基于预测案例的马尔科夫链教学方法研究

摘  要：马尔科夫链由于其对过去、现在、未来状态关系的物理内涵，是实际工程经常运用的数学概念，多用于对未来状态的预测，广泛应用于态势估计、模型构建、趋势预测等方面中。在高校随机过程课程安排中，针对马尔科夫链的教学内容公式化，学生理解较浅，不利于工程实践能力培养。该文重点采用案例教学法，以飞机目标跟踪预测实际工程案例为主线，马尔科夫链物理内涵实现的课程内容为辅线，结合生活中诸多案例讲授本节课程的教学重点及其应用，激发学生对随机过程课程的探索兴趣，锻炼学生自主思考能力。课程强调理论与实践相结合体系，提升学生运用课程内容解决实际问题的能力，并根据马尔科夫链的物理内涵，启发学生保持对未来积极向上、努力拼搏的精神。

关键词：马尔科夫链；随机过程；案例教学法；目标跟踪预测案例；课程思政

中图分类号：G642      文献标志码：A          文章编号：2096-000X（2024）35-0023-06

Abstract： Markov chains， due to their physical implications regarding the relationships between past， present， and future states， are concepts frequently applied in practical engineering， primarily for future predition. They are widely used in situation estimation， model construction， trend forecasting， and other areas. In the course design for stochastic processes at universities， the teaching content on Markov chains is too formulaic for students to develop a deep understanding and hindering the cultivation of engineering practice skills. This paper focuses on the case-based teaching method， using an engineering example of aircraft target tracking and prediction as the main thread， supplemented by cases from daily life， to explain the concept and physical significance of Markov chains. This approach emphasizes the mathematical content and their applications， encouraging students to think and explore engineering problems independently. The course integrates theory with practice to enhance students' ability to solve real-world problems using theoretical content. Additionally， based on the physical implications of Markov chains， students are guided to maintain a positive and proactive outlook on life， striving for success in the future.

Keywords： Markov chain; stochastic process; case-based teaching method; target tracking prediction case; course moral education

随机过程理论作为一门应用数学学科，由于在工程实践中广泛应用，是当前高校必选专业课程之一，具有专业性强、内容抽象深奥、概念知识繁多等特点[1]，在传统“灌输式”教学方式中，教师授课“重讲，轻应用”，导致学生缺失理论与实际应用相联系能力，众多学生反映这门课程教学体验单一、内容深奥难懂等问题[2]，难以实现提升学生数学理论实际应用、概念公理深层次理解的课程教学目标[3]。

马尔科夫链是随机过程理论课程中马尔科夫过程这一章节的基石，既具备马尔科夫过程的物理特性与内涵，形式上相对简单，在课程内容体系架构上，又是马尔科夫过程的基石，学生的有效理解有利于课程循序渐进、由浅入深[4]。同时，马尔科夫过程，包括马尔科夫链，具有基于过去状态对未来状态判定的物理含义[4]，在实际生活、科研工程中对未来状态的预测有着广泛的应用与影响[5-7]，是本门课程理论应用于实际一重大实现，在当前科研环境中依旧基于马尔科夫理论进行相关研究，因此马尔科夫链的学习是学生体会数学知识在生活、工程问题中灵活应用的关键节点，引导学生理解领悟马尔科夫链内容内涵具有较高的教学价值。

在实际教学过程中，课程本身具有强烈的数学色彩，使得普遍教学方法倾向于围绕数学推导进行严谨分析。数学分析环节必不可少，但过于依仗数学分析的传统教学方式下，学生容易对课程内容产生抵触心理，而且不利于锻炼学生自发思考、实际应用的能力，导致教学成效甚微。近年来，为激发学生学习积极性，许多教师将新式教学方法引入课堂，如比照推演法[8-10]、案例法[2-3，10]、思政法[2，10]等，在课程讲授过程中穿插使用，提升了学生对课程的接受程度。针对随机过程数学严谨性与应用性较强的课程，不能降低对数学逻辑推导的比重，同时应该灵活运用多种教学方式，通过让学生从实际工程中发现问题，利用理论知识进行分析，最终回到现实中寻找解决方案。

本文以马尔科夫链课程的教学为研究对象，采用进一步演化的案例教学法，将飞机目标跟踪预测这一复杂工程案例[5-7]贯穿课程主线，结合比照推演和思想政治引导等教学手段，力求在理论与实践结合的基础上深化教学效果。通过穿插比赛、天气等具有实际参照意义的小案例辅助讲解，逐步引导学生在动态思考中深入理解马尔科夫链的核心概念和基础理论，提高其分析和解决现实问题的能力。在教学设计上，教学方式强调从实际问题出发，通过理论框架的逐步渗透，学生不仅能掌握马尔科夫链的数学基础与推演方法，还能应用这些理论工具于复杂的工程场景中进行预测与优化。与此同时，教学过程中融入思政教育，利于帮助学生形成科学的世界观、人生观和价值观，引导他们在知识学习和应用过程中树立积极的社会责任感和职业操守。此种教学模式为高校教师提供了具有创新性和实践性的教学参考，对于提高学生的理论素养和实践能力，具有广泛的借鉴意义。

一  教学内容

（一）  目标跟踪预测案例与马尔科夫链的联系

目标跟踪预测是实际应用马尔科夫链的工程任务之一，是我国维护国家安全、领土完整的重要手段。以飞机目标为例，为及时阻止可疑目标进入我国领空，需要在侦查捕获该目标位置、速度等状态信息时，预测其未来状态，从而进行拦截[9]。这一目标跟踪预测任务就包含三类信息，以目标捕获的时刻为当前时刻，捕获前为过去状态信息，需要预测的是未来状态信息[7]。为保证预测结果尽量准确，一般采用通过提取较多过去状态信息进行趋势、规律分析，提高预测准确率；而实际上由于目标可能存在来源不明的情况，过去状态信息不足，可以通过马尔科夫链这一数学概念，明确“目标未来时刻位置只与当前时刻位置有关，而与过去时刻状态无关”的物理内涵从而解决位置预测的问题。

在本节课程内容全部讲授完毕时，重新回顾目标跟踪预测案例，将马尔科夫链应用到目标运动状态预测中，对未来某时刻目标位置预测关联简化到只与最近一次跟踪所得目标信息有关，降低模型复杂度，构建目标状态模型。最终对比实际轨迹与预测轨迹结果，差异较小，以实际案例阐述了马尔科夫链在预测问题上的应用，类推其他工程应用实际预测问题。

（二）  重难点分析

1  重点内容

1）转移概率的概念：围绕由当前状态去预测未来状态的核心问题，在引入马尔科夫链之后，理解未来状态的预测可以通过马尔科夫链降维，具体是如何进行预测的呢？基于足球比赛结果预测、天气预测案例，理解基本（一步）转移概率，到k步转移概率，k步转移矩阵的概念；明确条件概率在转移概率中应用的内涵，明晰步数与状态对应关系。基本转移概率即为已知最近一次的状态，预测下一次的状态；类推到k步转移概率，即为已知最近一次的状态，预测k次后的状态。这里的“次”就是步数，通常指均匀采样的时刻；状态是随机序列状态空间中的一种可能。而将k步转移概率以状态空间到状态空间的形式排列，即形成高维的k步转移矩阵。

2）切普曼-柯尔莫戈罗夫方程及其推导过程：基于转移概率的概念，基本转移概率与k步转移概率存在步数上的差异。基本转移概率只有一步，忽略步数与条件概率的表达方式相同，获取统计结论较为容易；而需要转移k步时，迭代次数增多，难以获取准确的统计结果。引导学生思考如何获取k步转移概率，增加中间过渡态，推导得出k步转移概率可以将步数分为两组乘积求和的形式，从而得到切普曼-柯尔莫戈罗夫方程。

3）齐次马尔科夫链的概念：在熟悉了马尔科夫链、转移概率、切普曼-柯尔莫戈罗夫方程的数学公式后，引入齐次性的概念，一般情况下转移概率是与当前时刻、状态相关的条件概率，齐次性的加持使之简化为与当前时刻无关的条件概率，具有平稳转移概率的特性。由于转移概率不受初始时刻约束，齐次k步转移概率与齐次k步转移矩阵均可应用切普曼-柯尔莫戈罗夫方程简化为基本转移概率与基本转移矩阵的幂函数形式，指数为步数k。结合天气预测案例，齐次性可以大大简化问题难度，将k步预测降维为一步预测。虽然齐次马尔科夫链具有预测问题简化的能力，但要注意这里的齐次性，即转移概率与时刻无关的前提条件。

2  难点内容

马尔科夫链的概念是由目标跟踪预测工程实例引出的，对于不熟悉马尔科夫性的学生来说，是全新的数学概念，通过目标跟踪预测案例思考如何用目标当前状态科学合理预测目标未来状态的问题，引入概念，明确马尔科夫性是只考虑最近一次结果预测未来结果的特性，并非纯粹无记忆性，也具有无后效性的特征。用数学方式表示过去、现在与未来的对应时刻与状态后，结合条件概率的定义，得出马尔科夫链的数学公式，其物理内涵是在离散的时间序列中，定义离散的状态，未来状态只与现在时刻状态有关，与过去状态无关。

马尔科夫链的数学公式中等式两侧均为转移概率，过去、现在、未来对应到时刻，状态为状态空间中的一项，转移概率是一个时刻到未来一个时刻状态转移的条件概率。为计算时刻相差多个采样数后转移概率，即k步转移概率，分为两次进行转移，推导出切普曼-柯尔莫戈罗夫方程，将k步转移概率分解为两次较低维度转移。引入齐次性后，就可以降为基本转移概率的幂。从数学计算角度说明了对未来状态预测所需的当前状态参量，以及所需的计算方法，作为完整的马尔科夫链课程内容讲述，以问题引入由果溯因，回答如何预测未来状态的问题。

二  关键教学环节设计

（一）  目标跟踪预测案例主线设计

将目标跟踪预测案例作为课程主线，从解决工程问题的角度引入核心课程内容，引导学生思考，激发学生学习兴趣，提升学生工程应用能力，促使学生自发思考探索，达成课程学习最终目标。

主线设计主要体现在两方面：首先由目标跟踪预测案例引入，抛出未来状态预测的解决方法，进入课程教学内容；在课程内容的重难点随着问题逐步解决渐渐明确叙述后，重新审视目标跟踪预测问题，运用课程内容，直接给出解决方案，说明其可行性。这样是以先倒序阐述，后正序说明的方式，梳理目标跟踪预测案例解决思路，便于学生理解。