跨越学段：数学课题式教学再探

摘 要：课题式教学要求教师从宏观上把握某个知识模块的整体结构，并将这个整体结构还原成一个逻辑严谨的问题系统，通过解决这个问题系统中的每个问题，最终完成这一知识系统的建构。对于基础教育数学课程中的“直线”内容，可以采用课题式教学，将三个学段的相关内容串联起来形成一个知识系统，从而分成“直线概念”（小学）、“直线公设与平行公理”（初中）、“一次函数与一元一次方程”（初中）、“直线方程与平行向量”（高中）四个子课题，设计一系列问题，形成一个问题系统，来驱动教学。

关键词：课题式教学；跨学段；知识系统；问题驱动；直线

一、概念再认：我们倡导的课题式教学究竟是什么

课题式教学并非新概念。而我们倡导的数学课题式教学与过去很多人认为的不是一个概念。以往的课题式教学大多关注的是教学形式，即以问题为起点，通过任务的设置，促使学生在解决问题的过程中，获得知识、发展能力。它强调三个方面：问题导向、任务驱动、学生主体。我们倡导的数学课题式教学当然也与问题有关，而且把问题视为课堂教学的心脏，但更突出的是问题的有效性以及问题与知识系统的内在关联，这个过程强调的是以问题为内核的探究过程而非形式化的教学过程。

课题式教学应当是一种注重整体性、结构性的教学。它不是孤立地分析某个具体的问题，而是通过一系列具有结构性特征的问题的提出、分析与解决，完成某个知识系统的建构。换言之，课题式教学需要从宏观上把握课程的知识结构（必要时，可以跨越学段来把握），通过知识生成过程的溯源或合情推理，找到促使理论产生的本原性问题与派生性问题，形成一个与知识系统相对应的问题系统——其中的问题充分反映了学科为什么产生以及如何产生的根源。其中的课题（常可以分为多个子课题）正是由一个又一个的关键问题构成的，解决了这些问题便完成了课题的研究，一门理论或理论的某个部分正是在此基础上形成的。由此可见，课题式教学要求教师从宏观上把握某个知识模块的整体结构，并将这个整体结构还原成一个逻辑严谨的问题系统，通过解决这个问题系统中的每个问题（落实到问题驱动的课堂教学），最终完成该知识系统的建构。

我们倡导的数学课题式教学正是在数十年的数学研究与数学教育实践基础上形成的，其本质是将科学研究范式运用于课堂教学，将教学过程当成研究过程，通过问题的提出过程培养学生的直觉能力，通过问题的分析过程培养学生的思辨能力，让知识在解决问题的过程中自然生成。这正是“数学教育是数学的再创造”（弗赖登塔尔语）在操作层面上行之有效的实现过程。

二、案例研究：跨越学段的“直线”课题式教学设计

（一）直线：一个有价值的研究课题

直线不仅是传统欧氏几何中的基本元素，而且是现代数学中向量空间概念的源头，说它是“顶天立地”的数学概念也不为过。直线也是欧氏几何中最抽象的概念之一，它没有宽度；因为向两边无限延伸，所以也没有长度。对于小学生与初中生而言，完成从实体的“直线段”到数学上“直线”的抽象化过程不是一件轻而易举的事。或许正是基于上述缘故，现行基础教育数学课程将直线概念分解到小学、初中和高中三个学段，分别从欧氏几何、一次函数和解析几何中的直线方程三个角度阐述。具体地，一般在四年级介绍直线的基本概念；在七年级介绍“两点确定一条直线”“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”以及直线的简单应用，并在“有理数”部分介绍数轴这个与直线有关的重要概念；在八年级介绍一次函数（包括正比例函数），这是学生最早学习的一类函数；在高二介绍基于笛卡儿坐标系建立的直线方程。

这里不打算讨论“直线”内容分段展开的科学性。实际上，欧氏几何中的直线与解析几何中的直线分属不同的几何体系，分开并无不妥。重要的不是是否需要分开，而是如何让学生清楚它们的内在逻辑关系。

然而，现实的教学中，三种视角下的直线概念缺少内在的逻辑关联。例如，教学“一次函数”时，有教师仅仅通过描点法说明一次函数的图像是直线。与一般函数图像不同的是，直线是欧氏几何中已有定义的概念。如果说一次函数的图像是直线，就有必要让学生明白它的确是传统意义上的直线。仅仅凭观察作出感性的判断不是严格的数学，充其量可以帮助学生完成直觉感知的过程，但距离完成“一次函数的图像是直线”的逻辑论证还很遥远。这种凭感觉下结论的数学很容易让学生形成不思严谨的习惯。这违背了数学教育的初衷。另外，直线方程与一次函数是什么关系？这又是一个语焉不详的问题。事实上，建立直线方程时，不少教师完全抛开了一次函数，甚至没有将一次函数与直线方程做结构上的比较，两者在逻辑上是脱节的。

因此，如何在教学上做到承上启下，将不同学段从不同角度讲授的同一概念在逻辑上进行梳理，形成一个有机整体，是一线教师需要面对的重要问题。下面，我们将针对既定的内容分布，探索如何从跨学段的视角整体把握“直线”模块，完成“直线”的课题式教学。显然，这不是一个教师能够完成的任务，需要各学段的教师在教学过程中注重知识点的纵向逻辑关联，而不是人为地将知识点割裂开来。

（二） 关于“直线”的知识系统分析

首先需要对三种视角下直线问题的本质稍加分析。欧氏几何中的直线是不加定义的直观描述。《几何原本》中是这样描述的：“直线是一条一些点均匀分布在上面的线。”但这个描述非常难懂。一次函数的图像并非关于直线本身的研究，而是直线的应用，即用直线描述“一次函数的图像是什么”；直线的方程则是从代数的角度研究直线。从这个意义上说，一次函数图像的研究与直线方程的研究属于不同的研究领域：前者属于应用研究，后者属于方法研究。简单回顾数学史，圆锥曲线产生于古希腊数学家用平面截圆锥的行为，但是由于缺少合适的工具，圆锥曲线的研究一直止步不前；直到笛卡儿坐标系建立后，代数方法被成功引入几何学，几何学研究在方法论上产生了一场革命，形成了一门完美的几何学——解析几何，使得圆锥曲线问题得到了彻底解决；也正是解析几何的诞生，促使人们进一步研究代数方法在几何上的应用，于是，又有了向量空间理论。通过笛卡儿坐标系建立直线方程，正是欧氏几何中直线问题代数化的典型案例。正是因为直线有了代数表示，才使得与直线有关的很多问题变得异常简单。

进而，将小学、初中、高中三个学段与直线相关的内容串联起来，可以形成一个完整的结构化知识系统：“线段、直线、射线”（小学）→“数轴、直线公设与平行公理”（初中）→“一次函数（正比例函数）、一元一次方程”（初中）→“平行向量、直线方程”（高中）。学生在不同学段的知识积累与能力发展不同，有关直线的知识系统的展开需要循序渐进，包括学习方式上的循序渐进（比如从实验几何到论证几何、从直观的形及其关系到抽象的数及其运算）。更重要的是，通过不同学段特别是中学阶段（有关直线的知识点在多处出现）对相关知识点之间的联系贯通，可以有效地让学生形成对直线概念的系统认知。这正是课题式教学的精髓。

（三） “直线”的课题式教学设计

基于上述关于“直线”的知识系统分析，可以将“直线”课题分成四个子课题，设计一系列问题，形成一个问题系统，来驱动教学。将这些问题解决了，直线的知识系统也就建立起来了。

【子课题1】“直线概念”（小学）

在欧氏几何中，直线的定义是描述性的。但是，如果采用《几何原本》中的描述，恐怕教师都会一头雾水，更别说让小学生理解了。考虑到小学生认知能力的局限，不能完全套用欧氏几何中的定义，而要强调直观、通俗，同时，还要让学生意识到直线概念的重要性。为此，可以设计问题1—问题4来驱动教学。

问题1：如何用卷尺测量两点之间的距离？

问题2：不同的卷尺宽度是不同的，会测出不同的距离吗？

问题3：两点间的距离有限制吗？理论上可以测出多远的距离？激光能射出去多远？

这3个问题与学生的生活十分贴近，也是生活中很重要的一类问题。四年级的学生应该都经历过测量距离之类的事情，至少不会陌生。通过3个问题的引导，学生便可以建立起线段、直线与射线的概念。对直线，可以采用这样的定义方法：从一点出发，向正反两个固定的方向无限延伸的线称为直线。因为学生对方向是比较容易理解的，教师甚至可以通过东西南北等具体的方向帮助学生理解固定方向的含义。

问题4：时间有限吗？过去有多久？未来有多远？

第4个问题具有一定的深度，普通学生或许尚不具备这种抽象能力，很难将时间与直线联系起来，但教师在教学中不妨做一个尝试。

【子课题2】“直线公设与平行公理”（初中）

初中阶段，数轴的概念出现在直线公设与平行公理之前，虽然逻辑上有些不顺畅，但也并非完全不可行，因为学生在小学已经接触过直线概念。对于这一子课题，可以设计问题5—问题10来驱动教学。

问题5：直尺与三角板为什么可以测量长度？

学生一开始可能对这个问题有点莫名所以，教师可以进一步启发：卷尺是如何测量两点之间距离的？学生便不难明白：因为直尺与三角板的边缘是线段，线段上有刻度，所以，通过刻度的读数便可知两点之间的距离，也可以沿着直尺或三角板的边缘画出两点的连线即线段来。

问题6：如何通过温度计了解环境温度？

环境温度可能是零上，也可能是零下，所以温度计上不仅有表示零上的刻度，也有表示零下的刻度。这就引出了正负数的表示问题。

问题7：如何直观地表示过去、现在与未来？

有了问题6，回答问题7自然不会太困难。通过这些问题可以建立起数轴的概念。

问题8：如果用两把卷尺分别去量同一对物体之间的距离，两把卷尺拉直后是什么关系？为什么会这样？

问题9：上述结论具有一般性吗？即过两个点可以画几条直线？

通过对上述实际问题的感知，“两点确定一条直线”的公设也就水到渠成了。

问题10：如果不能直接测量两个物体之间的距离，例如笔直的路边有两个物体，它们与道路相隔同样的距离，但两个物体也许位于水田中，也许中间有障碍物，无法直接测量，那么有什么办法间接测量它们之间的距离？

有了问题中的条件，相信学生凭借经验可以毫不费力地回答问题10，由此可以引入平行公理。如果时间允许的话，可以适当地展开：过直线外一点，一定能且仅能作一条已知直线的平行线吗？数学史上，围绕这个问题出现了两种新的几何。做这种拓展的目的不仅是开拓学生的视野，更重要的是让学生意识到，任何结论的成立都是有前提的，在特定的前提下得到的结论不能随意推广。虽然非欧几何正是因为对平行公理的反思而得到的纯数学理论，并无任何实际背景，然而，黎曼几何（一种非欧几何）最终却成了相对论的数学基础，这是非欧几何的发明者始料不及的。之所以出现如此神奇的故事，是因为数学与自然科学在方法论上是相通的。因而，常常会有这样的现象：一门曾经毫无实际背景的纯数学理论在自然科学与现实中发挥了至关重要的作用。类似的例子比比皆是。例如，圆锥曲线是纯几何的产物，但在光学、天文学、物理学、军事学等领域却随处可见。通过这种拓展，在提高学生学习兴趣的同时，也让学生体会到数学的威力与无穷的潜力。

【子课题3】“一次函数与一元一次方程”（初中）

教材通常先介绍一般函数及其图像的概念，然后给出一次函数的定义，通过描点作图说明一次函数的图像是一条直线，但是不给出证明。之所以不给出证明，或许缘于“相似三角形”内容编排在后面。这里不讨论为什么如此编排，仅限于在这样的编排下如何施教。其实，即使没有相似三角形知识做储备，仍然可以利用平行线的性质及面积法，得到两个具有相同锐角的直角三角形的对应边成比例，进而得到直线的代数表达式。这也为一般相似三角形的判定做好了前期准备。所以对于一次函数，可以从特殊到一般、从形到数再到形、最终关联一元一次方程，设计问题11—问题15来驱动教学。

问题11：给定一条直线，在过该直线的平面内建立直角坐标系，使得坐标原点位于给定直线上，且直线不与x轴或ｙ轴共线。将直线上的点用坐标表示，这些点的坐标应该满足什么等式？