“线性代数”教学改革的实践和思考

［摘 要］ 从“线性代数”课程的内容特点和教学现状以及中国地质大学的办学特色出发，在教学内容方面，除了重视基础理论以外，提出了加强代数与几何的联系、重视应用实例在引入新教学内容时的作用，以及强调矩阵初等变换和向量组理论的重要性等举措。在教学方法和教学手段方面，从渗透数学思想方法、加强与高等数学的联系、善于类比和联系以及积极开展第二课堂等方面进行教学改革，以期增强教学效果，进而提高学生的学习兴趣，锻炼学生解决实际问题的能力，提升学生的数学素养。

［关键词］ 线性代数；教学内容；教学方法和教学手段

［基金项目］ 2020年度中国地质大学（武汉）教改项目“线性代数金课建设”（2020G24）；2022年度高等学校大学数学教学研究中心项目“面向新时代地质创新育人的大学数学课程教学新模式的研究与实践”（CMC202202预02）

［作者简介］ 王军霞（1977—），女，河南南阳人，理学博士，中国地质大学（武汉）数学与物理学院副教授，主要从事有限群表示论研究；郭艳凤（1976—），女，河南新乡人，理学博士，中国地质大学（武汉）数学与物理学院教授（通信作者），主要从事偏微分方程理论研究。

［中图分类号］ G642.0 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-9324（2023）27-0017-04 ［收稿日期］ 2022-08-12

“线性代数”课程是理工科乃至某些文科专业的一门重要基础理论课，具有逻辑严密、高度抽象、符号独特、应用广泛等特点，其理论知识也是做离散化处理的重要基础。因此，线性代数理论是学生将来从事各项科学研究所必须具备的数学基础，其中蕴含的数学思想和理论方法也是理工科学生学习后续课程的基础。

一、“线性代数”的内容特点与教学现状

“线性代数”课程的主要内容包括行列式、矩阵、线性方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵与二次型等基本理论知识，其教学内容承前启后，语言论述严谨科学，逻辑推理环环相扣，因此，一些学生学习时感到概念抽象、内容繁杂，学习上存在较大困难。中国地质大学大部分院系把“线性代数”课程开设在大二上学期，由于还没有接触过多的专业知识，学生不了解“线性代数”在其专业课程中的作用。如何突破以往“重理论、轻应用，重理论推导、轻数值计算”的传统教学模式，增强学生学习的积极性与主动性，建立以培养学生对知识的理解、应用、实践、创新为主的新型教学模式，是我们亟须直面的问题。

二、教学内容的改革

在基础理论层面，要以基本概念为主，适当忽略一些定理的严格证明，补充关于定义与定理的发展历程，不要让学生在对定义与定理的内容还处于懵懂状态时就被它严谨的证明过程给搞晕了。在整个教学过程中，注重引导和启发学生，时刻关注学生的学习感受，有针对性地帮助学生理解和思考。在计算技能方面，有针对性地训练学生及时抓住重点而不被一些旁枝末节的东西所羁绊。积极为学生创设开放式、探究式的学习情境，鼓励学生自主学习，从过程中感悟数学的魅力，提升数学素养。

（一）加强几何与代数的紧密联系

北京航空航天大学数学与系统科学学院李尚志教授曾用“空间为体，矩阵为用”八个字来概括线性代数的研究对象和方法［1］。线性代数处理的对象是空间和变换，是三维空间上的解析几何；处理的工具主要是矩阵，是用代数方法研究高维上的几何问题。

代数和几何有很多地方相对应，比如：代数上解二元线性方程组对应于几何上两条直线的交点、解三元线性方程组对应于平面的交点，向量组线性无关是二维上两个向量不共线、三维上三个向量不共面在高维上的延伸。

为减少向量空间这一抽象概念给学生带来的困惑，可以将高等数学向量代数的内容与线性代数相结合，它们之间的结合是空间直角坐标系中三维向量的几何表示（有向线段）和代数表示（向量的坐标）之间的一一对应。特殊向量e1，e2，e3是空间直角坐标系中三条坐标轴上的正向单位向量，实质是三维向量空间的规范正交基。从三维上的几何形象过渡到维向量组的线性相关性、极大无关组以及维向量空间的规范正交基，使学生从感受形象思维慢慢过渡到形成抽象思维。同时，加深从低维到高维实质内涵的理解，使其认知维度逐步清晰和系统，教学更加符合认知规律。

（二）借助应用实例，引入教学内容

现有的《线性代数》教材注重理论体系，编排结构紧凑，逻辑性强，强调基本定义、定理及其证明。教师大多是受过严格数学训练的专业教师，教学偏重数学的严密性和表述形式的标准性，缺乏趣味性和应用性，易给学生造成“线性代数”课程空洞抽象、枯燥无用的印象。

线性代数中的定义虽然抽象，但都是从实际问题中经过抽象概括得到的，只是限于时间，教师没办法把每个定义的发展历程呈现给学生。所以，对于一些难理解的知识点，教师可以适当介绍定义产生的历史背景，这种以实际问题为背景给出定义的方式更容易使学生接受。比如矩阵乘法，如果教师直接给出定义，学生会觉得莫名其妙，为什么和加法一样对应位置上的元素相乘还放在对应位置上？如果我们给出一个生产中的实例，学生就容易理解并快速接受矩阵乘法运算了。矩阵乘法运算不满足交换律，为什么会出现这样的情况呢？如果教师从矩阵乘法对前后两个矩阵的型号有要求出发，列举几个不满足交换律的例子，让学生真切感受，那么在以后遇到关于数的理论是否可以平移于矩阵时，学生自然会考虑其中是否涉及交换律。

（三）强调矩阵初等变换的作用

矩阵理论是线性代数理论的重要组成部分，初等变换是线性代数的一条计算主线，可以利用初等变换求矩阵的逆、解线性方程组、得出矩阵的秩、求向量组的极大无关组、化简二次型。所以，只要掌握了初等变换运算，线性代数中的计算就通了，可以极大缓解学生的畏难心理。教师只要在教学活动中紧紧抓住这条主线，就能消除学生在计算上的困扰。

（四）突出向量组的理论，加深向量组与线性方程组、矩阵的联系

《向量组的线性相关性》这部分内容集中了大量晦涩的定义、定理以及复杂的理论推导，一些学生学习时困难重重。但是这一章内容是向量空间的基础，掌握不好势必会影响后续向量空间乃至线性空间和线性变换的学习。

抓住向量组的线性关系中的几个重要概念，如线性相关、线性无关和线性表示，再和前面的知识融会贯通，只要把向量组依次按列排成矩阵，向量组的问题就变为矩阵问题，即向量组的线性相关性转化为齐次线性方程组是否有非零解，一个向量能否用一个向量组线性表示就转化为非齐次线性方程组是否有解，一个向量组能否用另一个向量组线性表示就转化为矩阵方程是否有解，两个向量组等价可转化为两个矩阵方程是否同时有解，求向量组的秩转化为求矩阵的秩，求向量组的极大无关组转化为求矩阵的最高阶非零子式等。所以，只要把向量组的问题看成矩阵的问题，再通过线性方程组解的判定定理过渡，所有问题就迎刃而解了。

三、教学方法和手段的改革

（一）渗透数学思想和方法

数学思想是对数学知识和方法的本质认识，是对具体数学概念、规律、方法等认识过程中抽象出来的观点，具有奠基性、总结性和一般性［2］。数学方法是教学中采用的途径、方式、策略等，数学思想和数学方法紧密联系，本质相通。教师在教学活动中要善于剖析和挖掘教学内容，总结数学思想方法。另外，要把思想方法贯穿教学过程，做到在知识传授的同时渗透数学思想方法，提升数学素养。

要领悟数学思想就要先训练学生的抽象思维能力和概括总结能力。线性空间和线性变换是线性代数的核心内容，但是由于理论的高度抽象性，学生学起来较为困难。教师可以在总结了三维几何空间、n维向量空间、同型号矩阵集合、齐次线性方程组的解集等内容之后，引导学生总结提炼这些具体线性空间的共性；接着再多举一些例子，比如数域上的一元多项式、闭区间上连续函数等，总结出所有具有加法和数乘运算且满足八条运算规律的对象有很多共性。一般线性空间就是研究所有这些对象的共性，所以线性空间中不再关心元素长什么样，也不关心加法和数乘运算的具体过程，而是关心它们是否遵循哪八条运算规律，由此还能否推出更进一步的结论。线性代数中最核心、最抽象的思想就这样顺其自然地深入了学生的内心。

（二）加强与高等数学的联系

从数学的分类来看，高等数学属于分析范畴，主要研究连续对象的局部性质和整体性质，研究工具主要是极限。线性代数属于代数范畴，主要研究离散对象的结构性质，矩阵是研究的主要工具。分析和代数在研究对象、思维方式和处理方法上具有很大的差异［3］。

线性代数的特点是概念抽象难理解，计算不复杂但是过程庞大，容易使学生不知道为什么要这样做或者因为结果不正确而灰心。另外，教师比较注重知识传授，导致学生不了解理论应用，也认识不到线性代数在后面专业课中的作用。所以学生刚开始学线性代数时较困难，不能把高等数学的知识作为储备。这时，就需要教师发掘线性代数和高等数学之间的联系。比如，线性方程组通解的结构理论与线性常微分方程通解的结构理论是一致的，线性代数中的最小二乘解问题，既可以用线性代数的知识来讨论，又可以用高等数学中的极值来求解。线性代数中的任何一个矩阵都可以写成一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和，那么对应于高等数学中即任何一个函数均可以写成一个奇函数和一个偶函数的和，这两个题目的思想和证明方法是一致的。

（三）善用类比和联系

类比是一切理解和思维的基础，有比较才有鉴别。在教学中，要引导学生多做比较，找出知识点之间的区别和联系，既有利于学生掌握新知识，做到时常巩固已学知识，又可以指导学生利用已掌握的理论和方法解决新问题［4］。

在“线性代数”教学中，类比方法分两类：第一类是纵向的同一个知识点之间的类比，如从低阶行列式到高阶行列式、从低维向量到高维向量等；第二类是横向的不同知识点之间的类比，如用初等变换、Cramer法则、矩阵逆求解线性方程组三种方法的适用性，矩阵等价、相似与合同三者间的联系和区别、二次型通过一般可逆线性变换和正交变换化为标准型的不同作用等。

线性代数中有矩阵等价和向量组等价的概念。大部分教材是先讲矩阵等价，这样教师在讲两个向量组等价的定义时就可以和矩阵等价的定义做对比。两个矩阵等价是通过初等变换实现的，而向量组的等价是相互线性表示，这样就在无形中强调了向量组中线性运算和矩阵的初等变换运算具有同等重要的地位。但是二者之间也有区别，比如矩阵A和B等价，那么它们一定是两个同型号矩阵。这两个矩阵的列向量组是两个向量个数相等、向量维数相同的向量组。根据矩阵秩等于其列向量组秩知这两个向量组的秩相等，但是不一定是等价的向量组，但是如果矩阵A只通过初等列变换到B，就可以断定这两个矩阵的列向量组等价。反过来，两个等价的向量组按列排成矩阵不一定是同型矩阵，所以不能谈是否等价。如果两个等价的向量组按列排成矩阵是同型矩阵，那么这两个矩阵就是等价矩阵。这背后的原因是两个矩阵等价可以通过初等行变换或列变换相互得到对方，而作为向量组按列排成矩阵，只能对矩阵做初等行变换才做到不改变列向量组之间的线性关系。

（四）积极开展第二课堂

线性代数理论性强，有些章节理论多而且难理解，教师在教授这些内容时往往只讲结论和方法，导致学生勉强做题。同时，由于“线性代数”课程符号复杂，教师讲解一个行列式的计算或者一个矩阵的初等变换往往要写满整个黑板，所以现在教师大多采用多媒体辅助教学，上课播放PPT课件，从而易出现学生上课似乎都听懂了、下课又都忘记了的现象。因此，有些重要的计算还需要教师在黑板上亲自演算。比如，矩阵的乘法过程、对矩阵做初等变换化成行阶梯形、行最简形以及标准型的过程。同济大学《线性代数》教材上有关于线性方程组解存在性的证明过程中的一句话：“不妨设系数矩阵的行最简形的左上角是r阶单位矩阵”［5］，如果不给出具体例子学生就很难理解，再怎么解释也不如展示几种情况更能使学生清晰理解。平时学习期间，教师应及时给学生上传课件及预习复习资料、推荐延伸阅读、展示优秀作业等，让学生的学习延伸到课堂之外，甚至此课程之外，使学生保持持续学习的习惯。