有理数定义争论之我见

摘 要：最新修编的人教版初中数学教材将有理数的定义，由之前的“整数和分数统称为有理数”改为“可以写成分数形式的数称为有理数”。但是，新定义并不比旧定义严谨、好懂。由此，根据给数学概念下定义的常用方法、基本原则，从数学科学和数学教学的角度，分析各种有理数定义的合理性与局限性。最后，建议教材下次修编时把有理数的定义改为：两个整数比的数叫作有理数。并说明：按照约简后分母是否为1的标准，有理数被分成整数和分数。

关键词：中学数学；有理数；数学概念；定义；函数

根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》修编的人教版初中数学教材（以下简称“新教材”）将有理数的定义，由之前的“整数和分数统称为有理数”改为“可以写成分数形式的数称为有理数”，在中小学数学教育界引起了一波争论。对此，教材主编的解释是：之前的定义不够严谨。^［1］本文就此谈谈笔者的一些想法，就教于各位方家。

一、 新旧教材的有理数定义之争

旧定义“整数和分数统称为有理数”有何不严谨？

是整数和分数没有区别？其实，分数的产生有三个路径。一是均分的需要：把整体1平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数就是分数。二是除法的需要：正整数M除以正整数m，结果不是整数时，就需要用分数Mm来表示，如11÷3=113=3+23。三是度量的需要：度量一个比度量单位还小的对象时，为了使度量更精确，需要把一个度量单位再等分成若干份，以其中的一份为新的度量单位——分数单位，如110、1100、160等。分数产生的这三个路径说明，分数不是整数，其分母不等于1。

是有理数不能分成整数和分数？其实，数学概念分类（即逻辑学中的划分）的标准不是唯一的，只要满足四个条件即可：（1） 划分必须是相称的；（2） 每一次划分只能用一个根据；（3） 划分的子项必须互相排斥；（4） 划分不能越级。对有理数，按照约简后分母是不是1的标准，可以分成整数（整数可以看成是分母为1的分数）和分数；按照正负性质的标准，可以分成正有理数、负有理数和零，等等。这些分类完全符合概念划分的4个条件。

实际上，新定义中的“可以写成分数形式”这一表述是不清楚的，因此不严谨。首先，什么叫“可以写成”？怎么判断“可以写成”“不可以写成”？“你不可以写成”不代表 “别人也不可以写成”。其次，学生会问老师：什么叫作“分数形式”？“分数形式”是数学概念吗？“分数形式的数”是不是像分数那样的数？整数是不是像分数那样的数？2可以写成42，它是不是像分数那样的数？42是不是分数？2是不是分数？……

如此看来，新教材中有理数的定义反而更不严谨，更容易引起这些误解：整数和分数没有区别，分数包含整数。而且，新教材中有理数的定义更不利于教学：教学时，教师还要解释很多诸如“什么是分数形式？”“π2是不是分数形式？”的问题。这违反了数学大道至简的原则。

二、 给数学概念下定义的常用方法

内涵法。给数学概念下定义，最常用的方法是内涵法，即“种+类差”：被定义的概念（类）=最邻近的上位概念（种）+类差。“类差”就是被定义的概念在它最邻近的上位概念里区别于其他类概念的本质属性。例如，“邻边相等”的“平行四边形”叫作“菱形”；“按一定顺序排列”的“一列数”叫作“数列”；“无限不循环”的“小数”叫作“无理数”。

外延法。内涵法的局限是，最邻近的上位概念的边界不可能无限扩大，最终只能回到原始概念。为了克服这一局限性，在数学上还使用揭示概念外延的方法来给概念下定义：被定义的概念=类概念+类概念+类概念+…。例如，有理数和无理数统称为实数；圆、椭圆、双曲线和抛物线统称为圆锥曲线。我国的老教材以及现在各种版本新教材中的绝大多数，都延用这种简明的揭示外延的方式来给有理数下定义：整数和分数统称为有理数。

构造法。构造法也叫发生定义法，即通过被定义概念反映对象的发生过程或形成的特征描述来揭示被定义概念的本质属性的定义方法。它是一种特殊的“种+类差”方法。定义中的类差是描述被定义概念的发生过程或形成的特征，而不是揭示被定义概念特有的本质属性。例如，平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆。由于初中没有集合的概念，为了便于学生理解，只能用一个不严谨、不精确的非数学概念：轨迹。但是，到了高中，学生学习了“集合”，还把椭圆定义为“平面上到两个定点的距离之和为定值（该定值大于两点之间的距离）的点的轨迹”，就不太合适了：应该把“轨迹”改为“集合”。要讲曲线与方程之间的关系——充要条件，就应该定义“曲线”为“点集”。如此，求曲线的方程实质上就是求该曲线上任意一点的坐标满足的关系式。为此，需要建立直角坐标系，设出点的坐标，抓住该曲线上的点满足的几何不变性，将此几何性质代数化得出方程，最后说明这个方程就是所求的曲线方程。^［2］由此，可以培养学生数学思维的精确性和严谨性。

规定法。对有些概念，不易揭示它的内涵，就以客观实践为基础，直接指出它的外延，将其规定下来。如此定义概念的方法叫作规定法。例如，零指数、负指数以及零的阶乘的定义，规定：a⁰=1（a≠0）；a^-m=1a^m（a≠0）；0！=1。教学用规定法定义的概念时，一要讲好如此规定的必要性，二要讲好如此规定的合理性^［3］，否则学生会觉得数学不讲道理：想怎么规定就怎么规定，想怎么令就怎么令，想怎么设就怎么设。

三、 数学定义的基本原则

数学定义的基本原则有：

（1） 定义必须是相称的：定义的内容必须与所定义的概念相符，不能出现定义过宽或过窄的情况。（2） 定义不得循环：定义项不能直接或间接地包含被定义项，以避免出现同语反复或循环定义的逻辑错误。（3） 定义一般不用否认形式：定义应该使用肯定的语句形式，避免使用否定形式，因为否定形式只能说明概念不具有某些属性，不能直接说明它具有什么属性。但是，考虑到学生认知的因素，对那些内涵无法揭示、学生难以理解的概念，在数学教育界，允许降低严谨性和精确性，使用否定语来定义概念。例如：无限不循环小数叫作无理数。（4） 定义应当是确定的、简明的：定义应该明确且简洁，避免使用含混不清或复杂的表述。上述分析已经表明：“可以写成分数形式的数称为有理数”这一定义不符合此条原则。

根据以上原则，这里进一步分析人教A版高中数学教材中函数的定义：一般地，设A、B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作y=f（x），x∈A。

其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫作函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫作函数的值域（range）。

首先，“设A、B是非空的实数集”有两个缺陷：（1） 学生很容易认为A、B都是实数集R。（2） 在数学上，函数分为实变函数（以实数为自变量）和复变函数（以复数为自变量），因此，之前很长一段时间内使用的高中数学教材说的都是“A、B是非空的数集”；这里把“非空的数集”修改为“非空的实数集”，就犯了定义过窄的错误；从联系、统一的角度看，到了高中，还把函数分成当下（高中）的和未来（大学）的，不利于引领学有余力的学生进一步学习，不利于拔尖创新人才的培养。

其次，把“对应法则f”修改为“对应关系f”更是很不恰当的：函数就是一种对应关系，怎么能用“对应关系”来定义“对应关系”？这不是循环定义吗？学过现代数学的人都知道，关系的定义是：设A、B是任意两个集合，R是笛卡儿积A×B的一个子集，则称R为集合A到集合B的关系。而函数则是集合A到集合B的一个关系F，它是序对的集合， 其中不含有第一元相同而第二元不同的序对。^［4］

再次，“称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数”更是让人云里雾里：凭空而降的“f：A→B”是什么东西？它是函数的种概念吗？它只是一串符号啊！

相比之下，北师大版高中数学教材中函数的定义就更恰当一些：

给定实数集R中的两个非空数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数，记作y=f（x），x∈A。其中集合A称为函数的定义域，x称为自变量，与x值对应的y值称为函数值，集合{f（x）|x∈A}称为函数的值域。

实际上，理解函数概念应该抓住以下几个标准：（1） 函数是两个非空数集之间的一种对应关系——在一个集合中任意取定一个数，总可以在另一个集合中找到唯一确定的数与它对应；（2） 函数概念中两个变量的符号不是固定不变的；（3） 函数其实就是一个系统（一台机器），它由五个要素构成：两个变量、两个非空数集、对应法则f；（4） 不能把函数值f（x）当成函数，也不能把对应法则f当成函数；（5） 可以说一个变量是另一个变量的函数，但是不能把变量x、y当成函数，因为函数不是变量，而是一个系统。^［5］

四、 有理数和无理数的科学定义

在抽象代数中，有理数域Q=aba、b∈Z，b≠0，它是由所有整数的商（除数不为0）构成的集合。这里的商指的是一个整数除以另一个非零整数所得的数。因此，在数学上，一般把能表示为整数比的数叫作有理数，不能表示为整数比的数叫作无理数。为了避免否定语“不能表示”，也为了避免数系扩充到复数后带来的不严谨，在高等数学中，一般用有理数列来逼近无理数：某个满足柯西收敛条件的有理数列的极限。

数学概念教学的本质是帮助学生构建起良好的概念图式。良好的数学概念图式的标准是：看法多样、准确、深刻。^［6］在基础教育阶段，无理数是一个讲不清楚，只能“混而不错”（苏步青语）的概念。为了形成良好的无理数概念图式，笔者要求数学师范生具备如下看法：（1） 开不尽的数，如2、23、35等；（2） 负无理数，如-33、－37、－322等；（3） 超越数，如π、e、lg 2等；（4） 无限不循环小数，如4.12112111211112…等；

（5） 无限的连分数；（6） 绝大多数三角函数值；（7） 非有理数之实数；（8） 不能写成两个整数之比；（9） 某个满足柯西收敛条件的有理数列的极限；（10） 比有理数多得多。^［7］

五、 结束语

数学这门学科有别于自然科学和社会科学的特点是精确、严谨、简洁、概括、联系、统一。^［8］人教版初中数学新教材修改了有理数的定义，其初衷是好的：想体现数学精确、严谨，尤其是联系、统一的特点。遗憾的是，没有修改好，出现了新问题。

值得一提的是，国内，把有理数定义为分数形式，人教版新教材不是第一家，苏科版旧教材曾经做过尝试：“我们把能够写成分数形式mn（m、n是整数，n≠0）的数叫作有理数。”这一表述比人教版新教材的表述更为严谨、准确。但是，在一线教师的实际教学中，出现了前文所述的理解问题。因此，苏科版新教材把有理数的定义重新改回传统的外延定义：“整数和分数统称为有理数。”

最后，建议教材下次修编时把有理数的定义改为：两个整数比的数叫作有理数。并说明：按照约简后分母是否为1的标准，有理数被分成整数和分数。

参考文献：

［1］ 佚名.数学教材“有理数定义”更改，老师和家长都懵了：是预防自学吗？［EB/OL］.（2024-09-09）［2024-09-17］.https：//www.163.com/dy/article/JBM9B83E0536SQ16.html.

［2］ 何小亚，李湖南，罗静.学生接受假设的认知困难与课程及教学对策［J］.数学教育学报，2018（4）：25-30.

［3］［7］ 何小亚.数学学与教的心理学（第二版）［M］.广州：华南理工大学出版社，2016：175，178.

［4］ 何小亚.现代数学思想下的函数概念［J］.中学数学，1990（8）：1-2.

［5］ 彭晓燕，何小亚.立足教材 凸显本质——《对数函数的图像与性质》的教学新设计［J］.中学数学，2019（23）：3-6.

［6］ 何小亚，姚静.中学数学教学设计（第三版）［M］.北京：科学出版社，2020：47.

［8］ 何小亚.数学是什么？［J］.中学数学研究（华南师范大学版），2021（23）：1.