融入数学文化的高中数学教学研究*

摘    要：将数学文化融入教学，可激发学生的数学学习兴趣，开阔学生视野，提升学生的数学学科核心素养.教师需要从数学文化融入教学的角度解析教材，设置教学目标，分析学情和教学策略.在具体教学中，教师需要以一般观念为引领，进行结构化整体教学，使教学行为富有文化特色，让学生在公式的探索、推导、应用中感受数学文化熏陶，体悟数学思想方法，提升科学精神和人文素养，进而实现文化育人，发展学生的数学学科核心素养.

关键词：数学文化；教学设计；核心素养

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出“数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展；还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动” ，要求将数学文化融入教学，以激发学生的数学学习兴趣，开阔学生视野，提升学生数学学科核心素养.数学史上，通过运算发现了等差数列前[n]项和公式的多种推导方法，这些方法中蕴含着内在的数学思想和精神，以及数学家的创造性思维过程，这为数学文化融入数列教学设计提供了方向.基于此，笔者以“等差数列的前[n]项和公式”教学设计为例，谈谈如何在教学中渗透数学文化.

一、融入数学文化的教学分析

（一）教材解析

“等差数列的前[n]项和公式”是人教A版普通高中教科书《数学》选择性必修第二册第四章第二节中的内容.

从结构上看：该公式是等差数列的定义、通项公式和有关性质内容的延续，而且是研究等比数列以及较为复杂数列求和问题的基础内容；数列单元中运算是贯穿始终的，通过运算发现数的规律性，并以运算为一般观念，该公式的推导突出了运算这一主线.因此，这节课的内容在引导学生完善数列单元知识结构体系，感受数列和函数的共性和差异，寻求运算方法，体会运算规则，理解知识本质，体会数学的整体性等方面有着非常重要的意义.

从蕴含的数学思想方法看：“首尾配对法”体现了分类讨论及转化与化归的数学思想方法；“倒序相加法”体现了数形结合、特殊到一般和转化与化归的数学思想与方法；我国古代数学专著《九章算术》中记载的“盈不足”问题进行“分组法”求和，也体现了转化与化归的数学思想方法.这些数学思想方法，在后续的数列内容中得到螺旋上升式的重现，体现了数学的整体性.

从育人价值看，数列求和不仅与现实生产生活联系紧密，自古以来就是人们感兴趣的话题，而且其求和过程中的代数变形技巧对人的智力也具有挑战性，因此非常引人入胜.我国古代在等差数列求和方面留下了较多的著作，也记载了不少著名问题，这为数学文化融入教学提供了丰富的素材.将文化融入教学，有助于学生了解知识的发展历程，感悟前人智慧，培养民族自豪感，增强民族自信，提升科学精神和人文素养.因此，这节课在文化育人方面有着不可或缺的作用和价值.

（二）教学目标设置

根据上述内容解析，联系课标相关要求，笔者设置了如下教学目标.

目标1：经历等差数列前[n]项和公式的探索过程，尝试从不同角度推导该公式，体悟求和本质，掌握该公式的结构特征以及它与相应二次函数的关系，能应用该公式解决简单的等差数列求和问题.

目标2：经历“事实—概念—通项公式—性质—前[n]项和公式—应用”等差数列的研究过程，经历“背景—公式推导—体会方法—应用” 等差数列前[n]项和公式的研究过程，并在此过程中体会研究问题的一般思路、过程和方法.

目标3：通过数学文化融入教学，经历由静态的知识形式因素向动态的思想、方法、思维过程等思维创造因素升华的过程，感受数学文化的熏陶，培养创新思维和探索精神，提升人文素养和应用意识，发展理性思维和科学精神.

目标4：在等差数列前[n]项和公式的推导、应用、拓展过程中，体会特殊到一般、分类讨论、转化与化归、函数与方程等数学思想方法，发展数学运算、直观想象、逻辑推理、数学建模等核心素养.

（三）学情分析

从学生已有的认知基础和思维特点来看，学生已经研究过等差数列的定义与性质，具有对特殊数列求和的研究经验，具备了一定的观察、分析、归纳、概括、猜想能力，这些对发现“倒序相加法”的运算特点，最终推导出公式，起到了思路引领的作用.等差数列前[n]项和公式的结论容易得到，但更重要的是“怎样由掌握知识过渡到发展思维”.因此，让学生探求并推导出该公式的过程并在此过程中体验数学思维与思想方法是这节课的重点，理解等差数列求和的本质是这节课的难点.

（四）教学策略分析

采用整体设计，将数学文化融入问题并以问题驱动教学，引导学生在运算中寻找规律，从而深度参与、积极思考、主动探索.在等差数列前[n]项和公式的推导过程中，教师要注重知识的形成过程，引导学生从历史情境中归纳出具体的等差数列求和表述，由特殊到一般，通过分类讨论、数形结合，类比推理获得公式.如此，从“数”的角度进行公式的推导，从“形”的角度对公式进行直观解释，可加深学生对公式的理解.为突破难点，在公式的探索和推导中，教师可引导学生观察代数式的结构特征，利用等差数列的性质，寻找合适的算理、算法，从特殊到一般，将历史与现实有机结合，通过运算寻找“数”的变化中的不变性，揭示其本质.

二、融入数学文化的教学设计实践

数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分.教师应使教学行为富有文化特色，让学生感受数学文化熏陶，体悟数学思想方法，提升科学精神和人文素养，进而实现文化育人，发展学生的数学学科核心素养.

（一）一般观念引领，促进结构化整体教学

数学中的一般观念，是对内容以及其反映的数学思想和方法的进一步提炼和概括，是研究数学对象的方法论［1］.因此，教师需要以一般观念为引领，将隐性的知识显性化，立足方法论引导教学.数列单元以运算为一般观念，通过运算发现和提出问题，得出数列的取值规律.数列是一种特殊的函数，以函数的观点看数列，可体会数学的整体性.而能自觉地运用一般观念指导数学学习与探究活动，则是学生学会学习的标志.

问题1：数列研究的对象是“数”，“数”的研究当然应当聚焦在运算上.我们已经学习了等差数列的定义、通项公式和性质，接下来应该研究等差数列的什么问题？研究方法是什么？

［师生活动］学生类比实数的运算，发现等差数列实际上是对数列中的项施加加法或减法运算而得到的.教师指出，依据学习经验，研究运算也是从加法开始的，引出这节课的课题，然后指出从运算中发现数列项的规律是研究数列问题的基本方法.

设计意图：注重一般观念的引领，从单元整体教学的角度提出问题，通过运算发现等差数列前[n]项和公式，体现了知识的整体性，能培养学生的系统性思维.

问题2：我们知道等差数列通项公式的本质是利用要素[a1]，[d]建立的[an]与序号[n]之间的函数关系.类似的，你认为等差数列前[n]项和公式的本质是什么？

［学生活动］类比等差数列通项公式的表达形式，猜测等差数列前[n]项和公式也是用要素[a1]，[d]建立的[Sn]与序号[n]之间的函数关系.

设计意图：类比等差数列通项公式的表达形式，猜测等差数列前[n]项和公式的表达形式，为问题解决指明思维方向，体现知识的整体性.

（二）利用“首尾配对法”，在公式的探索中渗透数学文化

中华传统数学著作中的问题和古希腊数学家研究的三角形数，都含有等差数列的特殊性质，利用这种性质可以运用“首尾配对法”进行等差数列求和，进而在等差数列前[n]项和公式的探索中展现数学知识生成的文化背景，让学生感受古人智慧，体会其中蕴含的趣味性、文化性和思想性.

问题3：南宋数学家杨辉的著作《续古摘奇算法》中有这样一个问题：“天数一三五七九，地数二四六八十，积五十五.”你会算吗？你知道古人是怎样算的吗？

［师生活动］教师引导学生用数列的观点，把这10个数重新排序为1，2，3，…，10，将其转化为数列求和问题.在学生充分思考的基础上，教师追问：“你打算怎样求得？”“你是怎样想到[1+10=2+9=…=11]这种‘首尾配对’方法求和的？”

设计意图：从中华优秀传统数学文化中选出等差数列求和案例，引导学生用数学的眼光看待问题，从简单的数中寻找其运算的规律性，进而在学习知识的过程中掌握方法、发展思维.同时，这也能提高学生对中华优秀传统数学文化的认识，体悟我国古代算术中的“配对”思想，感受数学家的发现精神.

问题4：古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过三角形数：1，3，6，10，15，…，[n].（展示图案）图案中小石子有[n]层.你能算出从第1层到第[n]层一共用了多少粒小石子吗？

［师生活动］教师引导学生将问题转化为计算[Sn=1+2+3+…+n]，学生类比问题3的解法从“首尾配对”入手探求，需要对[n]的奇偶性分类讨论，最后得到[Sn]都等于[n（n+1）2].教师追问：“无论[n]为奇数还是偶数，[Sn]都指向同一个结果，我们是否可以避开分类讨论求得结果？”教师提出：“类比基本不等式有代数证明和几何解释，该问题还可以怎么研究？”（待学生充分思考讨论后，教师再展示问题5）

设计意图：介绍古希腊毕达哥拉斯学派研究的三角形数，展现数学知识生成的“源头”，营造具有时空感和画面感的场景，调动学生的感性体验和理性体验.将问题由[10]项推广到[n]项，且需要对[n]的奇偶性进行分类讨论，进而提出“如何避免分类讨论”的问题，引发学生深入思考.此过程渗透特殊到一般等数学方法，能发展学生的数学运算、直观想象等核心素养.

（三）利用“倒序相加法”和“分组求和法”，在公式的推导中渗透数学文化

先从“形”上理解“倒序相加法”，再用代数运算去刻画“倒序相加法”，然后设置情境，利用“倒序相加法”推导出等差数列前[n]项和公式，渗透数形结合思想，引导学生感悟古人的创造性思维过程，体验其背后所蕴含的数学思维和精神.最后借助“良马和驽马”问题，利用“分组求和法”，由特殊到一般推导出等差数列前[n]项和公式，让学生感受我国传统数学有着悠久的历史、辉煌的成就和丰富的内容.

问题5：我国著名数学家华罗庚说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”那么，你能基于数与形的内在一致性，以形释数，计算“石子堆”问题吗？

［师生活动］教师引导学生借助梯形面积公式的推导方法，把“石子堆”转化为更为规则的图形，并用信息技术动态展示其过程：画一个与原梯形全等的梯形并倒置，再将其平移后与原梯形相接构成一个平行四边形.此时，让学生探索平行四边形内“小石子”数的规律性.学生充分思考后得到：平行四边形[n]行中每行石子数均为[n+1]，共有[n（n+1）]粒石子，所以“石子堆”共有[n（n+1）2]粒石子.

设计意图：引用华罗庚的话提出问题，引导学生从“形”的角度，研究 “数”的规律性.用信息技术辅助教学，实现“倒序相加法”的可视化，能巩固“从不规则的图形转化为规则图形”这一方法论，并体现数形结合、转化与化归的数学思想方法，帮助学生提升逻辑推理、直观想象等核心素养.

问题6：阿尔·卡克希在其著作《代数之荣耀》中用代数的方法——“倒序相加法”证明了上述“石子堆”问题.你能沿着数学家的足迹从运算的角度，用符号语言来表示问题5的求解过程吗？这种算法的本质是什么？何时考虑用这种方法？

［师生活动］从“形”的角度受到启发，学生想到对Sn=1+2+3+…+（n-1）+n进行代数变形，得到Sn=n+（n-1）+（n-2）+…+2+1，将以上两式对应项相加可得：2Sn=（1+n）+[2+（n-1）]+[3+（n-2）]+…+[（n-1）+2]+（n+1）=n（n+1）所以，[Sn=1+2+3+…+n=n（n+1）2].教师引导学生对以上推导过程进行反思总结，形成共识：“倒序相加法”的本质就是根据数列的结构特征，利用运算律转化为“常数合并”来“消去很多中间项”；遇到能将不同数求和转化为相同数求和这类问题时，可考虑用“倒序相加法”.