以数学史为载体渗透数学文化

摘    要：数学教学的最终目标是落实核心素养，而数学文化是核心素养成长的基石.HPM视角下的数学教学实践有利于增强学生学习数学的内驱力，使学生在回溯知识产生过程的同时加深对数学的理解，在感受数学文化魅力的同时发展理性思维.在教学中，教师可采用如下策略：利用数学史创设情境，激发学生的学习兴趣;向学生展示数学史，让学生理解所学知识在数学发展史上的地位和作用，促进学生的数学理解;对比数学史，拓宽学生的思维，让学生在一题多解中串联知识，发展数学素养;结合数学史中的小故事进行课堂教学，培养学生的科学精神，实现学科育人.

关键词：HPM;数学史;初中数学;核心素养

1972年，在第二届国际数学教育大会上，数学史与数学教学关系国际研究小组（简称HPM，也常被用来代称数学史与数学教育领域）成立.HPM诞生之后，西方学者对数学史的教育价值进行了更为广泛深入的探讨，英国数学史家福韦尔总结了数学教学中运用数学史的15条理由，如：增加学生的学习动机;改变学生的数学观;有助于学生保持对数学的兴趣;给予数学以人文的一面;有助于解释数学在社会中的作用;介绍概念如何发展，有助于学生对概念的理解;通过古今方法对比，确立现代方法的价值等[1].

作为一门基础性学科，初中数学对学生的成长有着重要的意义.但现实的数学教学往往重“技术”而轻“文化”.张奠宙等人指出：“数学文化必须走进课堂，在实际数学教学中使得学生在学习数学的过程中真正受到文化感染，产生文化共鸣，体会数学的文化品位和世俗的人情味.”[2]数学史是数学文化的重要组成部分，在数学教学中以数学史为载体渗透数学文化，能发挥学科育人价值，激发学生的学习兴趣，拓展其思维，发展其数学素养.

一、激发学习兴趣，实现乐学善学

兴趣是最好的老师.学生一般都对历史故事非常感兴趣，因此，教师利用数学史创设情境，能调节课堂气氛，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，使课堂生动有活力，实现乐学.此外，从知识到应用有时会比较突兀，这时，采用适合的数学历史故事引入，就能将学生的思维与所学知识自然衔接，助力学生对所学知识的理解与掌握，实现善学.

案例1   浙教版义务教育教科书《数学》（以下简称“浙教版教材”）八年级上册中《三角形全等的判定》的教学目标之一是“理解角平分线的性质定理”.这是三角形全等判定定理的运用.在学完判定定理后直接运用，是一种常见的处理方式.而在HPM视角下，判定定理的理解与运用之后，笔者讲述历史故事.

师：我们中国是文明古国.在非洲北部也有一个文明古国埃及，埃及的几何学起源于尼罗河泛滥后土地的重新分配和测量.有这样一件事：有两个农户分别有甲、乙两块地在尼罗河南岸（图略），两块地与河岸之间有一块淤积地，他们想把这块淤积地给分了，但他们算不出这块淤积地的面积，怎么样都找不到一个让两个人都满意的分法，最后只有去找当地的法官来评判，这名法官对数学很有研究，很快就想出了令两个人都满意的分法.

师：同学们，如果你是法官，你会怎么分？

课堂气氛被点燃，学生积极讨论，动手操作，给出4种分法.在前两种分法中，边界上的点都是中点，但不能保证面积平分;第三种看似平分，但也不能让人信服;第四种采用角平分线，这样分界线上的任意位置到甲、乙边界的距离都是一样的.

师：（对第四种分法学生）你太棒了！你和法官的判决一模一样，两人确实按照法官的方式分了，而且都满意.那么，同学们，角平分线上的点到角两边的距离是真的都相等吗？

笔者以提问引导学生对猜想进行证明，学生在探究、证明的过程中就自然地运用了所学的新知识.

教学建议：教师可在教学新知识点前，先去查阅与这个知识有关的史料，然后采用学生喜欢的形式与课堂有机结合.比如教学“二元一次方程组”时，可讲述“鸡兔同笼”或“康熙皇帝巧解牛马价”等故事，让学生学方程组变得有趣;又如教学“物体位置的确定”时，可制作微课介绍“解析几何之父”笛卡尔梦见蚊蝇的移动，梦醒之后豁然开朗，发明了解析几何.在数学教学的激趣环节融入HPM，能在更宏大更深刻的视野下引领学生走进数学殿堂.

二、掌握概念符号，促进数学理解

数学学习中，学生会接触到许多概念、符号.很多教师不解释这些概念和符号来源于哪里、其发展历史是怎样的，仅从特征去解释教学，或者让学生“死记硬背”.这样学生就不能真正理解这些概念和符号，于是在解决问题的过程中就会出现困难，乃至演变成学习数学的困难.向学生展示数学史，不仅能解释一些概念或符号产生的历史，而且能让学生理解所学知识在数学发展史上的地位和作用，促进学生对整个数学有宏观的认识，帮助学生突破认知障碍，从而理解数学.

案例2   教学有理数的概念时，有学生问：“老师，为什么大多数的质数是奇数，大多数的偶数是合数，唯独2这个质数是偶数？”笔者还未回答，同学们就纷纷发表自己的观点了.

生1：这个是古代数学家们定好的，我们只要记住就行！

生2：这只是凑巧而已，不需要去理解它.

生3：因为2是最小的正偶数，因数只有1和本身，而其他的偶数除了1和本身之外一定还有其他因数，所以只有2这个质数是偶数.

……

学生有疑惑，教师就必须解决.消除疑惑有助于理解数学，学好数学.这是一个绝佳的向学生展示数学史的机会.

师：同学们，你们都发表了自己的想法，但你们的表述还不能解决他对这个问题的疑惑.今天就给大家讲讲质数和合数的由来.在古希腊时期，开始只有整数，而整数都可以用点来计数，而点又可以摆成各种图案，聪明的古希腊数学家发现用整数点可以摆成直线和方形，由此可见古人有多么厉害.这很容易理解：数1不能摆成直线和方形，它只是一个点，所以1既不是质数也不是合数;像2，3，5，7等数字，只能摆成直线，叫作质数;其他的数既能摆成直线又能摆成方形，就叫作合数.

生：哇！原来是这样，这太有趣了，我们对质数和合数又有了进一步的理解.

案例3   在七年级数学中，整数和分数统称为有理数，无限不循环小数叫作无理数，对此学生表示很不理解.

生：老师，难道有理数就是有道理的数？为什么叫有道理的数？

教学中不能让这些疑问留在学生心里，而打开心结则需要借助数学史，来理解有理数这个名词的来源.

师：“有理数”这一概念源自欧几里德的《几何原本》，希腊文是“λογος”，原意是“成比例的数”.英文取其意，以ratio为字根，在字尾加上-nal构成形容词，全名为rational number，直译成汉语就是“可比数”.“无理数”就是“不可比的数”.在中国明朝时，《几何原本》传入中国，明朝数学家徐光启和学者利玛窦翻译《几何原本》时，将这个词译为“理”，这个“理”指的是“比值”.

生：我们中国的翻译没有问题，那为什么会是现在这样呢？

师：听我接着讲，日本在明治维新以前，欧美数学典籍的译本多采用我们中国文言文的译本，日本学者就将我们的翻译直译成了有道理的“理”了，没有“比值”的意思了，后来慢慢地直接用错误的理解翻译成了“有理数”和“无理数”.清朝末期，政府派留学生到日本，又将这两个名词带回中国.一直就这样延续错误，以至于现在中国和日本都采用“有理数”的说法.

生：这叫将错就错啊，但我们理解了什么是“有理数”.

教学建议：在教学中出现一些让学生难以理解的名词时，我们要允许学生质疑，不能让他们死记硬背，而应该去查阅史料，弄清概念产生的历史，将之与课堂有机融合.比如说，勾股定理中的勾和股是什么意思？三角函数为什么叫正弦、余弦（余弦其实是“余角的正弦”的简称）、正切？此外，有些符号也会让学生感觉很奇怪，不符合学生的认知，比如“根号”，让学生经历“[]”的发展历史，他们就能理解根号了.概念是思维的细胞.只有理解概念或符号，才能理解数学，发展数学素养.

三、拓宽思维空间，发展数学素养

数学教学的目标是培养学生的数学思维，发展数学素养.教学中运用素材加强对学生思维的培养，方法的对比与提炼尤为重要.

（一）古今对比，拓宽思维

数学发展到现在，很多方法经过提炼，具有一定的模式和步骤，但有些时候现代的方法学生反而不太容易掌握，这时候我们就需要去思考为什么会这样，是不是可以追本溯源，看看古时候是怎么做的.通过古今对比，学生可以对不同的方法进行比较，从而选择适合自己的方法.此外，通过一题多解也能拓宽学生的思维，不会把学生按固定的方法教“死”.可见，以史为泉，能浇灌学生思维之花.

案例4   HPM视角下的浙教版教材七年级下册中《分式方程》的教学片段.

在引入分式方程的概念之后是分式方程的解法教学，笔者出示例题“解方程：①[x+32x-4=34];②[2x-2-4xx2-4=0]”.旨在通过解题归纳出解分式方程的一般步骤及注意点.解分式方程的关键是通过去分母转化为整式方程来解，这两个方程的区别是：第一个方程有解;第二个方程有增根，是无解的.

学生存在的问题有两个：一个是解分式方程比较复杂，去分母时易漏乘，解不对方程;另一个是分式方程易产生增根，学生会忘记检验，导致出错.

生：老师，解分式方程时经常会不小心出错，怎么办？

师：解分式方程需要按照步骤仔细求解，要明确有哪些步骤，每一步会出现什么样的错误，都要做到心中有数，这样才能保证正确.

生：老师，我会忘记验根的！

师：为了帮助同学们解决这个问题，我再教你们一个解方程的方法，这不是我的原创，是古时候的解法，以第二个方程为例，我来展示一下，大家可以比较一下方法的优劣.

[2（x+2）（x-2）（x+2） -4x（x-2）（x+2） = 0]，

即[-2（x-2）（x+2）（x-2）=0]，也即[-2x+2=0]，这不成立，所以原方程无解.

生：哇，这方法太好了，解分式方程只要掌握了分式的加减运算就可以了，不用担心漏乘，不用担心增根问题.

（二）另类方法，促进思考

一题多解向来都是数学教学的常见形式.一题多解属于发散性思维，教师要鼓励学生尝试一题多解，促进学生多角度思考问题.通过一题多解，学生能够串联知识，发展并提升创新思维能力.HPM视角下的课堂，不只是知识的探究与运用，而是将所学知识与历史相结合，让学生与古人一起探讨.学生经历知识的产生过程后，就会赋予数学知识生机，促成思维能力的发展.

案例5   《三角形的中位线》在浙教版教材中安排在八年级学完“平行四边形的性质与判定”之后.教材这样安排，是因为中位线性质定理的证明需要用平行四边形的性质.但对于学生而言，学完平行四边形之后突然转到三角形的中位线就很突兀，因此，笔者追溯中位线的历史，以HPM视角来设计教学.

情境引入：几何来源于生活中的土地分割，古代巴比伦有四兄弟要平分一块三角形土地，你有哪些分法？

学生有如图1-1，1-2的分法，主要利用了三角形中线的性质，符合学生的认知特点.笔者出示图1-3，剪下四个小三角形，通过叠合法会发现这四个小三角形全等，不难猜想得出[EF//BC]，[EF=12BC]，从而给出中位线的定义.

分析：对性质的证明，学生基本是构造平行四边形，如图1-4，延长[DE]至点[F]，使[EF=DE]，连结[CF]，证得[▱BDFC]，继而证得[DE//BC]，[DE=12BC].证明的方法有很多，这是因为学生刚学过平行四边形，正处于最近发展区.

为了拓展学生思维，笔者介绍历史上的三角形中位线定理的证明方法，其一是根据《几何原本》中的一个命题：“将三角形两腰分割成成比例的线段，则分点连线段平行于三角形的底边.”[3]