数学跨学科学习资源开发的原则和路径

摘 要 跨学科学习是《义务教育数学课程标准（2022年版）》的新要求，在跨学科学习资源开发原则上强调要“蕴含学科本质问题”“导向学生综合素养”“能够丰富学习实践”“能够契合学生实际”“体现课程结构化思想”，在跨学科学习资源开发路径上强调注意“利用跨学科知识表征情境”“多学科融合应用”“从知识交叉处理解学科知识”“从其他学科应用中感悟数学知识”“用数学解决其他学科问题”，自觉地关注实践中可能存在的困境和阻碍。

关 键 词 数学教学 跨学科学习 课程标准 综合素养

引用格式 帅建卓，顾广林，潘小明.数学跨学科学习资源开发的原则和路径[J].教学与管理，2023（04）：37-40.

《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出在初中阶段的“综合与实践”领域，可采用项目式的方式开展跨学科学习，以问题解决为导向，整合数学与其他学科的知识和思想方法，让学生从数学的角度观察与分析、思考与表达、解释与阐释社会生活以及科学技术中遇到的现实问题[1]。数学跨学科学习是以数学学科为核心，融合多门学科解决某一主题问题，打破了传统的学科壁垒，突出了多学科的问题表征。在初中阶段，强调以项目式学习展开跨学科学习，不仅有利于促进学生对知识的理解、建构、整合，开拓视野和思维，基于真实的情境进行数学问题表征，于多学科知识深度融合中解决问题；而且有助于学生开展跨学科的活动交流、方法创新、经验反思，提升跨学科意识和跨学科综合思维，增强运用跨学科知识解决综合问题的能力，获得高阶性的知识与技能，掌握数学核心素养之外的一些必备能力。跨学科学习是对当前初中数学教学提出的一个新要求。本文结合多年的实践经验，就初中数学教学中跨学科学习资源开发原则和路径进行初步探讨。

一、数学跨学科学习资源开发的原则

跨学科学习的关键是问题与问题解决，即从情境中发现真实问题，通过理解、分析、推理、实践等体验和探究活动寻找本质关系，从而破解问题，形成研究成果（如图1）。跨学科资源要体现学科的本质问题（核心概念），问题和问题解决要体现一定的综合性和开放性，需要学生经历学习实践和运用高阶认知策略。

1.蕴含学科本质问题

跨学科学习资源要体现跨学科核心概念，为学生提供深层次的跨学科理解，做到知识、能力与素养兼得。情境要能够抽象或聚合为指向核心概念的本质问题，这样的问题才有研究的价值。本质问题体现多学科的共同本质，需要跨学科才能解决这个本质问题。将本质问题转化为适合学情的、有一定挑战性和创造性的驱动性问题，这样学生才能积极投入，才能自觉运用高阶认知策略和学习实践进行深度探究。

2.导向学生综合素养

跨学科学习是落实“综合与实践”领悟中“综合”的重要学习方式。跨学科资源要将学科知识与学生的生活经验和社会热点问题紧密联系，体现综合运用各学科知识解决问题，提升学生综合素养。这个综合要围绕本质问题突破学科边界，通过核心概念整合跨学科知识，将零散的知识结构化，具有不确定的综合情境问题才具有挑战性和开放性，问题解决的方案或成果才具有多样性和创新性，才能够培养学生综合应用能力，发展综合性思维，提高综合素养。

3.丰富学生学习实践

跨学科学习一般基于真实情境而开展项目化学习。真实情境要提供给学生丰富的实践机会，而且只有经历学习实践才能较好地解决情境问题。比如，学生经历测量、调查、设计和实验探究等探究性、社会性和技术性等实践，交流和发布成果需要学生优化、策划和制作等调控性和审美性实践。跨学科学习需要重视学生的动手实践和思维实践，这样才能体现活动的过程性，提高学生参与活动的兴趣，丰富学生的情感体验。

4.契合学生学习实际

跨学科学习资源开发虽然倡导学生通过合作解决真实、复杂的问题，但必须要充分考虑学生的数学现实。在创设真实问题情境中要考虑学生已有的知识基础和数学活动经验，问题难度太大，超越学生已有数学活动经验，不利于“跳一跳，摘桃子”；问题太复杂，学生即使通过合作也没法有效解决问题，不仅浪费时间、精力，而且影响数学学习的自信心、满意度。跨学科学习的资源开发虽然要考虑非良构的问题，但这种非良构也要以学生的可探究为前提。

5.体现课程结构化思想

跨学科学习资源并非将来自于不同学科的知识进行简单性组合，而是让源于多个学科的知识和方法基于项目化学习活动形成具有连贯性、组织性、多环节的跨学科的课程结构。具体而言，要以课程结构化思想引领跨学科学习的活动设计，既突出情境设计、问题驱动，又强调思维激发、实践探究、创新思考和回顾反思。在具体的课题设计时，关注不同教学环节之间内在的联系和逻辑步骤，使基于数学的跨学科学习包容于环环相扣的学习活动之中。

二、数学跨学科学习资源开发路径

1.利用跨学科知识表征情境

现实生活往往蕴含具有丰富的实践性、跨学科性的真实情境，需要从不同学科视角审视和解决本质问题，发现和提出不同的学科问题，产生不同的学习任务，以使学生通过学习活动解决问题。在协同知识解决问题的思维和做事的过程中，可以培养学生的跨学科综合思维能力，发展学生的核心素养。数学的跨学科学习应该以数学思维解决问题为主，结构如图2。

比如，新型冠状病毒引发的新冠疫情阴霾仍未散去，病毒已经多次变异，给生命带来极大的危害。对此现实情境，我们可以提炼出疫情与生命健康这个本质问题，围绕本质问题从不同学科视角提出跨学科的问题，引导学生开展跨学科项目式学习。疫情与生命健康主题，可以探索怎样正确面对疫情、怎样直观了解和预测疫情拐点等，形成研究报告。立足生命健康教育，探索病毒变异是什么？怎样科学防疫？怎样提高免疫力？学生可以收集相关资料，也可以邀请专业人员讲解，最后以海报的形式展示和交流疫情防控的措施，提高学生生命保护意识。立足思政教育，探索面对疫情怎样做到不传谣不信谣？以演讲会的形式感受全国各地支持疫情重灾区抗疫的团结奉献精神，学习疫情防控中先进人物的事迹，感悟伟大的抗疫精神，这种沉浸式学习能够激发爱国热情，增强社会责任。

基于数学的跨学科学习，应该重点关注数学主题的学习。比如，用统计图表表达新闻报道中的每天确诊人数、无症状感染人数、治愈人数、死亡人数等情况，直观反映和表达信息，学会用数学的眼光观察疫情。对“数”的感知意在培养学生的数感素养，数据采集需要学生自己查找资料，以利于养成调查研究的习惯。从统计图可预测疫情发展趋势，如以确诊人数增长幅度作为判断变化的依据，进一步对数据建模、推理，形成预测结论，并交流分享，这个过程就是在问题解决中发展学生核心素养。疫情初期，口罩成了紧俏商品，可以研究口罩供应问题，通过调查口罩生产效率，从规划的角度提出问题，比如要在最短时间内完成任务，应该如何安排生产等等，可以建立数学模型加以解决。

跨学科学习的一个重要目标就是培养学生的理性精神，让学生在面对具体、真实和复杂的问题情境时，通过必要的合作，学会运用理性的思维方法分析、思考问题，运用具有不同学科特点的方法探究问题，通过实验、观察、调查等方法探寻问题答案，并通过有序的数学活动逐步学会如何更有效地获取数据说明、分析问题，通过集思广议提出具有理智性的问题解决方案。所有这些都离不开教师的指导与参与，跨学科学习资源开发应当倡导组建教师跨学科共同体以更好地实现共同开发，通过合作探索学科之间的深层次联系和深度融合。

2.通过多学科融合发展综合运用能力

现实生活存在需要融合多学科知识才能解决的问题，此类资源可以提高学生综合运用知识解决问题的能力。

如图3，我们观看工人师傅在把货物装进货厢时，为了省力，常常将货物包装箱沿坡面AB推到适当位置后再放进货厢。

这个现象的本质问题是理解轻松平放进货厢，核心概念是物理和体育中的平衡和数学中的运算，再转化为物理中的重心知识和数学中三角函数、解直角三角形和相似等知识。由此产生驱动性问题：（1）推到什么位置？情境中“适当位置”是关键词，需要学生具有体育课程中平衡的经验，具有物理学科的重心知识储备，再理解重心与“平衡”的关系，教学中建议开发学生实验活动的工具，让学生亲身体验和理解重心。也就是在正方体货物推进货厢过程中，只要将货厢推到重力线经过B点的位置，就能轻松平放（如图4）。还可以根据杠杆原理进一步理解其原理，由于F动l动=F阻l阻，此时阻力就是重力，动力就是使货物转动的力，货物绕B点转动时，B是支点，由于重力作用线刚好沿CB落在支点处，所以助力臂l阻=0，根据杠杆原理，只要很小的F动

就能使杠杆转动，就能将货物“轻松”放进货箱。这样就将理论与实践有机结合，提高了知识的应用能力。

（2）能否放进？让学生尝试发现与货厢净高、正方体货物高度和坡度有关，给出其数据，只要最高点E到货厢底部距离EH小于货厢的净高就能放进（如图5），这样就理解了实际问题的数学本质。接下来就是构造直角三角形，用三角函数、相似或中位线知识进行数学推理和运算解决问题。

这个活动涉及体育、数学、物理，具有较强的综合性，能够考查学生多学科知识综合运用的能力，对如何发现生活问题的学科本质也有指导意义，体现跨学科学习的育人价值。

3.从知识交叉处理解学科知识

不同学科存在共性或相互补充的知识点，利用不同学科的知识交叉和方法迁移理解或解决问题，能够深刻认识知识的本质，弥补单学科教学的不足。

比如，物理平面成像与数学“将军饮马”问题本质都是对称。老师讲解后，学生能够理解作对称点，但是怎样想到是困难的，为此，根据物理活动经验，联想到物理上平面成像，找点光源A的像A′（像与物体相对镜面对称），连接像点与B点，与l交点就是入射点P（如图6），这时可以借助几何画板进行验证，发现这时光线路径最短。由此得到启发，只要运用轴对称变换，作出其中一个点的对称点，就能够解决问题，可以任取一点P′进行数学论证（如图7），因此，借助物理等学科知识有助于发现和解决相关问题，并且发现对称的价值，形成对称的观念，问题的背后是对（对称）美的追求，或者说是美的直觉。多学科的交叉融合，能够用跨学科思维理解知识的本质。

有些学科知识需要跨学科融合才能理解其本质。比如，平衡点与最短距离问题。通过找三个定点的平衡点物理实验，发现平衡点的特征，事实上，平衡点是物理力学上的特殊点，也是几何上的特殊点“费马点”，怎样证明其特征？还具有什么性质？怎样作出平衡点（费马点）？需要借助数学知识和方法进行探索和推理，进一步发现相关性质。这种学习既是数学学科内的综合应用，也是跨学科知识应用，这种跨学科融合学习能够理解知识的来龙去脉，学习方式既有实验又有数学推理，更为重要的是通过不同学科互补，可以深刻认识学科知识的本质。

4.从其他学科应用中感悟数学知识

每门学科均有学科特征的重要思想和方法，可以从其他学科应用中抽象数学模型，体验数学方法，培养学生发现问题和解决问题的能力，提高数学问题意识和跨学科应用的综合素养。

比如，运用两臂之长不等的天平称量物重。将物体分别放在左右两个托盘中，如图8，设力臂长为l1、l2，由杠杆原理，得到G物·l1=G砝·l2，

G′砝·l1=G物·l2，两式相乘G物·l1·G物·l2=G砝·l2·

G′砝·l1，得G物=√G砝·G′砝。也就是物体的真实重

量为两次称量结果的几何平均数（积的算术平方根）。学生可以探索算术平均数与几何平均数的大小关系，可以探索几何平均数的模型，还可以让学生收集其它平均数的相关知识，丰富和拓展自己的知识结构。

这是一个物理学科为基础的项目，探索过程中要注意从数学的视角发现问题，提高学生的数学素养，比如，探索过程中运用了“若a=b，c=d，那么ad=bc”的代数式恒等变形，怎么想到运用此变形解决问题，值得学生探索和反思其原理。事实上设定哪些参数将情境中的问题抽象，多个参数能否解决问题，怎样去掉多余的量（参数），需要引导学生利用“ad=bc”消去参数l1、l2，这个抽象过程体现了学生代数思想的运用，体现和感悟参数的应用价值，感悟参数“设而不求”的妙用。这个深度学习充满了分析、推理和创造，有利于感悟和理解数学知识。