西高安人，博士，中国地质大学（北京）水资源与环境学院教授，主要从事地下水动力学研究。

［中图分类号］ G642.0 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-9324（2024）37-0093-04 ［收稿日期］ 2024-03-26

引言

“地下水运动方程”是中国地质大学（北京）为地下水科学与工程专业和水文水资源专业的学生开设的一门专业基础课。课程内容的目标是把数学物理方程和积分变换等数学知识与地下水运动理论进行有效衔接，有针对性地将数学方法应用到地下水运动专业问题中。这不仅有助于学生掌握地下水运动方程的求解过程，还能让学生体会到数学知识在解决专业问题中的应用和作用［1-2］。本课程内容呈现明显的学科交叉，并涉及大量抽象概念和理论，教学过程中发现学生在理解和掌握这些知识的时候常遇到困难。案例教学法以引导式教学为主，是一种开放互动式教学方法，通过设置教学案例，引导学生参与分析讨论，培养学生分析情境的能力，这种教学方式在许多学科受到关注并取得了很好的实践效果［3-7］。案例教学作为有效的启发式教学方式，是提高本课程教学实践效果的一种积极探索，在教学实践中已经取得了很好的成效。

本文首先基于近年来被广泛接受和认可的工程认证理念，完善了“地下水运动方程”课程的教学目标和内容［8-9］。主要措施包括：调研相关课程，优化教学内容的量和度，通过分组讨论、素材收集、野外调研等方式进行教学内容和方式的改革。这些措施旨在尝试知识传授与价值引领相结合，通过培养大学生自主学习、理论联系实际和开拓创新的能力，从而不断提高该课程的教学效果。针对教学内容中的关键知识点，阐述并列举课堂教学中案例教学的设置方案，阐述理论模型建立的背景，并将理论模型应用到实际案例中，从而实现从现实到理论，再从理论回归现实的教学方式。针对部分抽象的概念和物理模型，通过调研和讨论，制作生动形象的道具以辅助教学。通过设置模拟课堂，并对学生进行调研，寻求更为有针对性、合理化的教学方式，从而提高教与学的互动。

一、完善教学目标和内容

地下水运动理论在某些社会领域及工程领域中具有重要作用。“地下水运动方程”是地下水运动理论的专业基础课程之一，内容涉及地下水运动的基本概念、数学模型及其求解等，为后续“地下水动力学”等专业课程的学习打下重要基础。基于工程教育的理念，以学生为主体，作者对教学内容和目标进行了相应的修订和完善，力求培养能够解决实际工程问题的人才。通过围绕课程设置、实践环节、质量评价进行一系列内容的改进和案例教学设置，使得教学方式更丰富，教学内容更生动，教学效果更具启发性。在新的教学目标中增加了以下方面知识：掌握常用特殊函数在地下水运动偏微分方程解析中的应用，了解分离变量法与傅里叶级数、傅里叶变换的关系，熟悉求解地下水非稳定流方程的各类积分变换法及其适用条件，掌握地下水运动非线性方程的线性化技术，了解地下水溶质运移的对流弥散方程及其解析方法，了解非均质和随机性地下水流问题的基本描述方法。在学习和掌握这些专业知识的同时，笔者希望学生能够系统性地掌握并建立地下水运动模型的基本理论和方法；掌握一定的问题分析和应用能力，理解从具体的物理问题到抽象的数学模型的概化和推演；具备运用地下水运动方程刻画实际水流问题的技能，具有一定的自主研究能力，能够解决实际环境中的相关工程问题。

二、设置案例教学

基于上述教学内容，在兼顾知识目标和能力目标的前提下，设置对应知识点的案例教学。案例教学以实例和道具为主要手段，其中实例教学侧重理论联系实际，道具教学侧重知识引导、将抽象概念转换为形象具体的实物表征。下文介绍了几个情景教学设置的例子，包括实例教学和道具教学。

（一）实例教学

1.学科发展史介绍。本课程中的绪论和结课总结会首尾呼应地讲述地下水运动的学科发展史。学科发展史展示了人类对于地下水运动规律的认识过程。从最初的定性描述到后来的定量分析，从稳定流到非稳定流的研究，这一过程反映了科学研究的不断进步和发展［10］。通过了解这一过程，激发学生对“地下水动力学”课程的兴趣和热情，可以培养学生的科学思维和探索精神。特别是学生了解到前人在这一领域所做出的杰出贡献和取得的重大成果时，他们会受到启发和激励，从而更加积极地投入学习和研究中。同时，通过了解学科发展史中的重要节点，学生可以深入理解地下水运动的基本概念和原理，这些概念和原理是构建地下水动力学理论体系的基石，对于后续的学习和研究至关重要。此外，地下水运动的学科发展史还揭示了不同历史时期的社会需求和科技进步对学科发展的影响。

这一实例教学主要介绍学科发展过程中的标志性事件及关键历史人物，主要包括：1856年，Henry Darcy通过大量的渗透试验得出了在层流条件下，土中水的渗流速度与能量损失之间的关系的渗流规律，即著名的达西定律。这是定量认识地下水运动的开始。1863年，J. Dupuit以Darcy定律为基础，研究了地下水一维稳定运动和水井的二维稳定运动规律，提出了地下水稳定井流公式。1935年，Theis利用地下水流动与热传导的相似性，得出了地下水非稳定井流的方程——Theis公式。这一成果开创了现代地下水运动理论的新纪元。1940年，Jacob从数学物理的角度建立了承压含水层的地下水非稳定流偏微分方程。通过对微分方程的求解，重新获得了Theis公式。20世纪40年代至60年代，学者们开始对盆地尺度地下水运动规律进行研究。20世纪60年代后期，随着计算技术的进步，人们开始把数值模拟应用到地下水中。

这个环节安排学生搜集科学家的生平事迹和对学科的主要贡献，激发学生的学习兴趣，培养学生求真务实和与时俱进的创新精神，同时可以加深其对地下水运动理论发展历程中关键模型和公式的了解，增强其对学科发展的理解，使其体会到从简到难、从实践到理论的思维过程。

2.自贡盐井。根据埋藏条件不同，地下水被划分为上层滞水、潜水和承压水，而学生只能通过一些模型示意图去想象和理解埋藏于地下、赋存地下水的含水层系统。为了能够让学生进一步深入理解其中的水流过程和原理，这里以自贡盐井作为一个情景教学来帮助学生理解地下水的形成、分布、运动规律以及其与地表水、大气水之间的相互作用。自贡地区的盐井以其深厚的历史和技术成就著称，不仅为古代盐业生产提供了丰富的资源，也为现代地质学研究提供了宝贵的案例。承压水是自贡盐井形成的关键因素，由于地质构造的特殊性，承压水得以在特定地层中聚集，这些承压水富含盐分，当盐井穿透隔水层，承压水便会涌出，进而形成盐泉。

在这个案例中，通过分析自流井的产生条件和原理，让学生结合直观的水流现象去分析背后的原理，从而加深对地下含水层水流系统的理解，为进一步定量化研究做准备。另外，在自流井理论学习的基础上，学生自行搜寻了有关自贡盐井的成因、开采和发展历程，进一步了解了理论应用于工业生产的过程。同时，学生通过对比中外水力学科学发展的历程，也了解到我国历史悠久的科学发展和传承。

3.两条河流间的地下分水岭。地下水稳定流是认识地下水流流动过程的基础，也是进一步学习非稳定流模型及其应用的前提。而只进行推导数学模型并求解对应的微分方程，学生的感觉是仅流于表面的数学问题，并不能体会实际物理背景。我们选择河间地块分水岭问题进行实例教学。河间地块分水岭对地下水的管理很重要，可用于确定地下水污染的潜在来源以及地下水资源的最佳开发方式。它是地质构造、地形地貌和地下水运动规律共同作用的结果，是研究地下水运动规律和地质环境的重要对象。让学生认识并提取边界条件，然后再结合稳定流方程建立模型并进行求解，最后通过绘制水位图识别地下水位高低来确定实际分水岭位置。

在实际案例设置中，假定一个均质各向同性的潜水含水层接受大气降水入渗补给，地形对称且两条河流的水位呈现不同的高程差。让学生认识并提取边界条件，然后再结合稳定流方程来建立模型并进行求解，最后通过绘制水位图识别地下水位高低。学生通过建模计算两河间的潜水面分布情况与地下分水岭所处的位置，并分析不同位置——两河间的分水岭地带、河流附近，地下水流动的方向以及流线的分布。针对这一实际问题，通过整个过程的推演和理解，让学生逐渐体会到实际物理问题的建模过程及其中数学方法的作用。

4.傅里叶变换。有一种说法：工科生学好傅里叶变换是根基，可见傅里叶变换在工科中的重要性。傅里叶变换是一种线性积分变换，用于函数在时域和频域之间的变换，其在物理学和工程学中有许多应用。“地下水运动方程”中讲解地下水非稳定流模型和求解时，积分变换是核心内容。课程中的重点内容“拉普拉斯变换”也是在傅里叶变换的基础上得到的，因此理解傅里叶变换的原理和内涵有助于理解积分变换在地下水运动方程求解中的意义和应用。然而许多教材对傅里叶变换的讲解极为数学化，使得工科学生理解起来比较吃力。

这里通过查阅国外教材及网络资源，引出傅里叶变换的由来及其在工科领域的应用，然后引导学生一起利用MATLAB软件把一些实例函数的时域、频域对应的图像表达出来，给学生以直观的印象，帮助学生理解傅里叶变换的实质和意义。例如，选择经典的二维矩形函数，让学生编写程序画出原函数以及对应的傅里叶变换后的函数，从而直观地理解傅里叶变换前后函数的特征。

（二）道具教学

1.渗透张量的讲解。渗透张量是描述流体在多孔介质中流动的重要参数，它可用于模拟和预测流体流动的行为。由于其抽象的物理概念以及复杂的数学推导，渗透张量一直是学生难以理解和接受的知识点。在三维空间中，地下含水层的渗透性用渗透张量来度量。在各向同性介质中，渗透张量的各分量相等，因而为球形张量，这意味着它具有相同的对角分量，可以用一个标量来表示。在各向异性介质中，渗透张量是各向异性的，这意味着它具有不同的对角分量。这种情形下，渗透张量为椭球形，具有3个主方向。在一般情形下，即当渗透张量的3个主方向与正交坐标系不平行时，渗透张量将会有9个分量，涉及坐标轴转换，这个地方往往是学生难以理解的。为了使学生更加形象直观地接受概念渗透张量，这里设计了一组道具来展示三维张量的概念，从而启发学生理解一般情形下渗透张量的表征及坐标间的转换。道具设计如图1所示。

2.不同介质渗透性能对比。渗透是对地下含水层水分传输的一种抽象描述和概化，而含水层的固相机构由于颗粒组成和排列的不同使得渗透性能有很大差别。影响渗透性的因素主要有孔隙度、孔径、流体的黏度、介质的温度等。在实际应用中，可以通过改变介质的孔隙度、孔径和流体的性质来提高渗透性。

本案例主要针对介质的孔隙度、颗粒大小、形状、排列方式以及颗粒间的连通性方面进行砂土、粗壤土和细壤土三种介质渗透性的直观对比。其中砂土的颗粒较大，孔隙度较高，颗粒间的连通性较好，因此其渗透性能通常较好；而壤土的颗粒细小，孔隙度低，颗粒间的连通性差，且其中含量较高的黏土颗粒表面常带有电荷，能吸附大量水分，形成一层薄水膜，阻碍水的流动。为了直观对比水分在不同粗细的多孔介质中的渗透速率，设计了演示装置，进行现场观察。

结语

本文通过完善课堂教学内容、设计实例教学和研发教学道具等方式，并结合教学实践和对学生进行调研，寻求更为有针对性、合理化的教学方式，提高教与学的互动。通过讲述地下水运动的学科发展史、自贡盐井的历史辅助学生深入理解地下水动力学的基本概念和原理，培养学生的科学思维和探索精神，揭示社会需求和科技进步对学科发展的影响，激发学生对课程的兴趣和热情。通过分水岭计算和傅里叶变换的实例教学引导学生体会数学方法在专业学科中的应用；通过设计道具让学生深入理解渗透过程以及渗透张量的概念。综上，启发式、互动式的案例教学在缓解课程难度、帮助学生加深理解和掌握“地下水运动方程”的课程内容起到了积极作用，培养了学生从具体到抽象、从理论到实践、从简单到复杂的思辨和理解能力。