核心素养视域下将数学史融入教学的研究

摘    要：数学史是研究数学发展进程及其规律的科学，是学习数学、认识数学的有力工具，将其融入教学，可有效发展学生的核心素养，发挥数学学科的育人价值.具体教学中，教师可基于对教学内容的解析，制订并解析教学目标，诊断教学问题，分析教学支持条件，然后借助数学史设置留有悬念的情境，将数学问题与生活实际联系起来，充分激发学生的探究欲望.在学生进行以数学史带动的探究实践时，教师还要有机融入其他相关数学史料，多角度展示数学文化的魅力，引导学生通过观察、猜想、操作、归纳、运用、迁移等活动，逐渐达成学习的整体性和系统性，促进关键能力和必备品格的发展.

关键词：数学史；核心素养；初中数学

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“《课程标准》”）明确提出数学课程要培养的学生核心素养，其内涵包括会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界，并指出核心素养在初中阶段的主要表现为：抽象能力、运算能力、几何直观、空间观念、推理能力、数据观念、模型观念、应用意识、创新意识.这表明教师应该将注意力集中到核心素养的培育上来.

数学史是研究数学发展进程及其规律的科学，是学习数学、认识数学的有力工具.《课程标准》指出，教师应在教学中关注数学学科发展前沿与数学文化，继承和弘扬中华优秀传统文化.教师应充分考虑初中生的最近发展区，选取适切的历史素材，以问题为主轴，以思维为主攻，以体验为主线，设计教学活动，并自然融入数学史料，使学生感悟不同时代、不同背景下数学文化的魅力［1］，激发学习兴趣，领悟人文精神，拓展思维能力，发展数学素养，从而更好地发挥数学学科的育人价值.下面，笔者以人教版义务教育教科书《数学》八年级下册第十七章第一节《勾股定理》为例，阐述核心素养视域下如何将数学史融入教学.

一、教学内容解析

《勾股定理》一节的主要内容是勾股定理的探究、证明及简单应用.它是学生在已经掌握了直角三角形相关性质的基础上学习的.勾股定理是初中几何最重要的定理之一，它从边的角度刻画了特殊三角形——直角三角形的特征，揭示了直角三角形三边之间的数量关系.它将形与数密切联系起来，在数学的发展中起着非常重要的作用，在现实世界中也有广泛的应用.作为章起始课，它既承担着引导学生学习知识内容的任务，也为学生后续学习勾股定理的逆定理、解直角三角形等知识打下坚实的基础.

对勾股定理进行探究，这节课主要有以下几个步骤：（1）在正方形网格中，发现以等腰直角三角形三边为边长的正方形的面积关系；（2）由此得出等腰直角三角形三边之间的关系；（3）说明特殊情况下结论的成立；（4）再延伸到对一般的直角三角形的说明.这充分体现了由特殊到一般、数形结合的数学思想.而在探究过程中引导学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，又体现了从实验几何到论证几何的过渡，能让学生“知其然、知其所以然、知何由以知其所以然”，即不仅知道是什么，还要明白为什么.如此，通过引导学生亲身参与数学活动，深入体验勾股定理的历史，感受数学文化以及严谨求实的科学精神，教师还可以更好地实现数学课程的思政教育价值．

基于以上分析，笔者确定这节课的教学重点：探究并证明勾股定理.

二、教学目标及解析

根据对教学内容的解析，笔者确定了这节课的教学目标，具体如下.

目标1：理解勾股定理的证明.

目标2：掌握勾股定理的内容.

目标3：能用勾股定理解决直角三角形求边长的问题.

然后，笔者对教学目标进行了解析，具体如下.

达成目标1的标志是：学生能构造图形理解勾股定理的证明方法，发展几何直观、模型观念等核心素养.

达成目标2的标志是：学生能运用数学语言表达勾股定理，发展抽象能力等核心素养.

达成目标3的标志是：学生能运用勾股定理进行简单的计算，已知直角三角形的两边长求出第三边长，发展运算能力、推理能力、模型观念等核心素养.

三、教学问题诊断及教学支持条件

（一）教学问题诊断

学生已经掌握了直角三角形角的关系，积累了通过测量、拼图、折纸来研究几何命题的基本活动经验，但对于直角三角形三边的关系还需要进一步理解.在正方形网格中，学生能够比较容易地发现以等腰直角三角形三边为边长的正方形的面积关系，进而得出等腰直角三角形三边之间的关系，但是要从等腰直角三角形过渡到一般三角形，则需要通过推理才能得到一般结论.在经历“观察—猜想—操作—归纳—验证”等实践活动，从感性认识上升到理性认识的过程中，学生要想出用合理的面积法来计算、验证几何命题还有一定的难度.此外，对于将图形与数量关系相结合这一证明方法，学生还比较陌生，难以有效应用.

基于以上分析，笔者确定这节课的教学难点：勾股定理的探究和证明.

（二）教学支持条件

基于我校软硬件设施，笔者通过大屏幕展示课件内容，并借助几何画板，让学生更直观地学习、更快捷地互动，使学生能顺利猜想出直角三角形三边的关系，并进行一系列的探究活动.

四、教学过程设计

（一）创设情境，引发思考

情境：相传2500年前，古希腊著名的数学家毕达哥拉斯受邀去朋友家做客.这位善于观察的数学家发现朋友家的地是用全等的等腰直角三角形形状的地砖铺成的，黑白相间，非常美观大方.毕达哥拉斯没有停留在欣赏瓷砖的美丽上，而是对地砖上的直角三角形三边的关系作了一个大胆的猜想！同学们，今天咱们也来做一回大师，看看到底能从地板中发现什么吧.

设计意图：毕达哥拉斯定理的发现完全来源于生活，看似充满巧合，实则需要会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界.此处展示数学史而不明示结果，是在设置悬念，以充分激发学生的探究欲望，使其主动积极地去了解数学历史文化，体会数学来源于生活，并初步学会用数学的眼光观察现实世界.

问题1：观察地砖图案（如图1所示，字母a、b、c所在正方形分别为黄色、蓝色、红色），这三个正方形的面积有什么等量关系？

<I：＼2023教学月刊社＼2024年＼2024教学参考＼教学参考2024-1-2内芯＼Image＼image1_1.png>

图1

［学生活动］学生独立观察图形，发现：黄色正方形与蓝色正方形的面积之和等于红色正方形的面积，即S黄+S蓝=S红.

追问：为什么？

预设：黄色正方形与蓝色正方形都是由2个全等的等腰直角三角形组成的，红色正方形是由4个全等的等腰直角三角形组成的.

［师生活动］教师引导学生发现正方形的边长刚好是对应等腰三角形的三边，归纳得出：等腰三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即a2+b2=c2.

设计意图：疑是探索的起点，有疑才有思，思而不解才有问，而问是探索的动力.设计问题串激发学生好奇、探究和主动学习的欲望，引导学生观察图形，分析、思考其中隐含的规律，即由正方形面积关系转化为三角形三边关系，发现对于等腰直角三角形而言，满足两直角边的平方和等于斜边的平方.学生亲历发现、探究结论的过程，可以提高发现问题、提出问题、解决问题的能力，进而学会用数学的眼光观察现实世界.

（二）细心观察，大胆猜想

问题2：等腰直角三角形是特殊的直角三角形，对于一般的直角三角形，三边是否也存在这样的关系呢？

［师生活动］学生独立思考、作答，再全班交流.教师引导学生类比等腰直角三角形的研究方法，利用几何画板测量直角三角形三边的长度，并计算分别以直角三角形三条边为边向外作的三个正方形的面积（如图2所示）.教师操作几何画板，改变直角三角形的三边长度.学生观察数据变化，思考并归纳得出结论：只要这个三角形是直角三角形，正方形A、B的面积之和就都等于正方形C的面积，即a2+b2=c2.再观察直角三角形三边的关系，发现：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.

<I：＼2023教学月刊社＼2024年＼2024教学参考＼教学参考2024-1-2内芯＼Image＼image6.png>[A][B][C][A][B][C][A][B][2.25平方厘米][4平方厘米][6.25平方厘米][6.25平方厘米][1.5厘米][2厘米][2.5厘米]

图2

设计意图：类比等腰直角三角形的研究方法，从特殊到一般，借助几何画板进一步获得验证；引导学生归纳并合理地用数学语言提出猜想，使学生学会用数学语言表达几何问题.

（三）动手操作，验证归纳

问题3：请同学们利用手中全等的直角三角形的纸片，试试看能不能拼出一个正方形，并思考你们拼出来的图形能够证明猜想的正确性吗？

［师生活动］（1）教师拿出4个全等的直角三角形纸片（设直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c），学生动手拼接.（2）学生思考：拼接的图形是不是正方形？如何求大正方形的面积？（3）学生展示拼接的图形，得到两种典型的拼图结果（如图3所示）.师生探讨后得出，图3中，大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个直角三角形的面积，化简得到a2+b2=c2，从而验证猜想：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.这个正确的猜想称为“勾股定理”.

<I：＼2023教学月刊社＼2024年＼2024教学参考＼教学参考2024-1-2内芯＼Image＼image8.png><I：＼2023教学月刊社＼2024年＼2024教学参考＼教学参考2024-1-2内芯＼Image＼image9.png>

（a）                             （b）

图3

设计意图：在学生经历“观察—猜想—操作—归纳—验证”等实践活动的过程中，渗透从特殊到一般的研究问题的方法；通过对猜想的推理证明，使学生经历从实验几何到论证几何的过渡，使推理成为观察、实验的自然延续，同时调动学生思维的积极性，增强学生积极参与数学活动的意识，培养学生的动手实践能力和归纳、概括的能力；渗透从形到数的数学思想，为下节课从数到形探究勾股定理的逆定理作铺垫.

（四）融入史话，提升自信

［教师活动］运用多媒体，介绍“勾、股、弦”的含义并点明主题；介绍我国数学家研究勾股定理的历史.

（1）名字由来

在我国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为 “股”.古代学者借用这个说法，把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.因此这个定理叫勾股定理.

（2）商高定理

我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中.图3-b是我国汉代的赵爽在注释《周髀算经》时给出的，后人称其为“赵爽弦图”.

设计意图：通过对勾股定理相关史料的介绍，引导学生感受数学文化，了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明作出的贡献，感悟我国古代数学家的智慧，增强民族自豪感，提升民族自信心，坚定文化自信.

（五）初步运用，巩固新知

例1：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，求BC的长.

变式练习：把“∠C＝90°”变为“∠A＝90°”，则BC＝            .