高校数学专业课程的教学创新

［摘 要］ 基于著名数学教育家弗赖登塔尔“数学现实—数学化—再创造”的数学教育理论，针对数字专业课程教学中数学现实难以体现、数学化能力提升困难、再创造实现困难等问题，介绍了课程团队在数学专业课程上的教学创新实践。课程团队以打造师生共同体为教学理念，对应数学现实在教学内容上进行课程思政和学科前沿融入的教学内容重构，针对数学化能力提升在教学过程中构建教赛研三维一体化，为实现再创造创新综合考核评价。通过多年的探索与实践，课程育人效果得到显著提升，在学生培养与教师成长环节取得一系列成果，相关教学成果得到了推广和应用，推动了数学课程教学“四个转变”，即从“教”到“育”的转变，从“成才”到“成群”的转变，从“重基础”到“基础应用并重”的转变，从“课堂”到“课外”再到“专业发展”的转变。

［关键词］ 课程思政；教研结合；教赛结合

［基金项目］ 2021年度贵州省教育厅课程思政示范项目“高等代数1-1”；2020年度贵州省科技厅计划项目“代数导出范畴的几何方法研究”（黔科合基础〔2020〕1Y405）

［作者简介］ 章 超（1986—），男，湖北宜昌人，博士，贵州大学数学与统计学院教授（通信作者），主要从事代数表示理论、代数图论研究。

［中图分类号］ G642.0 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-9324（2023）36-0030-04 ［收稿日期］ 2022-07-20

引言

无论纵观科学发展历史，还是国家与地区的发展沿革，基础科学与应用基础科学直接或间接地支撑和推动了科学技术的发展，以及国家、地区的可持续发展，而数学科学处于基础科学的核心。在“四新”建设与大数据发展的背景下，要实现社会健康和可持续发展，需要大量的高素质创新型人才。而作为创新型人才培养的基石之一，数学课程是创新的基础和源泉，高质量的数学课程是提升创新人才培养质量的保障。数学与应用数学专业致力于专业人才培养与服务国家“四新”人才培养战略，旨在服务国家和地方经济和社会发展，培养厚基础、宽口径、重能力、求创新的数学研究与应用型人才。

数学专业课程是高等院校数学相关专业的基础课程，包括“高等代数”“数学分析”“解析几何”，以及“抽象代数”“数论”“微分方程”“泛函分析”等后继课程。数学专业课程是中学代数知识体系的继续与提高，通过课程教学，有助于协助学生系统地掌握代数基础理论和基本方法，提高学生数学核心素养。

通过学习数学专业课程，学生需要在知识上，准确叙述数学课程的基本知识与原理，描述基本数学思想与方法。能力目标包括：能够通过数学抽象、数学建模，完成独立思考和分析过程，展现严谨的逻辑思维；能够通过高维空间观念与几何直观的对应，形成高素养下的教学能力；能够准确地进行数学内容讲授，进行开放性、探索性讨论，完成文件检索、报告撰写等任务。在素养方面，通过发掘知识体系中天然自带的数学思想、彰显科学发展中时时闪耀的先辈楷模的示范性、突出数学学科中无处不在的国计民生关联度，促使学生养成不断创新的意识，能够主动探索现代科技背后的数学应用原理，感受科技发展的巨大魅力。

著名的数学教育家弗赖登塔尔认为，数学教育应该围绕“数学现实—数学化—再创造”三方面进行［1］。更细致地说，数学来源于现实，存在于现实，并应用于现实。每名学生有各自不同的数学现实。数学教师的任务之一是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实。人们在观察、认识和改造客观世界的过程中，运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程，就叫数学化。简言之，数学的组织现实世界的过程就是数学化。学习数学唯一正确的方法是实行再创造，教师的任务是引导和帮助学生进行这种再创造的工作，而不是把现成的知识“灌输”给学生。

数学专业课程针对数学类专业大一学生开设，具体学情分析如下：在知识储备上，学生已经在高中学习了求解低阶线性方程组、立体几何知识，积累了行列式、矩阵产生的线性方程组和解析几何等基本背景。在学习能力与态度上，学习本门课程的学生基本为理科生，虽思维较活跃，自学能力较强，但大多缺乏动手计算能力与意识，有畏难情绪。在学习兴趣和动机上，学生处于对新课程和新教师具有较强好奇心的阶段，但对课程知识结构较为陌生，暂时还未找到符合该知识体系的学习方法。

一、教学创新解决的痛点问题

基于以上学情分析与“数学现实—数学化—再创造”数学教育理论，数学专业课程的教学存在以下问题。

（一）数学现实难以体现——课程内容难以融入前沿应用与课程思政

数学专业课程支撑的数学大厦具有高度的抽象性和一般性，是概括了许多具体客观事物之共性后形成的非常一般性规律。虽然代数学在当今大数据相关领域被广泛应用，但是其教学内容更多关注系统性，忽略了其前沿性与应用性。此外，传统课程内容很难有机融入课程思政元素进而达到育人目标。

（二）数学化能力提升困难——教学活动与过程难以实现自主学习

受能力培养需求与课时不匹配等客观因素，以及数学专业课程教学方式较传统等影响，在处理教学内容时，数学专业课程教学易陷入重理论讲授，或重计算演练的窘境，进而易导致教学模式固化，多为板书验算推导。此种教学模式容易让学生的实践能力受限、理论脱离实际、缺乏团队合作意识，难以实现自主学习。

（三）再创造实现困难——综合能力提升难以评价与驱动

数学专业课程致力于学生综合能力的提升，包括培养学生独立思考的习惯、塑造学生思维独创性的品质，使学生具有勇于创新的精神；课程要有意识地培养学生再创造的能力（包括实践能力、团队合作能力），培养学生解决问题时的独特见解和独创解法。然而，在目前实际教学过程中的评价机制难以综合评价学生的综合能力，单一的考试评价方式易导致学生重考试结果、轻学习过程。

二、课程创新理念与思路

针对数学专业课程教学痛点，历经八年的教学改革与实践，形成了以下教学理念与教学创新思路。

（一）教学理念

坚持打造一体（师生共同体）的教学创新理念，致力于培养基础强、应用能力出众的数学专业人才，实现“四个转变”——从“教”到“育”的转变，从“成才”到“成群”的转变，从“重基础”到“基础应用并重”的转变，从“课堂”到“课外”再到“专业发展”的转变，实现师生同频共振，形成师生共同体。

（二）教学创新思路

课程团队基于数学教育家弗赖登塔尔的“数学现实—数学化—再创造”数学教育理论，形成了以打造一体（师生共同体）为目标，对应数学现实在教学内容上进行课程思政与学科前沿融入，针对数学化能力提升在教学过程中构建教赛研三维一体化，为实现再创造能力进行综合考核评价的创新思路。

三、教学创新的具体措施

（一）基于数学现实重构教学内容

课程团队以课程思政为抓手，着力于弗赖登塔尔数学理论中的数学现实，精选教学内容，重构应用背景，建成了以提升学生应用能力为目标，背景明显、思政元素丰富的课程体系，以及与学科前沿融合且具有时代性的课程资源。首先，借助GeoGebra软件与几何直观，将抽象内容可视化；其次，厘清每个概念与定理产生的背景与动机，融入数学史揭示概念或定理产生的历史背景；最后，将数学融入生活中，重视数学文化的渗透，引导学生探索现代科技背后的数学应用原理，感受科技发展的巨大魅力。课程教学内容着力于为学生构造数学现实，重视融入数学应用与学科前沿，不仅有助于激发学生的学习热情与求知欲，培养学生的实践创新能力与家国情怀，而且能够培养学生的创新能力与初步的科研意识，以及提升民族科研创新实力与占领科学新高地的使命感与责任感。

（二）针对数学化构建有效的教学过程

课程构建了以提升学生实践能力为导向的教赛研三过程一体化的教学过程，采用线上线下混合式教学方法，以促进学习者的满意度［2］。

在教学过程中，课程团队要融合信息化资源。课前，充分利用学习通等资源平台，发布线上资源，将学习内容提供学生学习；课中，将中阶内容推导演练，结合线上资源进行理论讲解；课后，要求学生将高阶内容分组讨论，并在学习通中提交反馈，促进学生的合作与探索。

通过多元化学科竞赛强化课程学习。课程与大学生学科竞赛深度融合，如国家级、省级及校级数学建模竞赛。特别是大学生数学竞赛，以促进高等学校数学课程建设、选拔数学及复合型创新人才、培养分析问题解决问题能力与检验数学基础课程学习效果为竞赛宗旨，为课程建设成效提供了有效的检验标准。本课程以赛促建，以竞赛作为检验学习效果的重要标准，将竞赛题提炼为分组讨论任务，以赛促学，依托数学竞赛，强化课程效果与学习过程。

另外，课程团队把课程延展提炼为研究小课题，混合编队，以小组进行科研训练。课程团队依托SRT项目，指导学生参与科研探索过程，提升学生的团队合作能力，促进学生完善数学知识体系结构框图。

（三）为实现再创造进行综合考评

在数学专业课程教学过程中，课程团队强化理论深度，重视高阶内容的理论高度与学科前沿性，促进学生探索和完善代数理论框图与结构；突破课堂，以学科竞赛提升学生的实践能力，促进学生的参与度；强化数学建模在大数据建设中的应用，在活动中让学生体会创新关联度。在实践教学过程中，组织学生以小组进行分组任务的讨论，将课程延展内容提炼为SRT项目，促进团队合作，感受团队温度。

为了更好地促进数学再创造能力转化，将单一的考核方式改为多元化的考核方式，建立多元化考核与评价体系。将课外自主学习情况、课堂表现、参与交流情况、单元测试、期末考试纳入新的评价体系中，其中平时成绩以学生的课外作业完成情况、课堂讨论的参与情况为依据，主要考核学生的学习过程和课程思政的实施效果。

下面以教学团队在课程教学中的《可逆矩阵》章节为例，详细介绍教学设计。大体设计是以BOPPPS为时间线，通过分组任务使课前、课中、课后形成一个闭环。首先，基于可逆矩阵于前序知识点——行列式按行展开公式，所以要在上一节布置与可逆矩阵相关但是相对开放的分组任务；然后，利用爱国影片《悬崖》中的加密解密情节进行引入；随后，通过知识、能力、素养三方面梳理学习目标；在前测环节，每个小组展示分组讨论任务，问题式自然过渡到可逆矩阵的定义，再通过GeoGebra软件实操讲解可逆矩阵的判定与计算，以此体现教与用的结合；过程中可以穿插两个参与式学习环节，伴随矩阵的计算以及绘制国旗的过程，引导学生判定哪些过程是可逆矩阵给出的变换；在后测环节，借助希尔密码讲解可逆矩阵在加密与解密中的应用，并以华罗庚破解密码科技报国的故事自然融入思政元素，体现知识的前沿性与应用性；在总结部分，不仅要包括知识点总结，还要包含数学思想的挖掘与提炼，以此来内化数学思想的广泛性与应用性；最后，布置理论、实践和探索三方面的分组任务，体现教赛研一体化。纵观整个设计，该教学设计很好地体现了二融、三维与四度的理念。

四、课程教学创新成效

（一）让课程“活”起来——人才培养质量提升

经过多年实践，学生的高阶认知与再创造能力得到了显著提升。课程促进了从课堂到课外、从重基础到基础应用并重的转变；近三年内，团队教师指导学生获得全国大学生数学竞赛、数学建模竞赛等国家级奖项二十余项；学生的各项能力在SRT项目训练中得以提升，为参与全国大学生市场调研大赛奠定了坚实的基础，并在大赛中获得全国一等奖的佳绩，数十名学生进入名校攻读硕士研究生。

基于“数学现实—数学化—再创造”数学教育理论的教学改革，课程在人才培养方面，形成了从“教”到“育”的转变、从“成才”到“成群”的转变，形成了良好的育人环境、模式与格局。主讲教师通过担任多重角色、依托课程创新，提高了人才培养质量；班主任通过课程推动班级管理，带领获得省级优秀班级的称号；教研室主任通过课程示范，推动教研室荣获校级优秀教研室。作为数学专业的重要基础课支撑，近三年专业继续深造率稳步提升，如2021年数学专业升学率达到55%，支撑数学与应用数学专业入选国家一流建设专业。