启发式教学在弹性力学课程中的应用

摘  要：弹性力学是工科专业一门重要的专业基础课，对学习其他固体力学课程起到奠基石的作用。针对弹性力学教学中存在的理论概念抽象、公式推导较多、学生反映枯燥难懂及学习兴趣不高等问题，该文以“圆环或圆筒受均布压力”一节为例，合理优化教学内容，探讨开展启发式教学的思路。具体教学环节为：从生活实例中导入问题，激发学习兴趣；采用引导与提问相结合的方式，由浅入深地建立拉梅问题的求解思路；以讨论的方式帮助学生理解拉梅解答的特例，启发学生独立思考和思维拓展；寻找教学知识与科研实例的契合点，锻炼工程实际应用能力，达到学以致用的目的。结果表明，该教学模式取得显著的教学效果，为高校弹性力学的教学改革提供参考和借鉴。

关键词：弹性力学；启发式教学；圆环或圆筒；拉梅解答；工程实例

中图分类号：G642      文献标志码：A          文章编号：2096-000X（2023）34-0103-05

Abstract： Elastic mechanics is an important foundation course for engineering majors， which plays a cornerstone role in learning other solid mechanics. In view of the main problems existing in the elasticity teaching， such as abstract theoretical concepts， more formula derivations， boring and difficult to understand， and low interest in learning， the teaching content was optimized reasonably and the heuristic teaching method was explored by the circular ring or cylinder under uniform pressure in this paper. The teaching process is designed as： Introduce problems from life examples to inspire learning interest; Adopt the combination of guidance and questioning to establish the solution of Lame problem from shallow to deep; Help students understand the special cases of Lame solutions through discussion， and enlighten students to think independently and divergently; Find the convergence point between teaching knowledge and scientific examples， and cultivate the practical application ability of engineering， so as to achieve the purpose of learning to apply. The results show that this new method has achieved remarkable teaching effects， which provides reference for the educational reform of elastic mechanics in colleges and universities.

Keywords： Elastic Mechanics; heuristic teaching method; circular ring or cylinder; Lame solution; engineering projects

弹性力学是工程力学学科中最基础、最重要的一门课程，以理论力学、材料力学、结构力学和高等数学为前期课程，后续课程包括塑性力学、断裂力学、岩石力学、振动理论和有限单元法等，在力学理论体系中具有“承上启下”的作用[1]。弹性力学兼备了数学、科学和工程三重属性，将工程问题转变成严密的数学理论体系，成为数学与广泛工程连接桥梁的一门学科，在土木、水利、机械、交通和航空等工程学科中占有重要的地位[2]。比如，土建工程中，技术人员往往直接利用弹性力学方法作为设计的理论基础；地震学中，根据弹性波在地壳中传播的研究结果，计算震源所在的位置并研究地震波传播的规律。弹性力学课程特点是理论性强、逻辑严谨、直观性差、概念抽象和难理解，并且基本公式推导复杂、求解过程涉及大量的数学偏微分知识[3-4]。学生普遍反映内容枯燥，缺乏兴趣，教学也往往难以实现理想效果。因此，如何激发广大学生的学习兴趣，摆脱复杂繁琐的公式推导所带来的教学困难，使学生加深对弹性力学在工程应用领域中重要性的认识，建立学生易于接受的教学模式是值得探讨和思考的问题。

启发式教学是当今教改中大力提倡的一种教学模式，目的是使学生真正融入课堂，提高学习兴趣和动力，引导学生独立思考，促使学生积极参与教学活动，针对不同专业人才培养方案的实际需求对教学内容取舍与优化，是提高教学质量与效率的重要探索方法之一[5-6]。弹性力学教学应逐步从单一的课堂教学向多种形式的专业能力培养过渡，理论教学紧密结合实践案例，帮助学生深入思考，学以致用[7]。将启发式教学引入弹性力学课堂，打破传统教学中教师“一言堂”、学生被动输入知识的课堂模式，让学生拥有一种“能听懂、可学会、易掌握、擅应用”的上课理念。鉴于此，本文以弹性力学中“圆环或圆筒受均布压力”一节为例，综合多媒体教学手段，采用问题启发、目的启发、图形启发和案例启发等灵活多变的教学策略，探索如何融入启发式教学，增强教学效果。

一  轴对称应力问题——阐释生活现象，问题导入，激发兴趣

“基于问题的学习”是指将学习设置在有意义的问题情境中，让学生自主探究，调动学习的主动性[8-9]。针对弹性力学课程抽象困难，采用问题导向法既提高了学生对知识的理解，又激发学生对力学课程的兴趣。同时还可与生活现象相结合，将课堂知识与学生日常生活相结合，往往令其印象深刻，产生事半功倍的教学效果。

以老鼠打洞为例[10]，生动形象地阐述动物洞穴涉及的力学问题，可将其简化为轴对称力学模型，给出其基本方程、边界条件，求解其应力变化规律，并指出老鼠打洞对于桩基施工等工程实际问题的启示及其潜在的工程应用价值，以提高学生的求知欲和学习主动性。再比如讲授圆环或圆筒问题时，可融入与生活息息相关的实际问题：有水流经过地面下排水管道的时候，为什么路面上的人却毫无察觉？以此来引发学生对本节课的理论思考，掌握弹性力基于问题的建模和解析方法。其实，生活中处处皆学问，引导学生热爱生活，从日常点滴中培养纯粹的科研学习热情。

结合生活现象，引入本节课所需的前置知识，即轴对称应力问题进行简明扼要的回顾，使同学们在后续接受本节课的新知识时，能够迅速与前置知识建立思维关联。关于平面轴对称应力问题的一般性解答的公式说明：①按应力求解建立的平面轴对称应力问题的通解，适用于各种轴对称应力问题。②轴对称应力即绕轴应力对称的条件为物体形状、面力和体力都是绕轴对称的。③平面应力、平面应变两类问题的应力通解相同，只需对E、μ做简单变换，即得平面应变问题的位移通解。基于问题启发，通过阐释生活现象和对前置知识点的回顾，下面将对本节课后续环节的启发式教学设计进行探讨。

二  圆环或圆筒受均布压力问题求解——由浅入深，注重教学思路，适时引导

圆环或圆筒受均布压力问题是弹性力学的经典问题之一，又称拉梅问题。该问题的求解，应着重教学思路的逻辑性和条理性，淡化数学运算，由浅入深、循序渐进地讲解。采用引导与提问相结合的教学方式，逐步带动学生思维；善于设疑，激发学生的探究欲望。

近年来，祖国飞速发展，修路架桥成就非凡，以海底悬浮隧道为例（图1），是否能用弹性力学中圆环或圆筒受均布压力的问题解决该工程结构的受力分析，从而培养学生从实际问题中抽象出力学模型的能力。

（一）  应力通解的伟大

圆环（平面应力问题）和圆筒（平面应变问题）受内外均布压力，属于轴对称应力问题，可以引用轴对称应力问题的通解。显然海底隧道这一工程结构属于平面应力问题，但不管是圆环还是圆筒，我们截取单位长度，横截面都是圆环形，力学模型如图2所示。应力通解表达式如下[1]

。（1）

其实通解都是非常伟大的，只要是这一类问题都可以写成这个形式，可用于求解各种有重要意义的弹性力学具体问题及构造新的通解（比如拉梅解答）。因此，求解平面问题，通解将是最重要的工具[11]。

（二）  列写应力边界条件

基于应力通解，引导学生思考：如何确定具体问题的解答呢？针对圆环或圆筒这类具体的问题，只不过待定系数不同。弹性力学问题实际上是偏微分方程的边值问题，边界条件对确定具体问题的解答起着至关重要的作用。错误的边界条件会导致错误的解答，给工程问题留下隐患。因此，边界条件的识别、书写及正确运用是基本功。从问题的已知条件分析，属于应力边值问题。接下来，我们的任务就是通过列写应力边界条件，求出应力通解中的待定系数。特殊边界采用直接法（或称比较法）列写应力边界条件，那比较法的关键问题是什么？标出一点的应力，与边界上已知的面力作比较。因此，关键是要知道坐标系下一点的应力符号规定，图3直观地展示了极坐标系下的应力符号规定。

强调复习助记口诀，面上应力的正方向是以“正面正向为正，负面负向为正”。跟着老师思路写出本问题的边界条件式中有3个未知量，2个有效方程，如何求解？

（三）  引入位移单值条件

需找补充条件，应力边界条件已用完，看看位移上有没有其他条件？转换思路，从问题本身出发，充分挖掘隐藏的条件：该问题横截面形状是一个环形，有两个连续边界，而且不相交，力学上称为多连体。其有一个限制，就是必须考察位移单值条件。本节也是首次引入位移单值条件。为了更直观地表达，这里举例说明，如图4所示，同一个点M，对应无穷多个坐标。

平面轴对称应力问题的环向位移表达式如下[1]

在位移解答中，式（3）第一项是位移多值项。要使uφ单值，必须有B=0。结合式（2），即得圆环或圆筒受均布压力的拉梅解答（应力）

。（4）

（四）  位移单值条件补充说明

对于多连体问题，位移须满足位移单值条件。大家开动脑筋，这里有什么疑问吗？①多连体需要，那单连体有单值要求吗？②只提了位移单值，那应力、应变呢？③位移单值什么意思？是必要的，还是可有可无的？其实这些问题有着深刻的力学意义：多连体位移单值条件实质上是物体连续性假设的表现形式之一，即位移连续性条件；在连续体上，对于同一点的应力、应变或位移都应为单值。

三类力学响应量，都是一个位置一个值。为什么不讨论呢？其实这和求解方法有关。①按位移求解时，设/求位移未知函数（单值）；由位移求应变（几何方程求导）也为单值；由应变求应力（物理方程-代数方程）也为单值；②按应力求解时，设/求应力未知函数（单值）；由应力求应变（物理方程-代数方程）也为单值；由应变求位移（几何方程积分），常常会出现多值项。

给学生强调一下，按应力求解，也不是所有问题都要考虑位移单值。

三  对拉梅解答的讨论——抽象知识具体化，思维拓展，启发探索