基于数学建模思想的“概率论与数理统计”课程教学探索

[摘 要] 概率论与数理统计是随机数学的重要理论分支，具有深厚的实际应用背景，是数学建模的重要理论之一。鉴于我国高校对应用型和创新型人才培养的实际需求，以该课程部分知识点的实际教学为例，介绍在“概率论与数理统计”课堂教学中，将数学模型思想融入课程，即将实际问题结合于理论知识，以达到使学生了解数学理论的实际应用，同时加深对基础知识的理解与记忆的目的。实践表明教学效果显著。

[关键词] 概率论与数理统计;数学模型;随机事件;概率;数学期望

[基金项目] 2020年度深圳技术大学教改研究项目“面向应用型人才的启发与实践有机结合的数学教学新模式探究”（202018666601012）;2020年度深圳技术大学教改研究项目“面向人工智能课程的基础数学教学探索”（202018660601010）;2018年度深圳技术大学教改研究项目“数学建模课程建设的探索”（2018105101035）

[作者简介] 张红梅（1973—），女，黑龙江齐齐哈尔人，博士，深圳技术大学大数据与互联网学院副教授（通信作者），主要从事随机系统优化研究;王文婷（1982—），女，江苏南京人，博士，深圳技术大学大数据与互联网学院助理教授，主要从事超高维网络抽样研究;史诗洁（1990—），女，广东汕头人，博士，深圳技术大学大数据与互联网学院助理教授，主要从事偏微分方程研究。

[中图分类号] G642;O13-4 [文献标识码] A [文章编号] 1674-9324（2022）28-0119-04 [收稿日期] 2021-09-13

引言

数学基础理论是现代科技发展的基石，在高等教育中占有非常重要的地位。在应用型大学中，“概率论与数理统计”是一门重要的数学应用类课程[1-3]。应用型大学的办学宗旨是培养应用型和创新型人才，在应用型大学中开设高等数学类课程，可以使学生将课堂学习的理论知识用于实际应用，即对实际问题进行数学建模，进而解决问题。这正是数学建模的研究内容[4-6]。在高等数学中，“概率论与数理统计”是应用型极强的一门数学课程。但由于课程中涉及大量的“微积分”和“线性代数”等课程基础知识，理论性较强，对于工科生来说难度较大，一直以来被认为是工科高等数学中最难的一门课程。因此，如何将课程内容使学生容易接受并应用于实际，是一个重要的问题。笔者在从事“概率论与数理统计”课程的教学过程中，对课程的教学方法进行了长期探索，取得了一定的效果。本文以“概率论与数理统计”课程中的部分理论知识为例，总结在课堂教学时，如何利用基础理论知识表示和解释身边的实际问题，将数学建模的思想融入课程。本文将从以下两个方面展开：教学内容的趣味性和教学内容的实用性。

一、教学内容的趣味性

兴趣是最好的老师。对于数学类枯燥的课程，更需要激发学生的兴趣，以提升教学效果。在高等教育中，相对于其他数学类课程，“概率论与数理统计”应用范围更广泛，因此，有更多与我们生活息息相关的例子可供课堂教学使用。

（一）举例知识点：等可能概型

在学习等可能概型这部分内容时，首先提出两个学生感兴趣的问题：在茫茫人海中，想遇到与自己同月同日生的人，概率有多大？

趁学生对这两个话题产生感兴趣时，引入概率理论：等可能概型。给出等可能概型的计算公式：

为解决提出的问题，需要首先引入下面这个简单的摸球例子。

例1 将n只球随机地放入N（N≥n）个盒子中，试求每个盒子至多有一只球的概率。

解：记A为每个盒子至多有一只球的事件，则

对上述问题进行引申：n个人中至少有两人生日相同的概率。可视为将n个人（球）随机放入365个日期（盒子）中。为了计算两人生日相同的概率，可以通过计算其逆事件的概率简化问题。首先计算n个人的生日各不相同的概率为

则n个人中至少有两人生日相同的概率为

通过计算可知，取n=23时，概率为0.5;取n=100，可求得概率约为1。这也说明，“百里挑一”这句成语原来是有理论依据的呀！

（二）举例知识点：条件概率

在条件概率部分，除了条件概率这个知识点本身，还涉及与条件概率导出的几个相关公式：乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式。这几个公式虽然均可由条件概率公式经相应的变形导出，但其在外形上相差很大，且都比较复杂。所以这几个公式如果直接向学生灌输，很难被理解和接受。兴趣是最好的老师，如果能通过学生感兴趣的事物引入这部分的理论和应用，定会使相应的理论容易被接受，并加深印象。所以在学习这部分理论时，首先通过一个熟悉的综艺节目引出问题。

例2 三门问题。在舞台中间有三扇门，其中两扇门后面写的是“羊”，一扇门后面写的是“车”。参与者有两次选择机会，最终选中的物品将归其所有。当参与者选中一扇门后，主持人打开另外两扇门中的一扇，结果是“羊”。问：参与者是否会选择换门？

解题思路 不妨设1号门后面是“车”，2号和3号门后面是“羊”。那么只有以下三种情况：（1）参与者选择了1号门，主持人打开的是2号门;（2）参与者选择了2号门，主持人打开的是3号门;（3）参与者选择了3号门，主持人打开的是2号门。

经过分析可知：如果选择不换门，三种情况中只有第一种情况选择正确，选中车的概率为P中车=1

3;如果选择换门，也就是后两种的情况，则中车的概率是：P中车=2

3。所以结论是：参与者应该换门。

可以发现，在这个例子中，并未利用深奥的概率知识，只需常识即可得出结论。但是接下来引入与此例原理类似的问题——三囚犯问题，则需利用以上理论：条件概率公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式。

例3 监狱中有三个犯人，不妨设为A、B、C。三人中有一人会被赦免，而其余两人会被处死。A问看守谁会被处死，看守说是B。假设看守不会说谎。则A生还的希望是下面答案中的哪一个：a.1

凭直觉，大部分人会选择答案a，但这个答案是错误的。为什么？等这部分理论学完，答案自然水落石出，这就吸引学生继续听下去。这部分涉及以下知识点。

【定义1】设A、B是两事件，若P（A）>0，则

P（B|A）=P（AB）P（A）

称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。

将以上公式变形，可得

P（AB）=P（A）P（B|A）

上述公式称为乘法公式。

【定义2】设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，…，Bn为S的一个划分，且P（Bi）>0（i=1，2，…，n），则

称为全概率公式。

【定义3】设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，...，Bn为S的一个划分，且P（A）>0，P（Bi）>0，则

称为贝叶斯公式。

依据以上理论，下面给出三囚犯问题的分析。设A、B、C分别代表三囚犯被赦免的事件，D为看守对A说B会被处死的事件。

已知P（A）=P（B）=P（C）=1/3，求P（A|D）：在看守说B会被处死的条件下，A被赦免的概率。这是一个条件概率问题，条件就是看守和A说了B会被处死这件事。

其中，P（D|A）：在A被赦免的条件下，看守说B被处死的概率。由于A被赦免，看守可以说B，也可以说C被处死，因此概率为1/2;P（D|B）：在B被赦免的条件下，看守说B被处死的概率，这是矛盾事件，因此概率为0;P（D|C）：在C被赦免的条件下，看守说B被处死的概率，由于C被赦免，而且B一定会处死，所以概率为1。

再代回条件概率公式（1），得

也就是说，A在询问了看守后，被赦免的概率没有提高，但是C被赦免的概率却提高了！为什么会出现这样的结果呢？1/2为什么不对？吸引学生思考。然后再给出原因和推理。

二、教学内容的实用性

在数学类课程的讲授过程中，经常被用到的一个问题是：学这个有什么用？如果我们能将所学知识直接用于解决生活中的实际问题，定会提高学生的接受度。

（一）举例知识点：随机事件

在讲随机事件知识点时，受新冠肺炎疫情影响，采用网络方式授课，所以以当时熟知的事件为例，学生很自然就接受了。

（1）包含A    B：若A发生则必然导致B发生。例：A={发烧，咳嗽}，B={生病}，则A   B。（2）和事件A∪B：A，B中至少有一个事件发生。例：A={白肺症状}，B={核酸检测呈阳性}，则A∪B={高度疑似新冠}。（3）积事件A∩B：A，B同时发生，也记作AB。例：A={白肺症状}，B={核酸检测呈阳性}，则A∩B={确诊为新冠}。（4）差事件A-B：A发生B不发生。例：A={发烧}，B={咳嗽}，A-B={发烧，不咳嗽}。

（二）举例知识点：数学期望

在学习数字特征的数学期望知识点时，恰逢所在市区组织全员核检，工作量巨大。为了提高效率，不再采取一人一试剂盒的单检方式，而是十人一试剂盒的混检方式。向学生提出问题：采用混检的方式有什么理论依据？引出下面的例题。

例4 对某群体（N个人，N很大）做疾病普查，可用两种方式：（1）将N个人的血分别检测;（2）每k个人一组混检，若混合血样呈阴性，不做处理;若呈阳性，再对k个人的血样分别检测。假设每人的样本呈阳性的概率为p。试证明当p较小时，选取适当的k，按第二种方法可以大大提高检测的效率。

解题思路 本题目考查该群体检测次数的期望值，即每人平均检测次数之和的期望。由已知，各人检测结果呈阴性的概率为q=1-p，则k个人混合结果呈阴性的概率为qk，呈阳性的概率为1-qk（结合十人一组的核酸混检方式，这几个概率很容易理解）。设k人一组时，组内每人检测的次数为随机变量X，显然其分布律为

在这个例子中有大量的公式，如果不结合实际问题，学生会很排斥。当结合身边的实际问题进行解释时，学生就很自然地接受和理解了。

（三）举例知识点：假设检验

假设检验是依据某种准则，利用样本的信息检验关于总体的假设是否正确，然后作出决策：接受还是拒绝。在假设检验的过程中，容易犯两类错误：（1）弃真错误;（2）取伪错误。显著性假设检验就是为了控制第1类错误而进行的假设和检验。只对犯第1类错误的概率加以控制而不考虑犯第2类错误的概率的检验，称为显著性检验。

在讲授这部分内容时，为了使学生理解两类错误和显著性检验，以常见的医学检测为例进行说明。在常规的体检或疾病筛查时，往往需要对患者的生物样本进行检测，在检测过程中可能会产生两类错误：（1）假阴性;（2）假阳性。对于这两类错误，控制假阴率的重要性远远高于控制假阳率，所以我们将重点放在控制第1类错误上，做显著性假设检验。

三、结论

本文以“概率论与数理统计”课程中的部分知识点为例，阐述了从学生的兴趣点和实际应用两个角度切入课堂教学的实施路径，将数学建模的思想融入课堂教学中。经过两个学期的实际教学试验，结果证明文中方法的效果比较显著。

参考文献

[1]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].4版.北京：高等教育出版社，2008：5-50.

[2]茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，2004：1-54.

[3]陈希孺.概率论与数理统计[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2009：18-82.

[4]姜启源，谢金星，叶俊.数学建模[M].5版.北京：高等教育出版社，2018：20-35.

[5]韩中庚.数学建模方法及其应用[M].北京：高等教育出版社，2017：33-60.