以一般观念为引领推进初高中数学教育一体化

摘    要：打通初高中数学教学内容和思想方法的衔接，进行初高中数学教育一体化实践研究，对渐进式地发展学生数学核心素养具有重要意义。教师需要分析初高中数学教育一体化的内涵和内容及其内容的统整逻辑，以一般观念为引领设计并实施教学。在设计时，教师需要关注“内容关联类比，提取一般观念”“问题链铺路，驱动一般观念”两个要点，在实施时，教师需要关注“问题设计，促进一般观念具象化”“强化反思，促进一般观念自然生长”两个要点，从而使一般观念得到反复理解的机会，并且能在新的情境中被激活与应用，助力初高中数学教育一体化的不断推进。

关键词：一般观念；初高中数学教育一体化；教学设计

人教A版普通高中教科书《数学》常常会涉及初中内容，如“在初中，我们已学过一次函数与方程、不等式，还学过二次函数与一元二次方程，知道方程（组）与函数之间具有内在联系，可以用函数的观点把它们统一起来”“在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具”等。但在讲述这些内容时，教师提出“如何求解一元一次不等式，你能举例说明吗”“函数的研究套路是怎么样的”“对于几何图形的研究一般经历怎么样的过程”等学生“理应会的”问题，学生却往往没有多少记忆，这就导致教学内容衔接不上、思维逻辑不连贯。不管学生是否真的是因时间长而忘记了这些内容，但能反映出学生在初中阶段对这些隐性的研究思想方法层面的内容体会得不够深刻。因此，打通初高中数学教学内容和思想方法的衔接，进行初高中数学教育一体化实践研究，对渐进式地发展学生数学核心素养具有重要意义。

一、初高中数学教育一体化的内涵和内容

初高中数学教育一体化是指在遵循各年龄段学生认知特征和心理发展特点的基础上，将初高中多个原来相互独立又内涵关联的数学内容，在一体化培养的思想引导下，逐步整合成一个知识结构统一、思想方法系统、研究方法一致、思维逻辑连贯的整体，并在数学课堂中实施“整体”教学，使各个学段学生的数学核心素养相互串联贯通，最终实现数学核心素养的渐进式培育。初高中数学教育一体化需要坚持“全程贯穿”与“学段差异”相结合，使数学学习内容衔接有序、螺旋上升，数学思想方法一以贯之、循序渐进，进而使学生的数学知识结构和数学方法体系随着年龄的增长而不断完善。

考虑到初高中数学内容在知识层面和数学思想方法层面的联系性，当前对初高中数学教育一体化的研究主要形成两个“一体化”内容。一是知识结构一体化。如：数学对象的学习遵循“背景—概念—要素—表示—分类—关系—运算—性质—应用”的基本路径；几何图形性质主要指图形的形状特征、大小度量、构成要素相互关系与位置关系等，这些内容同时也是知识的结构。二是思想方法一体化。如：等式或不等式的性质指运算中的不变性或规律性，通过运算来研究其性质；几何原理的学习主要经历“直观感知、操作确认、思辨论证、实践应用”等环节，这是研究几何原理的主要思想方法；函数思想统领方程、不等式，这是一元一次及一元二次不等式解法的由来。因初高中学生认知程度的不同，各环节的教学侧重点有所不同，但研究思路是不变的且随学段而螺旋上升。教师应从以上两个方面重新审视并挖掘初高中教材内容的内涵及关联性，以初高中具有密切联系的内容板块为载体（如函数、几何图形的学习等），将内容及其蕴含的思想方法进行深度解析和有机整合，通过一体化的课堂教学进行连续渗透，让学生不断感受内容上的关联及方法上的共性。

二、初高中数学教育一体化内容的统整逻辑

如何统摄和组织上述知识结构、思想方法的一体化内容，成为初高中数学教育一体化首先要解决的难题。一体化的基础是关联，而数学知识、思想方法背后所蕴含的“内在关联性”归根结底就是一般观念，它是统整上述内容的逻辑依据。

一般观念是数学大概念的一种表现形式，它是对内容及其反映的数学思想方法的进一步提炼和概括，是对数学对象的定义方式、几何性质指什么、代数性质指什么、函数性质指什么、概率性质指什么等问题的一般性回答，是研究数学对象的方法论，对学生学会用数学的方式对事物进行观察、思考、分析以及发现和提出数学问题等都具有指路明灯的作用［1］。一般观念是对事物的性质、特征以及事物间的内在关系及规律的高度概括，具备抽象性、概括性、统摄性和广泛迁移价值。

根据所处位置，一般观念可以分为课程、单元、课时一般观念，而根据教学功能的不同，这些不同层级的一般观念还可以细分为以下几种：一是指向内容是什么的一般观念，如“函数的性质是指变化中的不变性或规律性”等；二是指向内容怎么学的一般观念，如“从特殊到一般再回到特殊是研究数学对象的常用方法”“通过运算研究数列问题”等；三是指向内容所蕴含的数学基本思想方法的一般观念，如“同一事物的不同形式之间一定存在内在联系，可以相互转化”“定义一种运算，就要研究相应的运算律”“研究随机问题的重要思想是指将一个随机变量表示成一个主要的确定性的量与一个次要的随机量之和，只要将次要的随机量控制在一定的范围之内，那么随机问题就可以通过研究确定性问题得到理想的结果”等。由此可见，一般观念具有数学基本思想和具体研究策略双重属性，能将离散的知识结构化、内隐的方法系统化，能统领教学内容的组织，引领课堂教学的有序展开。

一般观念可以从课标要求、教材分析、核心素养、专家思维、概念派生、学习重难点等角度提炼。为准确提炼单元中各层级、各类型的一般观念，教师既要深刻研读课标、深度理解教材、深谙教学之道，又要以学生为本，并立足教学经验、结合具体案例进行提炼。也就是说，一般观念是综合多条路径分析后得出的结果。如《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出“数学运算”核心素养主要包括理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果，这是学生进行运算主要经历的思维过程，也是数学基本思想方法的一般观念。对几何图形性质的研究一般经历直观感知、操作确认、推理论证、实践应用等过程，这是从专家思维中提炼出的内容怎么学的一般观念。在几何图形性质的分析中我们能够发现，教材主要是在研究几何图形构成要素间的相互关系，可提炼出“几何对象要素间的关系就是性质”即内容是什么的一般观念。一般观念提炼的重点在于教师对一般观念内涵的理解，实践过程中的难点在于将一般观念具象化并渗透进课堂教学，使之真正发挥引领学生思维的作用。

三、一般观念引领下的初高中数学教育一体化设计与实施

一般观念引领下的初高中数学教育一体化设计与实施，关键在于一般观念的提取和驱动，旨在通过将一般观念融于具有内在关联性的教学内容当中，使一般观念得到反复理解的机会，并且能在新的情境中被激活与应用，使学生感受到一般观念在问题解决过程中的思维引领作用。下面以“从‘圆的性质’到‘诱导公式’”的教学为例具体阐述。

（一）设计要点

在以一般观念为引领设计初高中数学教育一体化教学时需要关注以下要点。

1.内容关联类比，提取一般观念

圆的性质包含对称性（轴对称性和旋转对称性），弧、弦、圆心角之间的关系，同弧上的圆周角和圆心角之间的关系，点、直线和圆的位置关系，正多边形与圆的关系等。从教学内容上可知，圆的许多性质是通过与圆有关的线段（如直径、弦等）和角（如圆心角、圆周角等）以及几何要素（如点、线、多边形等）与圆的位置关系来体现的，而诱导公式、三角恒等变换是单位圆特殊对称性、旋转对称性的代数表示，如诱导公式的学习是通过观察单位圆上不同角的终边间的对称关系，得出对称点的坐标间的关系，而用三角函数表示单位圆上点的坐标，就可将这些对称性表示为三角函数之间的关系，即可得到诱导公式。通过对内容的分析与类比可知，诱导公式是圆的性质的体现和延续。根据这种内容上的关联性，可以提炼出内容是什么的一般观念——“几何图形性质主要指图形的形状特征、大小度量、构成要素相互关系与位置关系”“诱导公式是圆的几何性质（主要是对称性）的解析表示”。

从研究方法上来看：初中阶段对几何图形的研究强调从几何角度观察、猜想结论，再用几何方法证明结论，如在研究垂径定理时，通过圆的轴对称性引导学生发现并运用几何法证明结论，让学生经历从图形变化中发现和提出问题、从几何角度分析和解决问题的过程；高中阶段强调通过几何直观转化为其代数表示，进而通过几何（代数）方法证明结论，如在推理诱导公式时，先从形的角度研究圆的对称性（假设任意角[α]的终边与单位圆的交点为[P1]，点[P1]关于圆心或特殊直线的对称点为[Q]，根据单位圆上这两个点的对称性可以写出以[OQ]为终边的角与角[α]的关系），再从数的角度建立对称点坐标之间的关系，最后用三角函数表示，即可得出诱导公式。由此可见，诱导公式的本质就是圆的对称性的代数表示，而对[π+α]，[π/2+α]，还可以从旋转对称的角度认知它们，这样就与初中所学“弧、弦、圆心角之间的关系是圆的旋转对称性的具体表现”及后续“两角差的余弦公式”的研究本质相一致了。通过对研究方法的分析与类比可知，它们是一脉相承且螺旋上升的，诱导公式的研究方法与圆的性质本质上是相通的，可以提炼出内容怎么学以及基本思想方法的一般观念——“研究几何图形的性质可由形到数（通过观察画出的图形，发现几何图形构成要素间的关系，得到图形的一些性质，再通过代数或者几何推理加以验证）”“利用单位圆研究诱导公式”“由特殊到一般是研究数学对象的常用方法”。

2.问题链铺路，驱动一般观念

问题链是根据教学内容及所蕴含的思维脉络，立足学生的认知水平而设计的具有系统性、层次性、结构化的问题序列。问题链具备组织系统、问问相扣、思维连贯一致等特征，它由横向的主干问题及纵向的一系列追问组成，主干问题是驱动数学知识发生、发展过程中的核心问题，追问是遵循学生认知过程、联结主干问题间的思维跨度、指引学生深入思考的重要问题［2］。由此可见，问题链能为一般观念提供脉络化的探索路径，驱动其逐步渗透进教学活动。

设计问题链时，要以从整体到局部的结构化思想为指导，以一般观念为引领，融合学习任务及其所蕴含的思维主线设置主干问题，搭建问题链的整体框架，建构思维层次，然后细化局部，设计追问，延展思维深度。问题的设计应当遵循适切性、联系性、层次性等原则：适切性指问题的设计既要契合知识发生发展过程的合理性，又要契合学生认知过程的合理性；联系性指问题链中的主干问题间具备知识（或思想方法）的横向关联，主干问题与追问间具备思维的纵向深入；层次性指问题的层次由简单到复杂逐步递进，促使学生有序思考，并有助于学生体验由具体到抽象、由低向高进阶的思维认知过程。

（二）实施要点

在以一般观念为引领实施初高中数学教育一体化教学时，需要以内容是什么的一般观念为统领安排教学内容及课时，并以内容怎么学及基本思想方法类的一般观念为思维引领，梳理教学思路，设计研究方法与问题链，开展教学活动。具体实施过程中还应注意以下两个关键点，以提高一般观念在课堂渗透过程中的有效性。

1.问题设计，促进一般观念具象化

一般观念高度抽象，其在具体问题中的思维引导作用并不是显而易见的，因此需要通过问题的设计给出一般观念的明确提示，并将一般观念融于有逻辑、有结构、有层次的问题链中，使得“只可意会，不可言传”的一般观念具象化，让学生更容易直观感知一般观念及内隐化的数学基本思想方法。圆的性质是在学习了直线图形有关性质之后研究的一种特殊曲线图形的性质，研究内容继续沿着“定义—性质—关系—应用”而展开，研究思路的次序是画图、实验、归纳、猜想、证明，研究方法是由特殊到一般。基于上述分析，问题的设计应该在研究什么、怎么研究等观念性问题上给出明确的提示，如“类比直线的研究过程，对于圆这个新的几何对象，你觉得该研究它的哪些内容”“回顾直线的研究方法，该如何研究圆的相关问题”等，师生共同回答上述问题，提取出其中的一般观念，并在一般观念的引领下开展问题探究。

2.强化反思，促进一般观念自然生长

一般观念不可能一蹴而就地学会，而是要经历一个由接触到熟悉再到领悟最后到自觉应用的“生长”过程，而强化反思是促进深刻理解一般观念的重要手段，应渗透在教学过程的各个环节当中。反思方法是借助高阶思维与批判性眼光对探究活动的各个要素与环节进行重新审视；反思步骤是运用逆向思维，经历“结果—过程—方法—问题”；反思内容包括问题、研究方法、研究过程及研究结果等。通过对问题的价值性、方法的科学性、过程的合理性、结果的准确性进行诊断和分析，学生在反思的过程中积累了探究活动经验，建构了数学对象的知识结构，掌握了数学对象的研究思想和方法，从而领悟一般观念的内涵，并养成应用一般观念的意识。