将张量分析融入传统力学的新工科教育

［摘 要］ 教育一直是社会发展进程中的重要命题，教育现代化也是社会现代化的重要标志。在新工科建设背景下，力学问题同样是数学问题，而“张量分析”则是面向力学专业一门独有的数学课。近年来，力学教学广泛运用了张量分析，以简明而又精练的数学语言表达一些较复杂的力学公式。“张量分析”课程相对而言较为复杂，这意味着教师在进行张量分析授课时需要讲究教学方法，改变教学模式，最大限度地调动学生学习张量的积极性，从而提升学生对张量分析的学习能力。

［关键词］ 张量分析；数学问题；教学模式；教学方法

［基金项目］ 2022年度哈尔滨工程大学校教改项目（JG2022B0201）

［作者简介］ 郭 晶（1980—），女，黑龙江绥化人，硕士，哈尔滨工程大学航天与建筑工程学院院长助理，副教授，主要从事结构动力学研究。

［中图分类号］ G642.0 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-9324（2023）14-0153-04 ［收稿日期］ 2022-12-21

近年来随着经济高速发展，国家大力扶持新兴产业，对创新型人才的需求不断增加。针对土木工程专业的新工科教育改革的研究与实践项目也应运而生。在我国大力推进自主创新的时代背景下，为推行行之有效的创新人才培养教学方式，以创新人才培养为核心，要求高校统筹传统教学模式，践行创新型教学方式。由于国内的高校大多以学生能够基本掌握理论基础知识、具有扎实的学科基础为目标，培养在工程规划、管理、设计以及相关的科学研究方面具备一定能力的土木工程专业人才，此时新工科的教学方式和发展战略起决定性作用。

一、力学的高阶需求

高校理工科课程包含许多基本力学知识，比如理论力学、材料力学、结构力学、工程力学、弹性力学、弹塑性力学、固体力学、流体力学、结构动力学等。固体力学研究连续固体在外界因素作用下的表现，这些因素一般包括力和热的响应，满足质量守恒定律、能量守恒定律、牛顿运动定律以及热传导定律等普遍的定律。经典牛顿力学的框架和体系经过半个多世纪的继承和发展，其中固体力学所包含的多个新兴子学科也已经渐渐发展起来，其几乎与所有工科专业包括土木、航天、机械、交通运输、新型材料、仪器仪表、动力能源等学科有所交叉。在实际生产生活、工程实际、专业发展中遇到的力学难题，固体力学几乎都能直接解决。工程技术大都以力学为基础，所以力学发展对科学规划及其科学任务的完成起决定性作用。

力学离不开数学。力学和数学作为各种实际工程结构中必须要考虑的关键问题，两者结合紧密，各种实际工程结构设计和优化的重要工具和手段几乎都离不开力学和数学方法，工程结构的每一个细节几乎都被数学方法所渗透。数学建模作为科学思维中的基础部分，是在力学中应用数学的必由之路，这就要求具备更高的数学水平开展力学研究。力学的问题同样也是数学问题，涉及大量的计算。比如，当需要简明扼要地描述物体运动行为之间的因果关系时，就需要利用牛顿力学中的基本运动方程，从位移、速度和加速度等方面进行描述。以一个连续体为例，由于它的形状是变化的，就如同物理量可以在不同的坐标系下表示一样，应力和应变也可以在不同构型下表达［1］。对于力学来说，从质量这种标量，到速度这种向量，再到应力这种矩阵，逐步需要更加高阶的数学。在力学问题中引入数学方法，在力学实践中应用数学。为了简便计算，应力的矩阵需要用张量来描述和形容。张量的概念在力学领域中应运而生，是面向力学专业的一门独有的数学课。

二、张量分析的发展

张量的概念来源于力学现象。关于“张量”一词，《韦氏词典》解释说：“有三个以上分量的广义向量，特定维度空间中每一个分量都是其任意点的坐标函数”；在《美国传统词典》中的解释：“与偏导数有关的一系列数字，这些数字遵循从一个抽象坐标系到另一个抽象坐标系，即两个抽象坐标系的转换规律”。与标量和向量相对应的就是张量，或者说是向量在三维坐标系中的广义定义。从较为直观的意义上讲，标量等价于绝对值，向量即代表有方向属性的线段的有理数。现代数学视角下，经若干次坐标变换，标量保持不变，即标量象征量的固有属性，在任意系下具有等值分量；向量则引入正负号，涵盖方向的概念，且在任意系下不一定具有等值分量，这是向量与标量的区别。对于标量、向量和线性算子的母概念，实际上可将其理解为张量。虽然在确定的坐标系下可以做到张量表达，但是张量不随坐标系而变化，即对于任意选定的参考系，张量是独立的。

张量分析不仅是19世纪数学巨大变革的发端，还是近代数学向现代数学进化的开端。从代数的角度来看，张量是向量的推广；从几何的角度来看，作为一个真实的几何量，张量不随参考系的坐标变化而变化，而是使用相应的指标符号。自然界中的大多数物理量包括速度、力矩等都可以看作是张量。一切力学量都是一阶或二阶张量，张量整体具有任意系变换的不变性，其象征力学量的本质属性。例如：零阶张量有密度、长度、温度、时间等一类标量；而力、速度等这类矢量可以看成一阶张量；连续介质力学中的应力和应变可以看成二阶张量。总之，物理力学系统中张量是广泛存在的。现如今，愈来愈多的力学教材都采用张量符号，即克里斯托费尔符号。张量符号的求导运算是针对曲线系中的向量进行的，最早由黎曼引入并帮助建立曲率张量和协变微分概念，他最终计算了空间曲率问题，该问题是给定度量的。简单而言，黎曼提出一种广义的坐标系，以象征一般化的空间模式。学者们需要寻找探求这一曲线系的相关运算方法，微分运算问题尤为重要，但是对这一坐标系里的函数开展微分时，基向量是变化的，其形式会愈发烦琐。因此，为了寻找此系微分或张量分析方法，许多数学家不断努力，最终构建了曲线系的微分方法。这种坐标系能用非常简易的形式表述一些繁杂的方程式。更重要的一点，过去无法建模的自然现象也可以用数学化的表达方式呈现。张量概念和其分析方法已成为力学工作者必不可少的数学工具。

三、传统力学的教学改革

（一）将张量分析融入力学教学

对力学工作者来说，教学的改革要落实到课程建设中，创新教学内容和教学模式。张量分析是一个极其重要的数学工具。一方面，数学以其手段预测和表述力学问题；另一方面，力学的需求反作用于数学发展。《张量分析与连续介质学》一书中阐述“张量这个名字本身就表明它的来源是弹性理论”。连续介质力学中的两个基本量——应力与应变，都是张量。为了避免书写过于繁杂，非线性连续介质力学的基本方程都需要用张量表示。许多人阅读连续介质力学的文献感到吃力，大多数是因为根本不懂得张量分析。在研究大变形或几何非线性问题时，方程的描述需应用张量概念，若要完整描述大变形模型，需将问题转到曲线系中。因此，根据非线性连续介质学的张量分析逻辑，一个坐标系必须用到两套基矢量，即协变基和逆变基，对基矢量运用求导运算获得协变导数。如今，在高校理工科类学生教学中，或多或少涉及了基础张量知识，教学工作者在开展力学教学时应大量融入张量分析的内容，让学生更加全面具体地了解所学内容［2］。

在连续介质研究领域，作为一种基本数学方法，张量分析理论已广泛应用于一般力学、土木工程、材料科学、航空航天、机械、天文学、计算机科学等各个领域，以至于学生不具备张量知识就无法进行连续介质力学基本理论的学习和相关专业文献的阅读［3］。现阶段，张量分析内容或多或少地都被涉及，例如：在本科弹性力学中，对笛卡尔张量以及相关弹力方程进行一般解释；在研究生课程中，“张量分析”是力学（固体力学、流体力学、工程力学等）和土木工程（结构工程、灾害预测、岩土工程、桥梁隧道工程等）的学生的一门基本必修课程。张量理论的重要性愈发突出，以流体力学为例，流体力学是探寻流体运动规律的学科，水、气、油都是流体力学科学研究和实践活动的主要研究对象。

在对弹性力学的有限元理论进行分析时，张量分析对其有较大贡献。物体位移是物体的基本变量，失真张量是通过对位移求梯度得到的，其中物体内任意一点的应力状态只与应变或应变的历史有关，这是经典弹性力学理论中的基本观念。有一种线弹性力学理论学说，对除了在各个方向上的位移外，物体内任意一点的微小元件，还会有自身的旋转变形，不只是用旋转角来表示自身的旋转变形，还用旋转张量来表示其变形，这与应变张量表示相同，这种理论是偶应力的线弹性力学理论。还有一种线弹性力学理论，是将旋转变形看作刚体微小体积单位的旋转，认为旋转可视为微小元件在旋转变形，这是经典弹性力学理论中的张量表达。因此，推导包含偶应力弹性力学的问题，可以借助张量的知识。在经典弹性力学理论时，可以忽略旋转变形的影响，用位移梯度表示无限小的弹性体变形，但在考虑偶应力在材料中作用的偶应力弹性理论时需要考虑旋转变形，需用旋转张量表示。

（二）创新教学方式

高校的教学创新是指高校为了更好地实现教学目标，高效培养创新型人才，对教学的各个环节进行变革［4］。为促进学生利用张量分析更加高效地开展科学研究，应该尽力丰富教学资源，创新教学方式，激发学生的学习兴趣，继而强化学生对张量知识的运用。

1.教学内容。在张量分析授课过程中，为了提高学生的综合能力和实践能力，加强与相关课程的联系，教师应提前指出张量分析对先修课程的要求，重点说明张量分析在后续课程中的应用原理，纲领性地介绍关联课程中涉及的基础知识与基本思想，非必要不过多讲述其内容，把握讲述的深度，为学生构建知识框架。在教学过程中，大多偏重理论和公式的应用，较少培养学生利用张量进行案例分析和文献阅读的能力，应将张量理论与工程科学实际问题和高水平论文有机结合，即教师在兼顾课程知识的同时，也应当适当注重推导张量分析在论文中的应用，从高水平张量分析的论文阅读切入，将论文中的张量知识与课程内容一一对应，选择难度适中的典型科学问题，开展运用张量理论的建模过程与公式推导。同时，制作工程实景图、相应视频、三维彩图、精美动画等。在吸引学生注意力的同时，丰富教学内容，解决了课程内容枯燥，学生兴趣不足的问题。另外，也要促进学生深入学习张量分析，使学生更好地理解和应用张量概念及理论，通过论文中的张量概念及理论促进学生对其基本理论的深层次思考，精抓核心和重点，理解实践应用中的要点与难点。学生不仅要在论文中深入学习并找到学习兴趣，还要逐渐对张量有自己的认识，写出学生自己的想法。教师应该适当组织学生进行论文研讨和实践案例分析，正视科学研究中具体问题的建模和分析过程，引导学生将张量的基本概念和理论知识作为学习与应用的工具，从理论推导到应用张量知识建立理论模型，最终进行论文撰写。使学生从多学科的视角认识各学科之间的关联性与统一性。此外，积极开展文献查阅课、学术研讨会等课外教学活动。例如，教师可以适当地向学生讲述与张量分析有关的研究方向和研究课题，激发学生对张量知识的求知欲，引领学生对张量分析知识深入研究，将知识活学活用，从而提高他们的学习与知识运用能力。

2.教学模式。对于张量分析这种难以掌握的学科，要讲究教学方法和教学模式，提升学生对课程学习的热情。高等院校教师在讲授“张量分析”这门课程时，经常重概念理论而轻方法应用，导致教学效果普遍不佳。这种只注重学科自身知识的教学模式，通常不利于学生在学习过程中对各个学科的交叉理解和融会贯通。教学模式的主要手段是课堂教学，主线是学生的高水平论文，中心是注重张量理论运用技能的综合训练。通过课前任务教学、项目案例教学、课上探究教学、课下总结教学的串联型教学方式，推进启发性、互动性课堂的构建。该课程采用小组教学模式，将学生分成研究小组，每组4～6人，开展论文专题研讨。教师分配布置各组的分析案例，重点对以张量理论描述工程问题进行针对性训练，利用张量理论搭建力学模型，使学生熟练进行张量理论推导和分析。教学紧跟新方法新内容，调动学生的积极性，让学生自主思考，在探究中开展个性化学习。

3.考核制。为提高学生的参与程度，并重视学生反馈的教学效果，有必要对张量课程进行公平的考核评价，以保证绝大部分学生参与其中并从中受益。考核评价不仅要从学生的基础知识掌握程度入手，同时还要注重学生的阅读理解和写作及运用张量分析的能力。课程的最终成绩包括平时出勤成绩和课堂互动成绩与最后的考核成绩，在一定程度上强化学生对张量知识的运用能力。