基于中算史料的一类最值问题编制

摘 要：聚焦关于调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数的均值不等式链的应用，利用中国古代数学典籍中的一些勾股测量问题或解直角三角形问题来编制高中数学的一类最值问题，为中华优秀传统文化融入高中数学教学（评价）的实践提供参考。从中获得启示：挖掘数学史料，丰富问题资源；设计问题情境，体现数学应用；立足考查目标，加强知识联系。

关键词：中国古代数学；均值不等式；最值问题；题目命制

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“新课标”）在前言中指出：课程内容有机融入中华优秀传统文化。［1］作为中华优秀传统数学文化重要组成部分的中国古代数学史（简称“中算史”）是一座宝藏，为当下的数学教学提供了丰富的内容素材和思想养料。

无论教学还是评价，问题都是重要载体和工具。近年来，基于中算史料命制的高考数学试题时有出现。如2020年浙江卷命制了一道杨辉的高阶等差数列求和问题，2021年浙江卷命制了一道以赵爽“弦图”为背景的计算题，2021年全国卷命制了一道刘徽的海岛高度测量问题，2022年浙江卷命制了一道以秦九韶“三斜求积”为背景的计算题，2022年全国卷命制了一道以沈括《梦溪笔谈》中的“会圆术”为背景的计算题。这些问题的内容来源主要集中在师生相对熟悉的图形、公式或方法上；编制策略仅为复制式或条件式，较为单一。有些问题作为高考题的适切性还值得商榷，如赵爽“弦图”问题、刘徽海岛问题属于初中数学问题。因此，基于中算史（乃至数学史）的数学问题编制，仍是需要深入研究的课题。

本文聚焦均值不等式的应用，利用中算典籍中的一些勾股测量问题或解直角三角形问题来编制高中数学的一类最值问题，为中华优秀传统文化融入高中数学教学（评价）的实践提供参考。

一、 从基于中算史料证明均值不等式谈起

中国古代数学家用过的图形和思想方法为均值不等式的证明提供了思路启迪［2-3］，其中最典型的例子是刘徽的“勾股容方图”和赵爽的“勾股大方图”。

图1所示是两个“勾股容方图”的组合：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′，BC＝B′C′＝a，AC＝A′C′＝b，正方形DECF和正方形D′E′C′F′分别内接于Rt△ABC和Rt△A′B′C′，斜边AB和A′B′部分重合，且点D和D′重合。由图易得两个内接正方形的边长均为d＝ab/a＋b（即为“勾股容方公式”），进而可得4ab/a＋b2≤ab（记为①），2ab/a＋b≤ab（记为②）。

二、 编制可用不等式G≤A解决的最值问题

均值不等式链中，最为基本或者说常用的是G≤A，即所谓的“基本不等式”。由此，可得“和定积最大”“积定和最小”两个结论。基于中算史料，可以命制许多可用这两个结论解决的最值问题。

首先，南宋数学家杨辉（13世纪）在《续古摘奇算法》中提出命题：“弦之内外，分二勾股，其一勾中容横，其一股中容直，二积之数皆同。”［4］用现代数学语言表述，即：如图5，点E为长方形ABCD的对角线AC上任意一点，过点E分别作BC和AB的平行线，分别交AB、CD于点F、G，分别交AD和BC于点H、I，则长方形FBIE和HEGD的面积相等。这一命题（下文简称“杨辉定理”）可以看作“勾股容方公式”的推广。

基于杨辉定理，让“勾股容方图”中的正方形不动、直角三角形动起来，可命制关于直角三角形面积的最值问题：

问题1 如图6，四边形ABCD为已知的正方形，AB＝BC＝a，点M为BC延长线上任意一点，连结MD并延长，交BA的延长线于点N。过点M作BC的垂线MP，过点N作AB的垂线NP，MP和NP交于点P。

（1） 求点P的轨迹；

（2） 求AN＋CM的最小值；

（3） 求Rt△MBN面积的最小值。

由杨辉定理知，本题第（1）问是在“积定”的情况下求轨迹，可用来巩固反比例函数图像（双曲线）的知识。第（2）问是第（3）问的铺垫，它们都可用“积定和最小”的结论解决。

其次，《九章算术》中有许多勾股测量问题，根据这些问题，可以编制具有现实背景的数学问题。

例如，《九章算术》“勾股”章中设题：“今有邑方不知大小，各中开门。出北门三十步有木。出西门七百五十步见木。问：邑方几何？”［5］据此，可以设计以下校园测望问题：

问题2 如图7，若一所学校所在区域为正方形ABCD，其边长AB＝500米。学校北门和西门分别开在北围墙和西围墙的中点处。甲、乙两人分别从北门E和西门G出发向正北和正西方向直走一段距离后止步测望，问：当两人刚好能望见彼此时，他们步行总路程的最小值是多少？

再如，《九章算术》“勾股”章中设题：“今有邑方一十里，各中开门。甲乙俱从邑中央而出：乙东出，甲南出，出门不知步数，邪向东北，磨邑隅，适与乙会。率：甲行五，乙行三。问：甲、乙行各几何？”［6］据此，可以设计以下校园测望问题：

问题3 如图8，若一所学校所在区域为正方形ABCD，其边长AB＝500米。学校东门和南门分别开在东围墙和南围墙的中点处。甲从校园中心O出发往南门G直走，出门后继续沿正南方向直走一段距离至点H处，然后立即转身望东偏北方向直走，中途经过校园东南角C；乙从校园中心O出发往东门E直走，出门后继续沿正东方向直走；二人在点F处会合。问：甲出南门后走多远时拐弯，甲、乙所走的总路程最短？此时，甲、乙步行速度之比是多少？

又如，《九章算术》“勾股”章中设题：“今有邑方不知大小，各中开门。出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木。问：邑方几何？”［7］据此，可以设计以下校园测望问题：

问题4 如图9，若一所学校所在区域为正方形FGHI，其边长FG＝200米。学校北门和南门分别开在北围墙和南围墙的中点处。甲、乙两人分别从北门D和南门E出发向正北和正南方向直走相同距离达到点A和C处，乙转而向西行至刚好能望见乙的点B处，问：甲向北走多少米时，他们所走路程总和最小？最小值是多少？

问题2—4都是以“勾股容方图”为基础的变式问题，均可用“积定和最小”的结论解决。其难度递进：问题2只涉及两条直角边的长度，问题3还涉及斜边的长度，问题4中的直角三角形内接的是长方形（正方形的一半）。

以问题4为例，在此基础上逆向思考，可以设计可用“和定积最大”解决的问题：

问题5 如图9，有三棵树分别位于一个等腰直角三角形的三个顶点A、B和C处，AC＝300米。若要建一矩形校园FGHI，使得点A、北门D（北围墙FI的中点）、南门E（南围墙GH的中点）和点C共线，DA＝EC，且校园一角F位于AB上，问：校园面积最大值是多少？

再次，金元时期数学家李冶（1192—1279）的《测圆海镜》中也有一些解直角三角形问题，根据这些问题，也可以编制具有现实背景的数学问题。

例如，《测圆海镜》卷二中设题：“甲、乙二人俱在圆城中心而立，乙穿城向东行一百三十六步而止，甲穿城南行二百五十五步望见乙，问：城径几何？”［8］据此，可以设计以下圆城测望问题：

问题6 如图10，已知圆城的半径r＝100米，甲、乙两人分别从圆城的东门E、南门D出发向正东、正南方向直行至刚好能望见彼此，问：甲、乙分别向东、向南走多少米时，他们之间的距离最短？

再如，《测圆海镜》卷二中设题：“或问：甲、乙二人俱在西门，乙东行二百五十六步，甲南行四百八十步望见乙。问：城径几何？”［9］据此，可以设计以下圆城测望问题：

问题7 如图11，已知圆城的半径为r，甲从西门A南行一段距离至点D，乙从东门B东行一段距离至点C，此时两人恰好能望见彼此。问：当二人所走总路程为a（a＞r）时，甲、乙之间的最短距离是多少？

三、 编制可用不等式A≤R解决的最值问题

根据均值不等式链中的不等式A≤R，可得“平方和定和最大”“和定平方和最小”两个结论。从几何意义的角度看，“平方和定（最小）”可以理解为“直角三角形的斜边定（最小）”，“和最大（定）”可以理解为“直角三角形两条直角边的和最大（定）”。由此，可以设计直角三角形周长最大或最小的问题。例如：

问题8 笑笑是班级的文娱委员，班级要举办文艺活动，活动地点有一个Rt△ABC的区域需要布置，已知Rt△ABC的斜边为16米，而两条直角边没有具体数据，笑笑应该至少买多长的彩带（围绕Rt△ABC一周）才能保证材料够用？

这是一个典型的基于现实背景的“直角三角形的斜边确定，求其周长最大值”的问题，可用“平方和定和最大”的结论解决：因为a＋b/2≤2/2c，所以a＋b＋c≤（2＋1）c，当且仅当a＝b时等式成立。

在中算史料中寻找“斜边确定，直角边不确定”的问题。基于“勾股大方图”，加上现实背景，可以设计如下湖畔绿化问题：

问题9 如图12，某公园内有一边长为100米的正方形人造湖。现为了美化公园，需要在湖边设计花圃，花圃的边界为一个正方形的四条边，且经过湖的四个角。问：如何设计，可以确保绿化带的边界最长？最长边界是多长？

进一步挖掘中算史料，发现《九章算术》“勾股”章中设题：“今有户不知高、广，竿不知长短。横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出。问：户高、广、衺各几何？”［10］这是一个解直角三角形问题：已知c－a、c－b，求a、b和c。《九章算术》中给出解法：a＝2（c－a）（c－b）＋（c－b），b＝2（c－a）（c－b）＋（c－a），

c＝2（c－a）（c－b）＋（c－a）＋（c－b）。［11］

刘徽在《九章算术注》中利用“矩表方里图”得到恒等式（a＋b－c）2＝2（c－a）（c－b），从而证明了上述公式。［12］根据刘徽的“矩表方里图”，可以设计以下问题：

四、 编制可用关于调和平均数H的不等式解决的最值问题

均值不等式链中，调和平均数H是最小的“均值”。它的表达式稍显复杂，但它出现在“勾股容方图”中，即直角三角形内接正方形边长的2倍。因此，可以基于“勾股容方图”，加上现实背景，编制可用关于H的不等式解决的最值问题。例如：

问题11 如图14，有一块面积为64 m2的正方形花坛，要为这个花坛围一圈有公共直角的三角形绿化带，求绿化带周长和所围面积的最小值。

问题12 如图14，在一个Rt△ABC场地中，BC＝a，AC＝b，有一个与三角形有公共直角且面积最大的矩形商场，商场的入口在点M处。甲、乙二人分别在点A、点B处，相约在商场入口处会合。两人同时出发（AB不可通行）。甲前半段路程步行，后半段路程骑自行车；乙前一半时间步行，后一半时间骑自行车。两人步行速度和骑车速度分别相同，问谁先到达？

五、 若干启示

以上我们看到，根据中算史料，利用“自由式”问题编制策略，可以编制“和定积最大”“积定和最小”“平方和定和最大”等类型的最值问题。这些问题都具备了科学性（基于原始文献）、应用性（反映现实应用）和关联性（考查相关知识）等特征。从中可以获得如下启示：

第一，挖掘数学史料，丰富问题资源。以《九章算术》为代表的中国古代数学典籍往往都是问题集。为了编制更多理想的中算史料题，教师需要深入研读这些典籍，从中挖掘丰富的命题素材，利用多种不同策略［13］，编制新的数学问题。本文主要利用了《九章算术》《测圆海镜》等名著中的勾股测量问题或解直角三角形问题，更多史料有待于挖掘。

第二，设计问题情境，体现数学应用。注重实用是中国古代数学的重要特征之一，而“应用性”正是中国高考评价体系（2019年版）所提考查要求的“四翼”［14］之一。本文涉及的《九章算术》《测圆海镜》中的测量问题均为有实际背景的应用问题，对于这类问题，可以通过改变情境，编制新的问题；对于“勾股大方”“勾股容方”之类不涉及现实情境的问题，则可通过增加情境，形成新的问题。

第三，立足考查目标，加强知识联系。古今数学有着巨大的差异，中算史上的很多原始问题往往不能直接用于今日的数学教学（评价），需要对条件和目标加以改变，方能产生满足要求的新问题。也就是说，“自由式”是“古题今编”最主要的策略。本文中的古题并未涉及最值问题，但提供了丰富的几何图形和现实情境。将这些图形和情境与今日代数、三角、解析几何等领域的知识联系起来，古题就有了新的“增长点”——正可谓“无心插柳柳成荫”。

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［S］.北京：人民教育出版社，2020：前言4.

［2］汪晓勤.从“勾股容方”到均值不等式［J］.数学通报，2015（2）：7-9.

［3］汪晓勤.中华优秀传统数学文化融入高中数学教学的若干路径［J］.教育研究与评论（中学教育教学），2022（9）：27-34.

［4］［8］［9］郭书春.中国科学技术典籍通汇·数学卷（一）［M］.郑州：河南教育出版社，1994：1114，763，763.

［5］［6］［7］［10］［11］［12］郭书春.九章算术［M］.北京：科学出版社，2019：447，454，456，458，459，463.

［13］汪晓勤.基于数学史料的高中数学问题编制策略［J］.数学通报，2020（5）：9-15.

［14］教育部考试中心.中国高考评价体系［S］.北京：人民教育出版社，2019：11.