“做数学”理念下学科育人的实践探究

摘    要：图形的旋转是义务教育阶段研究的三种基本运动方式之一，其动态变化的特征对学生的直观想象、归纳推理等能力提出了较高要求，但常规教学不能让学生体会前后知识之间的紧密联系、认识知识结构的整体性. 而“做数学”理念强调知识源于生活，鼓励学生通过观察生活现象发现问题、提出问题，并在动手操作的过程中经历新概念或者规律的形成，感悟思维和知识的发生.因此，教师可将数学实验作为教学手段，设计层层递进的问题，引导学生在动手实践中探究旋转的概念和基本性质，使其在自主探索数学知识的同时体会探究数学知识的一般路径，提升关键能力和学科核心素养.

关键词：“做数学”;学科育人;数学实验;图形的旋转

数学具有高度的严谨性、抽象性和逻辑性，这使得初中阶段的学生学习起来困难重重.同时，传统数学教学往往注重演绎而轻视归纳、类比，满足于证明现成的结论，学生很少能够亲身经历数学结论的探索、发现过程，也无法体会数学知识的整体性，这进一步降低了学生学习数学的兴趣.正是基于这样的教学现状，新课程改革对数学教育不断提出更高的目标和要求. 然而，不论是“四基四能”，还是数学核心素养，仅仅依靠教师单向的、讲授式的教学，显然是无法达成的.因此，在适当的数学情境下，“做数学”就成为数学课堂教学的应然选择[1，2].

一、“做数学”理念下“图形的旋转”教学分析

（一）“做数学”的基本概念

“做数学”教学理念起源于美国科学学科实施的“Hands-on”学习计划，我国于20世纪90年代在幼儿园和小学的科学教育中引入，后被引入数学教育[3].“做数学”理念下的数学教学强调知识源于生活，鼓励学生通过观察生活现象发现问题、提出问题.和传统教学相比，“做数学”理念下的教学，不再将教师作为课堂的主体，教师不直接告知问题的答案，而是引导学生自己设计操作、亲身实验，在动手操作的过程中经历新概念或者规律的形成，感悟思维和知识的发生.除了传授数学新知外，“做数学”课堂还注重帮助学生体会数学基本思想，探究解决问题的基本路径，提升数学思维品质.

（二）“图形的旋转”教材分析

“图形的运动”贯穿整个义务教育阶段的数学教学，而初中阶段强调学生能够通过探索来理解平面图形运动的内涵，这也意味着学生需要更加主动、系统地研究图形运动之间的共性和个性问题. 在苏科版义务教育教科书《数学》八年级下册中，“旋转”是继“平移”和“翻折”之后学习的另一种图形的基本运动方式，也是后续学习“中心对称图形”的基础，在知识体系中起着承上启下的作用.旋转的基本概念及对其性质的探索和归纳是这节课的重点和难点.数学课堂不仅要关注数学概念、性质、定理等显性知识，更应重视显性知识背后的学科思维、研究路径和学科价值等默会知识.然而，在传统教学中，教师一般直接讲授图形旋转的概念和性质.这样，学生就很难体会图形的旋转到底是如何发生的，又应该如何去探究、发现图形旋转的性质.这也导致学生无法用运动的眼光去观察生活实际、去分析和解决数学问题.

为了解决这个“教与学”的矛盾，笔者从“做数学”理念出发，引导学生动手操作，以直观地感受旋转前后图形所对应的基本元素在形状、大小和位置关系上的不变性，体会图形旋转基本概念和性质的生成过程，进而归纳研究图形运动的一般方法.学生通过自己的亲身体验来发现问题和解决问题，更能提升数学核心素养.

（三）设计理念

1.以生活实际为源，抽象数学新知

任何知识都离不开生活，笔者从学生生活实际出发，从具体到抽象，从感性到理性，循序渐进地引导学生认识自然界和生活中的运动，并从中抽象出旋转模型，然后尝试归纳旋转的基本概念，探索其性质.

2.以学生操作为主，体会知识生成

对旋转基本概念和性质的探究是这节课的核心环节.笔者让学生操作系着砝码的细绳以归纳旋转的概念和基本要素，操作半透明的硫酸纸以探索旋转的基本性质.整个课堂紧扣学生的主体地位，以探究式教学为主，引导学生在“观察—操作—交流—归纳—应用”的实践过程中主动探索、合作交流，在“做”的过程中充分体会新知的生成过程.

3.以整体理解为引，架构知识脉络

笛卡尔指出：“要从错综复杂的事物中区别出最简单事物，然后进行有秩序的研究.这就要求我们在那些已经通过演绎得到真理的推理过程中，观察哪一个事物是最简单项，以及观察这个项与其他项之间关系的远近，或者相等.”[4]图形的旋转是三种基本运动方式之一，那么在研究旋转时就需要认识到平移、翻折、旋转之间的整体联系;同时作为“中心对称图形”的章首课，整个课堂不应止于下位知识的探索，而是要帮助学生明确课堂研究的目标是什么，又是如何去研究的，即帮助学生明确图形的运动要研究的是图形的“形状、大小和位置”，要研究的是运动中的“变中不变”，从而真正提升学生发现问题、解决问题的能力.

二、“做数学”理念下“图形的旋转”教学设计

环节一：情境引入，梳理脉络

问题1：法国著名哲学家伏尔泰有过这样一句名言“生命在于运动”，正是因为各种运动，我们的生活才充满生机，你能发现下列生活场景中的运动方式吗？

【设计意图】社会、数学知识和学生对数学课程发展的影响不是孤立的[5]，“做数学”理念下的教学从生活经验出发，鼓励学生从生活实际中发现问题.该问题通过生活场景唤醒学生对图形运动的认识，引导其梳理几种运动方式的特征。此外，格言引入式开场白还能够活跃课堂氛围，激发学生的学习兴趣.

问题2：请说说我们之前是如何研究图形的平移和翻折的？

【设计意图】平移、翻折和旋转是义务教育阶段研究的三种基本运动方式，三种运动方式的研究路径也具有一致性. 该问题从整体建构理念出发，引导学生回忆平移和翻折的相关知识，梳理其研究路径.在已有学习经验的铺垫下，学生探索图形的旋转就“有路可循”.同时，这也能让学生初步感悟图形运动研究的目标是图形的“形状、大小和位置”的“变中不变”，进而培养学生合理联想、类比推理等能力.

环节二：探索新知，形成概念

问题3：同学们，生活中有不少旋转现象，你能准确说出旋转的基本概念吗？

问题4：让我们动手操作来探索旋转的概念（用细绳和砝码），同时请思考，旋转需要研究哪些基本要素？

【设计意图】“做数学”理念下，教师要引导学生应用材料和工具，设计实验操作、实验、实践等活动，让学生能够通过具身体验来获得数学概念和性质[6]. 旋转的基本概念和三要素是这节课要研究的重点，也是研究旋转的起点.学生已经初步知晓了什么样的生活现象是旋转，却不能给出旋转的数学定义，不论是课件上的图片还是精美的动画都无法让学生直观、准确地感受到旋转过程的动态变化，因此也无法帮助学生抽象出旋转的数学模型.该环节紧扣学生的具身体验，通过细绳和砝码设计了实验操作，让学生上台演示旋转过程.在操作的过程中，教师再引导学生观察并思考：“拿住细绳一端的手是否能够改变位置？旋转过程中细绳的长度是否发生改变？砝码向哪个方向旋转？砝码旋转的角度是什么？”在观察运动的过程中，学生归纳出旋转的基本概念，同时明确旋转需要研究的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度.值得注意的是，细绳也代表了旋转中心与对应点的连线，其长度不变也代表了旋转中心与对应点的连线长度不发生改变，这也为旋转性质的探究埋下伏笔.

环节三：实践操作，探索性质

问题5：我们已经知道了旋转的概念，下面我们要研究什么？我们又该如何研究呢？

【设计意图】“做数学”理念强调学生学习的主体性和教学过程的交互性. 旋转性质的探究是这节课的核心内容，这个环节不是直接告知学生旋转的性质，而是引导学生知晓研究目的、明确研究方法.研究目的是非常明确的，即旋转的性质.对于研究方法，问题4中砝码的旋转恰好给出了一个范例.我们可以将砝码抽象成一个点，从点的旋转开始研究，再研究线段和三角形的旋转，从特殊到一般，从局部到整体，进而归纳出图形旋转的一般性质. 图形旋转性质的研究路径详见图1.

问题6：请同学们动手操作（旋转硫酸纸），在操作的过程中探索点的旋转有什么性质？

【设计意图】数学问题的研究应当是有序的，须由浅入深，沿着研究路径逐步探索复杂问题的解决方法.该环节从点的旋转入手，拾阶而上再研究复杂图形的旋转.通过旋转硫酸纸，学生能够观察到点是如何旋转的，这就解决了“为什么要连接旋转中心与对应点”这个朴素又关键的问题.据此，学生能直观地发现点的旋转的基本性质，即对应点到旋转中心的距离相等.对点的旋转进行探索能够帮助学生明确探究的目标，即在旋转这个动态变化的过程中有哪些元素是不变的，继而对下阶段探究线段和三角形的旋转产生类比、联想和深化，明确研究旋转性质的一般方法.

问题7：你会探究线段旋转的性质吗？请按照点的旋转的研究方法继续探究.

追问：和点的旋转不同，线段的旋转要注意什么呢？

【设计意图】基于点的旋转的研究经验，线段的旋转性质的探究路线也逐渐明晰.和点的旋转有所区别的是，在线段的旋转中，旋转中心位置具有不确定性，即在线段上和在线段外，这也是在探究过程中需要处理好的问题生成与问题深化之间的关系.在实际操作中，学生从点的旋转角度延伸能够自然联想到的是图2-1中旋转中心在线段端点处的情况.这种情况下能够得到如下发现：AB=AB′，且∠BAB′即为旋转角.这也是大部分学生得到的结果. 此时应进行追问：旋转中心的位置是否具有不确定性？在图2-2中不难有如下发现：AB=A′B′，OA=OA′，OB=OB′，∠AOA′=∠BOB′.在图2-3中可以有如下发现：AB=A′B′，OA=OA′，OB=OB′，∠AOA′=∠BOB′.

问题8：相信同学们已经知道如何研究三角形的旋转了，请大家尝试动手操作.

追问：对于更复杂的图形的旋转，你要如何探究？

【设计意图】系统地研究了点与线段的旋转后，三角形旋转的探究路线也跃然纸上，这是从局部到整体的迁移.有了线段旋转的研究基础，学生在旋转硫酸纸的过程中就会很自然地对旋转中心位置进行分类，分别是在三角形边上（如图3-1）、三角形内部（如图3-2）和三角形外部（如图3-3）.学生在认识到旋转是刚体变换的同时也知道如何去探究旋转的性质，即需要连接旋转中心和对应点，将目光集中于旋转角的相等、对应点到旋转中心连线的长度相等，去探究“变中不变”.对于更复杂图形的旋转，探究目标和研究路径也已然明确.由此，学生不仅习得了性质，更获得了数学研究的方法，提升了解决问题的能力.

问题9：请同学们归纳图形旋转的性质.

【设计意图】“做数学”理念强调学生获得认知的主体性，在性质的归纳环节，教师要引导学生从实验操作的结果中归纳、总结出旋转的性质. 在学生探究了点、线段和三角形的旋转之后，教师需引导学生归纳总结三者的共性，即旋转前后图形全等、对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 值得注意的是，在归纳过程中教师需要帮助学生明确旋转的整体性，即图形上的每一个点均随图形的旋转而旋转.

环节四：巧用性质，旋转作图

问题10：你能画出点A绕点O顺时针旋转90°后获得的图形吗？线段AB绕点O顺时针旋转90°后的图形呢？三角形ABC绕点O顺时针旋转90°得到的图形呢？更多复杂的图形呢？

问题11：如图4（见下页），在正方形ABCD中，点E、G分别在BC、AB上，△ABE经过旋转后得到△ADF.

（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转角为多少度？（3）你能找到点G的对应点G′吗？（4）若点M是△ABE内任意一点，你能找到点M的对应点M′吗？

【设计意图】性质的应用与性质的探索类似，还是按照从简单到复杂、从特殊到一般的研究路径.问题10的设置，是为了引导学生思考如何画出复杂图形旋转后得到的图形，即可将复杂图形进行分解，如将三角形的旋转分解成点的旋转，从而确定旋转后得到的图形，这可让学生感受到局部（点、线）与整体（三角形、复杂图形）之间的联系. 问题11的设置，是为了检验学生是否能够识别旋转中心、旋转角，是否能够找到旋转后的对应点，以及是否能够认识到旋转是整体的.