理顺知识联系，促进自主建构

摘 要：教学“直线的倾斜角和斜率”，要根据学生的认知基础，理顺知识之间的内在联系，引导学生自然经历概念生成、公式获得的过程，完成自主建构。具体的教学思路是：基于现实情境中刻画山坡倾斜程度的需要，从“形”的角度，设立基准线，定义倾斜角；基于刻画“锐角”山坡倾斜程度的需要，从“数”的角度，联想坡度的概念与表示，进一步坐标化，得出斜率的定义式，并与倾斜角的正切关联；基于刻画“钝角”山坡倾斜程度的需要，从“数”的角度，突破坡度概念与表示的局限，扩大倾斜角，推广斜率的定义式，并与倾斜角的正切关联。

关键词：高中数学；倾斜角；斜率；认知基础；知识联系

“直线的倾斜角和斜率”是高中数学课程解析几何板块的初始内容，是“直线的方程”“直线的位置关系”等内容的学习基础。《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“课标”）要求：“在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。”^［1］可知，该内容的教学不能“重结果轻过程”，而要根据学生的认知基础，理顺知识之间的内在联系，引导学生自然经历概念生成、公式获得的过程，完成自主建构。

然而，在对使用不同版本教材的多个课例进行分析时发现：部分教师对学生的认知基础和知识的内在联系缺乏准确把握与深入剖析，致使概念生成和公式推导的过程不够自然，使得学生更多的是机械记忆。下面在几个关键点上，分析教学中容易出现的问题，再设计有针对性的教学活动。

一、 基于攀爬山坡的情境，设立基准线，定义倾斜角

为了描述直线不同的倾斜程度，需要设立一个共同的比较标准。沪教版教材指出：通过确定直线与其中一条坐标轴的相对位置，可以描述直线在坐标系中的位置。人教A版教材指出：这些直线相对于x轴的倾斜程度不同，也就是它们与x轴所成的角不同。苏教版教材则直接引入坡度概念，并用点的坐标来表示，之后才介绍倾斜角的概念——这没有充分发挥几何直观的作用，显得不够自然。那么，为什么要选择一条坐标轴作为基准线？怎样让学生感受到设立一条基准线来定义倾斜角是水到渠成的？这需要创设合适的现实情境，让学生感受到在实际背景下，若不设立基准线，则无法刻画生活中不同的倾斜程度。具体地，可创设攀爬山坡的情境：

【问题1】如图1、图2、图3所示，学校周围有三座山坡可攀爬，攀爬哪座山坡会感到最费力呢？

结合生活经验，学生不难感知攀爬图3所示的山坡最费力。教师追问原因，便可引出倾斜程度的概念。进一步追问如何刻画倾斜程度，可以让学生发现：是因为坡面上攀爬方向所在的射线与坡底部水平指向山体的射线形成的角度不同。从而引出基准线的概念，进而引出倾斜角的概念（由射线推广到直线），并自然生成倾斜角的范围。这里，尤其要让学生认识到：攀爬图3所示的山坡最费力是因为倾斜角大于90°。

二、 联想坡度的概念与表示，定义斜率，关联倾斜角

倾斜角是一个几何量，而解析几何的本质是利用代数方法（点的坐标关系）研究几何问题，因此，需要把倾斜角转化为一个代数量——斜率。应该如何定义斜率呢？沪教版教材在没有充分铺垫的情况下，直接用倾斜角的正切来定义直线的斜率，让学生感觉到突兀。人教A版教材和苏教版教材则借助坡度概念（坡度的定义式涉及的两条直角边，相对于斜边是更基本的量）架设桥梁，使倾斜角和斜率自然地建立关联。当然，在教学中，还需要引导学生自然想到坡度，建立坡度的坐标表示，从而定义斜率，关联倾斜角。具体地，可继续利用锐角情况下攀爬山坡的情境（图1）：

【问题2】除了倾斜角可以刻画攀爬方向所在直线的倾斜程度，在之前所学的知识中，还有哪个量可以刻画图1中攀爬方向所在直线的倾斜程度？具体是如何刻画的？

回忆旧知，学生可以想到坡度的概念及其定义式：竖直高度（爬坡时的竖直升高量）水平宽度（爬坡时的水平前进量）。以水平指向山体的射线为基准线，学生很容易刻画水平宽度，但可能茫然于竖直高度的刻画。对此，教师可以提示“还需一条垂直的线来刻画竖直高度”，引导学生建立平面直角坐标系（如图4所示）。

由此，便可让学生意识到“竖直高度与水平宽度都可以转化为坐标表示”，进而探究具体的坐标表示：在攀爬方向所在直线上任取两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则竖直高度和水平宽度可以用两点在相应方向上的距离来表述，分别为

|y1-y2|=y2-y1和|x1-x2|=x2-x1，故坡度为y2-y1x2-x1。至此，可以引导学生由相似三角形的知识发现y2-y1x2-x1为定值，顺势引出斜率的定义：这样的表示在数学中被定义为斜率，一般记作k。

追问：图4中，倾斜角（设为θ）与斜率“y2-y1x2-x1”都可以刻画攀爬方向所在直线的倾斜程度，那么，它们之间有什么关系？

教师可以提示：这两个量都在竖直高度与水平宽度所构成的三角形中。由此，学生不难发现：斜率是倾斜角的正切，即k=y2-y1x2-x1=tanθ。至此，使在倾斜角为锐角的情况下，帮助学生自然地引出了斜率的定义。

三、 突破坡度概念与表示的局限，扩大倾斜角，推广斜率

人教A版教材和苏教版教材均直接类比坡度概念帮助学生理解用倾斜角的正切来定义斜率的合理性。然而，实际生活中的坡度都是正数（因为竖直高度与水平宽度都是正数），它是在倾斜角为锐角时才有的概念。对此，教师需要引导学生突破已有认知的局限，借助有向线段（正负坐标），将斜率的定义式推广到倾斜角非锐角的情况。具体地，可继续利用钝角情况下攀爬山坡的情境（见图3）：

【问题3】用坡度的定义式来刻画攀爬方向所在直线的倾斜程度，对倾斜角为锐角的情况（图1）是适用的，但是，用其刻画图3中攀爬方向所在直线的倾斜程度时，竖直高度与水平宽度还能用相应的距离（坐标差的绝对值）来表示吗？

依然是将图3抽象后放到平面直角坐标系中（如图5所示），也在攀爬方向所在直线上任取两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）。这时，教师可以引导学生思考：图3中攀爬方向所在直线的倾斜程度远大于图1中的，如果竖直高度与水平宽度还用相应的距离（坐标差的绝对值）来表示，则会造成倾斜角互补的两条直线的倾斜程度一样，这不符合实际情况。

追问：这时的竖直高度与水平宽度应该如何表示呢？

教师可以引导学生观察平面直角坐标系中的图形，发现从P1到P2，“升高”的方向与y轴的正方向相同，“前进”的方向与x轴的正方向相反；想到要区分这“一正一反”，可以让竖直方向上的距离保持正号，给水平方向上的距离加上符号，从而得到竖直高度和水平宽度分别为|y1-y2|=y2-y1和-|x1-x2|=x2-x1，由此得到坡度依然为y2-y1x2-x1。这样，倾斜角为钝角时的斜率定义式与倾斜为锐角时的斜率定义式就得到了统一。

为了帮助学生更好地理解倾斜角为钝角的情况下斜率小于0，可以充分结合攀爬山坡的情境解释：这时相当于从起点反方向攀爬山坡，所以感到费力。为了帮助学生更好地理解两种情形下斜率定义式的统一，教师可以引导学生在相应的直角三角形中发现k=y2-y1x2-x1=-tanπ-θ，进而利用三角函数的诱导公式得到k=y2-y1x2-x1=tanθ。

最后，引导学生自主探究倾斜角为0°和90°的情况，并与现实中水平行走和沿着90°的垂直线攀爬岩壁进行关联，使学生更好地理解斜率为零和不存在的现实意义，从而归纳出斜率的完整定义。

四、 反思与总结

上述教学设计从学生的生活经验切入，基于现实情境中刻画山坡倾斜程度的需要，从“形”的角度，设立基准线，定义倾斜角；基于刻画“锐角”山坡倾斜程度的需要，从“数”的角度，联想已有知识中相关的坡度概念与表示，进一步坐标化，得出斜率的定义式，并与倾斜角的正切关联；基于刻画“钝角”山坡倾斜程度的需要，从“数”的角度，突破坡度概念与表示的局限，扩大倾斜角，推广斜率的定义式，并与倾斜角的正切关联。进一步反思，可以总结出引导学生自然经历知识发生的过程，完成自主建构的两个关键：

第一，充分了解学生已有的认知基础，把握好教学起点。教学起点过高会使学生失去探究信心，过低则会使学生失去探究欲望。确定教学起点需要分析学生的生活与学习经验中是否有与新知相关联的情境与知识，即了解学生已有的相关经验与知识。上述教学设计中，攀爬山坡的情境是学生熟悉的现实情境，能引发学生的兴趣，引导学生思考其费力程度相关因素的数学表达，自然地关联倾斜程度、倾斜角和斜率等概念，从而将抽象的知识具体化、直观化，促进学生主动地参与认知建构，提高学生对数学知识的理解和应用能力。

第二，充分挖掘数学知识的内在联系，把握好认知路径。数学是一个有着严密逻辑结构的学科，知识之间存在密切的内在联系。充分挖掘数学知识的内在联系，有助于合理构建知识学习的逻辑顺序，从而促进学生有层次、有条理地进行认知建构，同时感悟数学的基本原理和思维方式。上述教学设计立足于倾斜角概念和斜率概念这两个内容，挖掘出倾斜程度的概念，利用攀爬山坡的现实情境引发设立基准线的需求，建立了倾斜角概念；挖掘出坡度的知识、任意角的知识和有向线段的知识，引发了三角函数的知识，帮助学生关联了斜率概念与倾斜角概念，统一了多种情况下的斜率概念。

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［S］.北京：人民教育出版社，2020：43.