一道立体几何高考题的分析及教学启示

摘 要：2023年高考数学新课标Ⅰ卷第12题创设“将几何体放入正方体容器”的情境，考查了立体几何基础知识和逻辑推理基本能力，落实了基础性；将截面作为连接平面几何和立体几何的桥梁，体现了认知结构的综合性；用数学方法解决实际问题，展现了应用性；设问新颖，强调以探究性思维解题，突出了创新性。由此得到教学启示：重视立体几何“基本图形”的教学，落实“立体几何初步”的单元整体教学，增强现实问题“几何本质”的教学，实施激活几何思维的探究性教学。

关键词：高中数学；立体几何；高考试题；“四翼”要求

2019年，教育部考试中心发布了“一核四层四翼”中国高考评价体系，为科学构建中国高考评价体系提出了明确目标和基本原则。［1］数学作为高考必考科目，考查过程中应体现“四翼”，即“基础性、综合性、应用性和创新性”的要求。［2］立体几何是高中数学的重要内容，在高考数学客观题与主观题中均有考查。正方体是立体几何中简单而重要的几何体，高考数学题多次以正方体为载体命制。［3］2023年高考数学新课标Ⅰ卷第12题再次借助正方体，创设“将几何体放入正方体容器”的情境，高度契合“四翼”要求，从基础性、综合性、应用性、创新性四个维度回答了“怎么考”的问题。本文以此题为例，从“四翼”视角剖析高考立体几何题的命题导向，并探讨其对高中立体几何教学的启示。

一、 试题及解答

该题是试卷选择题的压轴题，为多选题。题目及解答如下：

下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）

A. 直径为0.99m的球体

B. 所有棱长均为1.4m的四面体

C. 底面直径为0.01m、高为1.8m的圆柱体

D. 底面直径为1.2m、高为0.01m的圆柱体

棱长为1m的正方体内切球的直径为1m，1>0.99，所以A正确。棱长为1m的正方体最大能放入棱长为2m的正四面体，2>1.4，所以B正确。棱长为1m的正方体的体对角线长为3m，3<1.8，所以C不正确。对于D选项，正方体截面为正六边形时，有最大内切圆，如图1，此时内切圆半径为2/2×3/2=6/4≈0.612，0.612×2>1.2，因此直径为1.2m的圆可以放入棱长为1m的正方体容器中；假设底面直径为1.2m的圆柱体放入正方体容器中，刚好与正方体上下底面相切，其横截面如图2，此时圆柱体高的一半为FO=3/2-0.6×2≈0.018>0.01，因此底面直径为1.2m、高为0.01m的圆柱体可以放入棱长为1m的正方体容器中，即D正确。综上，答案为A、B、D。

二、 “四翼”分析

（一） 基础性——考查基础知识与基本能力

基础性的基本内涵包括基础知识、基本方法、基本能力、基本态度和价值观。［4］

上述试题的基础性，首先体现在A选项来源于教材中的练习题。人教A版高中数学必修第二册“8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积”练习第3题：将一个棱长为6cm的正方体块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件体积。这一练习题的解决也要用到（蕴含着）“正方体的内切球（即正方体内最大的球）直径等于正方体的棱长”的立体几何基础知识。

逻辑思维能力是数学学科具有基础性、可持续性的关键能力。［5］上述试题的基础性，还体现在A、B、C选项仅需简单的逻辑推理，根据棱长，就能判断所给球体、四面体和圆柱体是否能够放入正方体中。学生只要掌握了简单几何体的结构特点，具备立体几何相关基本逻辑思维能力，就能够拿到基础分。

（二） 综合性——考查整体认知结构

增强命题内容综合性，要求学生注重认识数学整体知识结构、功能和相互作用，分析理解事物变化发展的过程，鼓励学生从整体上分析各种现象背后的本质和规律，促进学生形成更加全面、完整的认知结构。［6］

上述试题的A、B、C选项考查了正方体与球体、四面体、圆柱体的关系，并且，难度最大的D选项涉及了平面几何与立体几何的融合：学生不仅要综合考虑几何组合体在空间中整体的位置关系，还要结合生活实际剖析圆柱体放入正方体后的截面图，通过截面分析几何体之间局部的位置关系，来解决问题。

作为对比，2022年高考数学新课标Ⅰ卷第9题如下：

已知正方体ABCD－A1B1C1D1，则（ ）

A. 直线BC1与DA1所成的角为90°

B. 直线BC1与CA1所成的角为90°

C. 直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°

D. 直线BC1与平面ABCD所成的角为45°

此题也是以正方体为载体考查空间中线线、线面之间位置关系的多选题，但仅涉及异面直线所成角以及线面所成角。即此题属于立体几何基本图形位置关系的考查，但考查的范围较小，综合性较弱。

相比之下，2023年高考数学新课标Ⅰ卷第12题的综合性有所提升，重点考查了立体几何相关认知结构的综合性。立体几何主干知识包括基本立体图形与基本图形位置关系［7］，上述试题在这两个部分均有涉猎。只有熟知基本立体图形，如正方体、球体、四面体、圆柱体的结构，才能在头脑中想象、作出立体几何组合体的直观图。学生不仅要对基础知识点掌握透彻，还需要充分意识到立体几何主干知识之间的联系，形成概念网络。

（三） 应用性——关注生活中的立体几何

应用性要求学生体验数学知识的发生、发展过程，并运用数学知识、思想方法对实际问题进行分析研究。［8］

上述试题从生活实际出发，创设每一位学生都遇到过的“将一个物体放入容器内”的情境，要求学生充分利用掌握的立体几何知识作出解释，恰当运用作图、推理、计算等数学方法解决“能不能放得下？何时放得下？”的问题，引导学生应用立体几何知识解决现实问题。

以往同样考查正方体截面的试题大多局限在数学情境内，主要以数学语言设问。［9］例如2018年高考数学全国Ⅰ卷第12题：

已知正方体的棱长为1，每条棱所在的直线与平面α所成的角都相等，则平面α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）

A. 33/4 B. 23/3

C. 32/4 D.3/2

此题作为试卷单选题的压轴题，更多地承担着“选拔”的功能。动截面位置的寻找、形状的判断、最大截面位置的猜想、最大面积的求解这四大难点会难倒很多学生——经过比较复杂的计算和推理可以证明，当截面为正六边形时，不仅与每条棱所成的角都相等，而且面积最大，选项A正确。［10］同时，此题纯数学的问题情境显得有些乏味，难以让学生体会到数学的应用性。

相比之下，2023年高考数学新课标Ⅰ卷第12题的设问从生活中来，充分展现了立体几何的应用价值。选项设置中存在具有挑战性的问题，学生需要在符合生活实际的情况下，对立体几何问题进行恰当的表征分析，在解决问题的过程中进一步理解各种几何体之间、立体图形与平面图形之间的关系，思考立体几何知识和现实世界之间的联系。

（四） 创新性——考查探究性思维

创新性要求试题有新颖的呈现和设问方式，引导学生在情境中主动思考，完成开放、探究性任务，发现新问题、新规律、新结论。［11］创新性考查要求的核心在于通过命题创新，增强试题的探究性，培养创新型人才。［12］

上述试题的D选项在2018年高考数学全国Ⅰ卷第12题的基础上（都考查了正方体的最大截面）深挖了一层，通过创新性命制，增强了试题的探究性。一方面，不仅探讨正方体截面的形状，而且延伸出截面内接圆的性质（截面的面积最大时，内接圆的面积也最大）。另一方面，不仅以生活实践情境为背景，要求学生正确表征已知条件，自行拟定解决方案，而且在判断A、B、C选项的基础上，引导学生归纳经验，对D选项的正确性进行猜想和检验（论证）。

实际上，《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“课标”）附录2中的案例11［13］就是与正方体截面相关的探究活动，强调探究性思维的培养。其核心问题是：用一个平面截正方体，截面形状将会是什么样的？由此，可以引导学生进一步按照边数分类，提出具体问题，研究截面形状。如：（1） 如果截面是三角形，可以截出几类不同的三角形？为什么？（2） 如果截面是四边形，可以截出几类不同的四边形？为什么？（3） 还能截出哪些多边形？……学生如果在课堂上经历过“正方体截面”的探究活动，就会积累截面图形的相关经验，也就可以运用类似的探究性思维，深入挖掘上述试题D选项的已知条件，转化出一系列数学问题，然后运用基本图形的知识解决。

此外，上述试题没有通过复杂的向量计算或几何推理来提升题目难度，因为在高考有限的时间内，学生难以对选择题进行复杂而严密的论证。“要不要考虑C、D选项中的0.01m？何时考虑？运用极限法将其考虑为无限小？还是按照0.01进行计算？”需要学生运用所学，创造性地拟定自己认为最适合的解题方案。这样的开放性也很好地体现了对探究性思维的考查。

总之，上述试题考查了立体几何基础知识和逻辑推理基本能力，落实了基础性；将截面作为连接平面几何和立体几何的桥梁，体现了认知结构的综合性；用数学方法解决实际问题，展现了应用性；设问新颖，强调以探究性思维解题，突出了创新性。

三、 教学启示

（一） 基础性：重视立体几何“基本图形”的教学

上述试题的A、B、C选项涉及几何体组合的结构特征，包含正方体、正四面体、球体、圆柱体，是对立体几何基础知识的考查。如果学生对简单几何体的认识不充分，对几何体组合的位置关系不熟悉，则很容易产生错误的想象和作图，导致错误的判断。

在立体几何“基本图形”的教学中，教师特别要重视“正方体”的教学。正方体是空间图形中特殊且具有丰富内涵的几何体［14］，可以分解出多种柱体、锥体、台体等，能够让学生充分感受到不同类型几何体之间的关系。

例如，教学中可以让学生求棱长为1的正四面体的体积。学生解决此题的常规思路是直接套用三棱锥的体积公式。但是，教师评讲时可以增加将正四面体补全为正方体的方法：如图3所示，通过VA-BCD=V正方体-4VA-GCD求解。让学生意识到正四面体可以补全为正方体，割补法在立体几何中同样适用。

（二） 综合性：落实“立体几何初步”的单元整体教学

上述试题涉及几何体的组合、正方体的截面等问题，遵循教材“立体几何初步”部分“整体→局部”的研究路径［15］：从现实世界出发，抽象出各类几何体，先学习各类几何体的特征，再进一步抽象出组成空间图形的基本元素——点、线、面，最后研究点、线、面的位置关系。

因此，教师在教学中，也要重视几何体相关知识的整体结构，带领学生在充分认识几何体的特征后，充分辨析平面图形与空间图形的关系，促进学生多角度理解立体几何主干知识（核心概念），以落实“立体几何初步”的单元整体教学。

例如，折叠是从平面图形到立体图形的转化手段，教学中可以出示如下题目：

如下页图4所示，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED、△BEF、△CDF分别沿DE、EF、DF折起，使A、B、C三点重合于点A′。

（1） 求证A′D⊥EF；

（2） 求三棱锥A′-DEF的体积。

然后，针对不同的学生，采用不同的教学方式：针对空间想象能力较弱的学生，鼓励他们用手边的正方形草稿纸，按题目所说动手折叠，经历“正方形→三棱锥”的过程；针对空间想象能力较强的学生，只展示平面图形，让他们想象折叠后的立体图形，并画出三棱锥的草图。由此，不同的学生都能够体验平面几何和立体几何的区别与联系，从而增强对“点—线—面—体”的综合把握，完善整体认知结构，提升直观想象和逻辑推理素养。