新时期高等数学的教学探究

摘  要：高等数学是高等教育中的一门基础课程，学好高等数学对于后续学生的专业课学习，尤其是对于理工科学生来说显得十分重要。极限的思想是贯穿高等数学的核心思想，同时也是初学高等数学的学生不易掌握的方法之一。文章以数列的极限为例，结合新时期的时代特点，提出了几点教学建议。

关键词：新时期;高等数学;极限;教学方法

中图分类号：G642 文献标志码：A          文章编号：2096-000X（2022）13-0106-04

Abstract： Advanced Mathematics is a basic course in higher education. It is very important to learn advanced mathematics for subsequent students' professional courses， especially for science and engineering students. The idea of limit is the core idea that runs through Advanced Mathematics， and it is also one of the methods that are not easy for beginners of Advanced Mathematics to master. This papertakes "The Limit of Sequence " as an example， combined with the characteristics of the new era， and puts forward several teaching suggestions.

Keywords： new era; Advanced Mathematics; limit; teaching method

高等数学是本科教学中一门非常重要的公共基础课，可以说是学好其他理工类课程的“金钥匙”，因此几乎所有本科生在大一时都下定决心要好好学习高等数学。但数列极限概念的出现无疑成为大多数学生的“拦路虎”，其抽象的数学表述，严密的推理逻辑使很多学生难于理解，更不用说掌握、应用，同时也给一线教师的教学工作带来不少的困惑。但是，极限概念又是微积分学的重要基础，也是解决很多实际问题的必备工具。所以，新时期的高等数学教学改革势在必行。

我们面对的大学生成长在新时代，他们的许多思想和认知也带着浓浓的时代特色，所以我们的教学改革也要“与时俱进”，尤其是高等数学的教学改革更要如此。新时代最好的教学方式应该是苏格拉底心中的“教育不是灌输，而是点燃火焰”。今天的学生都很自我，都有表现欲，被认可的精神追求特别强烈，让学生成为主体，尽量给学生创造“动”的机会，也更符合认知规律。也就是说，以学生为中心，让学生当小先生，教师只要当好引导者，让学生独立思考，把握时机，启发教学，学思结合，点燃学生内心学习的火焰，教会学生学会自主学习，将成为新时代教学改革的着力点。与此同时，信息技术的突飞猛进，随着时代的发展，信息化教学手段日新月异，如：多媒体教学、在线课堂、各种教学平台、慕课等。教师在教学中积极运用现代信息技术对教学活动进行创造性设计，把信息技术和教学的学科特点结合起来，使教学的表现形式更加形象化、多样化、视觉化和互动化，将成为新时代教学的一个特点。因此，熟练地运用这些信息化教学手段，是当今每位教师应具备的基本职业素养。新时代的教学改革就是要思考怎样应用这些信息化新手段调动起学生的兴趣，带领学生走进生动有趣的高等数学课堂，在轻松收获知识的同时也注重能力培养、价值塑造，为祖国培养出不仅致知穷理，更要立德修身，不仅独善其身，更要胸怀天下的新时代好青年。

如何运用新时代教学改革的思维把数列的极限这节课打造成课程形式新颖，学生容易接受的好课，一直以来备受广大教师的关注。下面结合作者的教学经验对数列的极限课程提出几点教学建议。

一、新工科建设中，充分发挥高等数学的基石作用

新工科这一理念从2016年开始逐渐走入公众视野，在短短一年的时间里，在教育部的组织下，各地高校进行深入研讨，形成了“复旦共识”和“天大行动”，各地各高校也积极开展新工科探索实践。新工科从其名字上看，关键在“新”，新工科有两个“新”：一要增加原有工科里没有的新专业;二是以新工科建设推动高等教育改革，提出新的标准和理念。面对新一轮科技革命和产业革命带来的冲击，高等数学的教学已经不能再拘泥于掌握好课本知识这个层面，而是要学以致用，把这些知识真正用到当今的改革创新中，用数学中严密的逻辑思维武装头脑，转变高等数学是“数学鸡肋”的落后观点。只有把高等数学学好，学精，学活，才能让高等数学这块宝石在基础制造业等领域熠熠生辉，进一步实现工业领域的弯道超车，解决目前精密制造业的“卡脖子”问题。

而建设新工科对高等数学的教学既是机遇也是挑战。要想学活高等数学，先得学会其中基本的定义、定理和证明，过去的实践表明，决不能仅仅依靠教师，唯有调动起学生的兴趣，充分发挥他们的主观能动性，方能起到事半功倍的效果。毕达哥拉斯说：“数学支配着宇宙”。哈尔莫斯指出：“数学是一种别具匠心的艺术”。今天的人工智能、大数据、云计算、超导技术、核技术、生物基因技术、激光技术，这些领域的高新科技都和数学有着密不可分的联系。教师可以在课堂上时常举一些这样的例子，帮助学生切实体会到新时代社会的发展离不开数学，从而激发学生学习高等数学的热情。

我校是一所工科院校，而高等数学作为一门必修基础课程是为工科专业服务的。必须明确学好高等数学不是目的，而是学生掌握专业知识和技能的手段，高等数学教学应该服从并服务于工科专业需要，围绕不同工科专业开展教学[1]，根据各专业特点，在日常的教学中因“校”制宜，因材施教。新时期的高等数学教学改革务必贯彻新工科理念，注重培养学生的数学思维、数学素养、数学能力，才能实现高等数学有效推进新工科建设，最终培养出一批批富有创造性的工程精英。

二、紧跟时代步伐，设置“积分打卡”形式的课前预习环节

疫情给我们的生活带来了诸多不便，让我们习以为常的课堂教学不得不转为线上教学，积分打卡式的学习形式便应势而生。在这个特殊时期积分打卡的形式既新颖又具有挑战性，它的魅力在于能够充分调动学生学习的积极性，当积分打卡成为一种习惯，读书、学习也就变得容易多了。

我们可以在课前预习环节采取积分打卡这种形式，题目形式采取简单的选择题和填空题，题目内容可以是本节课用到的旧知识的有效回顾，也可以是对新知识的大致了解。所获得的积分可以和学生的平时成绩挂钩，以提高学生完成的动力。此环节的发布可以借助学习通等软件，一方面学生通过手机就可以完成，另一方面此类平台也方便教师对预习完成的情况进行统计。例如：（1）回忆数列的定义？还能从其他的角度给出数列的定义吗？（2）写出下列数列的通项，并观察其趋势：a. 数列2，…的通项是___，其趋势是___（趋于常数;远离原点;发生跳跃）;b. 数列2，4，8，…的通项是___，其趋势是___;c. 数列1，-1，1，-1，…的通项是___，其趋势是___。

通过积分打卡可以让教师在课前做到“知己知彼”，从而确定学生在学习活动中的“就近发展区”，就能在备课时针对本班学生的学情“对症下药”，达到预期的教学效果。

三、融入思政元素，让新课引入“未成曲调先有情”

《高等学校课程思政建设指导纲要》中指出：“全面推进课程思政建设，就是要寓价值观引导于知识传授和能力培养之中，帮助学生塑造正确的世界观、人生观、价值观，这是人才培养的应有之义，更是必备内容。[2]”所以，我们要将思政元素这颗盐融入课堂教学中。

具体说来，在数列的极限这节课中，我们可以这样导入新课：《庄子·杂篇·天下》中记载了一句话，“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思是：“一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完。”换言之，我们把木棍记为1，第一天取，第二天取，第三天取，……一直取下去，木棍是永远也取不完的。如果把这些数字标在数轴上会发现，它们会从原点的右边越来越接近于原点，或者说无限接近于0，这里就体现了我们今天要学习的极限思想。早在两千多年的中国书籍中就出现了极限思想，我们不禁要感叹古人的智慧，更要赞美数学的博大精深。

当然，导入新课时，教师还可以借助三国时期的刘徽提出的“割圆术”，通过 “圆内接正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”。刘徽形容他的“割圆术”说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣。”这个例子同样蕴含了极限思想，教师可根据教学实际情况灵活掌握。

在不同课程的课堂教学中有机地融入思政元素，不仅能让价值引导的成分在课程设计和课堂教学中如盐入水[3]，更能让课程引入生动有趣，达到春风化雨、润物无声的育人效果。

四、利用数形结合，让数列极限真正“动起来”

数学家华罗庚说得好“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离”。几何图形的形象直观，便于理解，代数方法的一般性、可操作性强，便于把握，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法。极限的课堂教学中，我们要用好数形结合，借助现在生动、直观的多媒体课件，让数列极限真正动起来。

在课程引入时，截棍问题就可以把每天截取的木棍长度在数轴上表示出来，做成动画，让学生切实看到这个数列的变化趋势，体会到什么叫做“无限趋近”，为随后数列极限概念的引入打下坚实的基础。

学习数列极限的定义后，大部分学生不太理解，这时，可以用数形结合的形式给出数列极限的几何解释，方便学生理解。数列{xn}极限为a的一个几何解释：将常数a及数列x1，x2，…，xn，…在数轴上表示出来，同时在数轴上画出点a的ε领域，即开区间（a-ε，a+ε），如图1所示。因当n>N时，不等式|xn-a|<ε与不等式a-ε<xn<a+ε等价，故当n>N时，所有的点xn都落在（a-ε，a+ε）内，只有有限个（至多只有N个）在此区间外[4-5]。

数形结合抓住了数与形之间的联系，以“形”的直观表达数，以“数”的精确研究形，能不失时机地为学生提供恰当的形象材料，将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，不仅有利于学生顺利的、高效率的学好数学知识，更有利于学生数学学习兴趣的培养、智力的开发、数学活动经验的积累和数学思想方法的渗透，使数学教学收到事半功倍之效。

五、“任性的ε”和“迁就的N”，助力数列极限定义的理解

帮助学生领会数列极限的ε-N时，教师要用好“任性的ε”和“迁就的N”这两个助手：

首先是“任性的ε”，强调的是ε的任意性，定义中的ε是用来衡量数列通项xn与常数a的接近程度的，ε越小，表示xn与a越接近。而正数ε可以任意地小，说明xn与a可以无限接近。但是，一旦给出正数ε，它就被暂时地确定下来了，这样方便N的确定。

其次是“迁就的N”，着重指的是N的相应性，一般来讲，ε越小，N越大，有时候常常把N看成是ε的函数。然而，这并不是说N是由ε所唯一确定。举个例子：对于任意给定的ε，比如当N=200时满足当n>N时有|xn-a|<ε，那么一定有N=201或者更大时此不等式仍然成立，这一点可以借助数列极限的几何意义解释。所以我们更注重N的存在性，而不是它的值的大小。

教师在讲课时，不妨把上面的内容以注释的形式给出，帮助学生抛开现象看本质，更深入地理解数列极限的定义。

六、掌握执果索因，明确数列极限的证明思路

执果索因就是从结论逆行考虑问题，去寻觅结论成立的一些条件（隐含条件、过渡条件等），由欲知确定需知，求需知利用已知，往往会收到柳暗花明又一村的效果。其实，执果索因的方法对于我们并不陌生，小学解应用题的时候，有综合法和分析法，这里讲的执果索因就和其中的分析法类似。