“情境—问题—思维”视角下的数学情境设计解析

摘    要：“情境—问题—思维”教学视角，注重以问题情境设计引发认知冲突，以核心问题引领探究活动，倡导通过一般化、特殊化、类比、逆向等思维方式形成问题链，促使学生在实现思维自觉的同时发展理性思维.教师要立足学生的最近发展区，使学生基于认知冲突生成核心问题，然后以情境问题为载体、思维发展为主线，追求情境设计“真、趣、美、简”的和谐统一，引领学生在问题探究中体会数学思想方法的变换之妙、简洁之美、思维之趣，在知识的类比和归纳中发展数学思维.

关键词：“情境—问题—思维”视角；情境设计；初中数学教学

*本文是江苏省教育家型教师创新培育计划专项研究课题“‘双减’背景下初中数学教学提质增效的实践研究”以及徐州市教育科学规划课题“深度学习视域下问题情境教学的实践研究”（课题编号：GH14-21-L495）的阶段性研究成果.

数学教学活动是教师积极引领的“教”的活动，更是学生主动思考的“学”的活动.如何在教学活动中实现学生的主动学习与思考，《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出了三条教学建议：丰富教学方式；重视单元整体教学设计；强化情境设计与问题提出.下面，笔者结合教学实践从“情境—问题—思维”的视角阐述情境设计的基本策略，并简要说明问题的生成与引领、理性思维的发展与培养之道.

一、情境、问题与思维

（一）情境与问题

情境通常指一个人在进行某种活动时所处的社会环境，是人们社会行为产生的具体条件、境地、状态.数学情境指学生参加数学活动、产生数学行为的环境或背景，是能够让学生产生主动思考的智力背景，是使学生主动提出问题、尝试解决问题并形成积极情感体验的信息材料或刺激模式[1].问题是个体面临目标难以达成时产生的心理困境.问题与情境相伴而生，一般认为情境即问题情境，不论是生活问题情境、数学问题情境还是科学问题情境等，其目的都是通过创设情境引发认知冲突，形成数学问题.问题伴随情境而产生，情境为问题而设计.

问题情境有两种区分视角：“情境指向”和“问题指向”.前者关注基于情境产生的一系列问题，后者关注情境引发的心理困境和探究氛围.笔者认为，问题情境指创设与教学目的、内容体系及学生认知结构、认知心理相关联，能引发认知冲突，形成核心问题，促进学生主动思考的学习探究氛围[2].

（二）理性思维

思维是人脑对客观现实概括的、间接的反映，是人脑在表象、概念的基础上进行分析、综合、判断、推理等认识活动的过程，它源于社会实践，体现的是事物的本质与其内部规律性.数学思维是人脑和数学对象交互作用并按照人类一般的思维规律认识数学本质和规律的理性活动[3].

数学最本质的特征是逻辑严密，理性思维是其第一属性.理性思维指具有明确思维方向、充分思维依据，能对所指向的问题进行观察比较、分析综合、抽象概括、反思质疑、批判创新等自觉思维活动的一种思维.它是一种注重自觉学习和主动反思的思维方式，强调经由具体的数学方法和策略的学习转向一般性思维策略的学习.

（三）“情境—问题—思维”教学视角

“情境—问题—思维”教学视角具有以下特征：注重在数学教学活动中通过问题情境设计，引发认知冲突，生成数学问题，发展问题意识；通过对问题的分析与聚焦，形成核心问题，引领后续的探究活动；倡导基于核心问题，通过一般化、特殊化、类比、逆向等思维方式形成问题链，在系列的问题思考中将思维引向深入.它能促进学生的深度思考与反思建构，使其在实现思维自觉的同时发展理性思维.

二、“情境—问题—思维”视角下的情境设计解析

数学的有效学习需要学生的深度思考，而引发学生思考的重要策略是情境的创设和问题的引领.吕传汉教授提出了基于问题意识培养的“科学性、探究性、发展性、趣味性”数学情境创设基本原则；章飞教授提出了数学问题情境创设“现实性、趣味性和数学一致性”的基本策略；李吉林老师提出了“真、情、美、思”“情景交融、境界为上”等情境创设基本要求.上述专家从宏观视角阐述了问题情境创设的基本原则与要求，概括性强、抽象度高.以下，笔者从“情境—问题—思维”视角出发，结合教学案例具体分析数学问题情境设计的前提、目的、内涵与形式.

（一）前提：立足最近发展区，引发认知冲突

最近发展区是指儿童在成人指导下或在有能力的同伴合作中解决问题的潜在发展水平[4].不同学生指向同一知识的最近发展区也有一定的差异.理想的教学应该着眼于大多数学生的最近发展区，准确定位教学最佳区，在兼顾个性发展的同时实现共同提升.数学问题情境设计要根据教学目标、教材内容体系和学生的认知结构、认知心理，提供中等难度的信息材料.当学生用已有的知识方法无法顺利解决信息材料中的问题时，就会产生思维困境和认知矛盾，然后在思维碰撞中形成认知冲突，最终在积极的问题思考中顺利超越其最近发展区而达到下一个发展阶段的水平.如此循环，就可达成“跳一跳摘到桃子”的教学效果.

【案例1】“正切”情境设计

笔者呈现两组图片（详见图1、图2）并提出问题，让学生观看图片并回答，然后梳理整合学生回答情况，形成问题链，启发学生理性思考和有序表达.

问题1：图1中哪个台阶更陡？你是如何判断的？

问题2：比较图2中的两个台阶，你有什么发现？

问题3：你能用哪些不同的量来表示直角三角形斜边“陡”的程度？

问题4：问题3中这些不同的量之间有怎样的关系？你能用学过的知识解释其中的道理吗？

问题5：你能否找到类似的直角三角形中两边的比值与角的对应关系？

案例分析：“正切”是苏科版义务教育教科书《数学》（以下简称“苏科版教材”）九年级下册第七章第一节中的内容.笔者通过生活中的台阶问题引发学生对实际问题的数学思考，利用相似图形知识得出直角三角形的锐角大小与其对边邻边的比值之间存在对应关系.学生通过自主思考一般可以得出台阶“陡”的程度可以从两个层面加以说明：一是台阶的斜边与水平直角边的夹角大小可以说明台阶“陡”的程度，二是台阶的两个直角边长度变化会影响台阶“陡”的程度.教师要在学生自我发展可以达到的基础上明确其最近发展区，抓住教学最佳区，通过系列问题引领学生思维发展：（1）是否可以从“量”的角度精确刻画台阶“陡”的程度（直角三角形中的锐角大小及其对边与邻边的比值）？（2）这两种“量”之间有怎样的关系（通过图形动态演示，从图形变化的角度感知二者的对应关系）？（3）如何解释“直角三角形中的锐角与其对边邻边的比值之间是一一对应关系”（利用相似三角形知识解释）？经过主动思考和知识重构，学生对“正切”的概念形成了意义理解，进而建构基于相似图形和函数知识相融合的认知结构，并为后续学习正弦、余弦作铺垫.

（二）目的：基于认知冲突，生成核心问题

数学是个体思考的产物，如何让学生主动思考，是教师在教学中首先要考虑的问题.而通过情境创设，形成认知冲突，是引发学生思考的诱因，由此生成的系列问题是学生深度思考的载体.认知冲突是已有认知图式与解决新问题所要求的能力之间存在矛盾时的一种知觉状态，这时平衡的知识结构变成了不平衡，当人们利用同化或顺应的方式形成新的平衡的知识结构时，有意义的学习就产生了（详见图3）.数学情境设计的目的，就是让学生在利用已有的知识结构、思维方式解决新问题时产生认知冲突，以此激发学生的学习兴趣和探究热情，使学生形成积极的基于自我提升的内部学习动机.这是数学有效教学的前提.教师要善于利用数学情境引发认知冲突，使学生的思维聚焦于问题情境所蕴含的核心数学问题，以此引领学生思维活动的深度开展.

【案例2】“平方根”情境设计

师：计算两个直角三角形的斜边（详见图4），你有什么发现？

问题1：如果[x12=25]，那么[x1=] _____.你是如何计算的？请你再举出类似的例子.

问题2：如果[x22=2]，那么[x2=]_____.你能确定[x2]的值吗？如果不能，你能计算出它的近似值吗？它的准确值如何表示？请你再举出类似的例子.

问题3：如果[x2=a]，那么[x=]_____.你能确定[a]的取值范围吗？如何表示[x]的值？

问题4：如果[x3=a]，那么[x=]_____.你能确定[a]的取值范围吗？如何表示[x]的值？

案例分析：“平方根”是苏科版教材八年级上册第四章第一课时的内容，它是一种典型的抽象概念，对学生的数感和符号意识发展都起着重要作用.从这一章开始，学生的知识结构就从有理数范畴拓展到了实数范畴.这是从自然数到整数再到有理数之后的又一次重要数系扩充，而每一次数系的扩充都源于实际计算的需要，这节课的情境设计正基于此.学生根据已有的数学知识可求出第一个直角三角形的斜边长，而第二个斜边长的计算会出现问题，用已有的知识方法不能求出结果，形成了认知冲突.这能激发学生的求知欲，使其生成核心问题“如果[x2=2]，那么[x=]_____”引领后续探究.问题探索遵循从“特殊到一般、从已知到未知”的思维发展规律，先结合可以开得尽方的有理数平方根计算过程，明确平方根的计算方法.再以核心问题“如果[x2=2]，那么[x=]_____.”为例，探索不能开得尽方的有理数平方根计算问题，通过分析其“客观存在性”和现有方法的“不可表示性”，感受数系扩充的必要性，通过回顾历史上数学家创造的不同表示方法，体会数学的发展历程.然后通过“如果[x2=a]，那么[x=]_____.”问题的一般化思考，明确平方根的计算原理（利用平方的逆运算进行计算）和一般的表示方法［[a]的平方根为[±a]（[a≥0]）］，顺利实现数系的扩充和运算体系完备化（加减、乘除、乘方与开方）.最后类比平方根的计算原理和表示方法，让学生课后解决立方根的相关内容.

（三）内涵：情境问题是载体，思维发展是主线

数学教育最重要的价值是培养学生根植于内心的数学素养和自觉的数学意识.日本数学教育家米山国藏在《数学的精神、思想和方法》一书中指出：上学期间学习的数学知识，在学生进入社会后由于没有应用机会而很快被忘掉，唯有深深铭刻在头脑中的数学精神、思想和方法能随时随地发挥作用，使学生终身受益.数学是思维的科学，数学课堂是思维发展的舞台.“情境—问题—思维”视角下的数学情境教学，注重在问题的引领下发展学生的数学思维，使其运用数学的思维方式观察、分析、解决现实问题，学会用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维分析现实世界、用数学的语言描述现实世界，并在数学思维发展的同时养成主动学习、主动反思的意识，然后经由具体的数学方法和策略的学习转向一般性思维策略的学习，进而培养理性思维、发展理性精神.因此，数学情境设计不仅要基于认知冲突生成具体的问题，更要在问题生成、思考和解决的过程中发展学生的数学思维和理性精神.

【案例3】“勾股定理”情境设计

笔者利用数学实验学具模型，演示“勾股定理注水法证明”（详见图5），让学生说出自己的发现.

问题1：实验中的三角形是直角三角形吗？

问题2：如果不能确定是直角三角形，你应该如何思考？

问题3：是否所有的直角三角形都具有“两直角边的平方和等于斜边的平方”的性质？钝角三角形和锐角三角形也具有这一性质吗？

问题4：具备这种性质的三角形是否一定是直角三角形？

案例分析：“勾股定理”是苏科版教材八年级上册第三章第一课时的内容，这节课的主要任务是“经历探索勾股定理的过程，发展合情推理能力”，其后的第二课时学习勾股定理的典型证明方法，第三课时学习勾股定理的逆定理.笔者以数学实验学具演示“勾股定理注水证明”的过程（演示时不要说明学具中的三角形是否是直角三角形），让学生观察、思考，说出自己的发现.学生常常将模型中的三角形默认为直角三角形，得到结论“直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方”.笔者及时以问题“它一定是直角三角形吗”引导学生进一步思考，生成这节课具有开放性和生长性的核心问题“哪类三角形两边的平方和等于最长边的平方”，然后借助方格纸画图计算验证.通过画出的诸多图形，学生可以归纳出：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，锐角三角形两边的平方和大于最长边的平方，钝角三角形两边的平方和小于最长边的平方.笔者再以问题“通过画图是否可以说明所有的直角三角形都具备上述性质”引领学生思考问题的一般化证明及其逆向思考（如果一个三角形两边的平方和等于长边的平方，它一定是直角三角形吗？）.如此，借助实验情境，生成数学问题，引发深度思考，通过从特殊到一般的归纳推理，多角度思考问题的分类讨论，执果索因、反向思考的逆向思维等系列思维活动，可在发展学生严谨的数学思维和理性精神的同时实现情境问题对后续学习的统领作用.