认知弹性理论对中学数学教学的启示

摘 要：认知弹性理论是建构主义理论的一个分支。该理论认为：学习过程是由结构良好知识领域向结构不良知识领域的进阶，认知弹性超文本更加有助于个体对复杂性问题的理解与掌握；采用随机通达教学，在不同时间、不同情境脉络、不同角度、不同目的下重新访问同样的学习材料，可以有效促进结构不良知识的学习。其对中学数学教学的启示有：采用多种策略完善学生的CPFS结构，在多种背景下重新访问学习材料，加强结构不良问题训练。

关键词：中学数学；认知弹性理论；CPFS结构；随机通达教学；结构不良问题

作为建构主义理论的一个分支，斯皮罗提出的认知弹性理论对学习有独特的解释。认知弹性指以多种方式同时重建自己的知识，以便对发生根本变化的情境领域作出适宜的反应。这既是知识表征方式（超越单一概念维度的多维度表征）的功能，又是作用于心理表征的各种加工过程（不仅是对完形的修复，而且是对一整套图式的加工过程）的功能。［1］斯皮罗将认知弹性解释为，通过运用先前的知识以超越所给的信息来建构理解。显然，这带有建构主义理论的基因。欧内斯特将认知弹性理论称为弱建构主义，则是因为它明显带有信息加工理论的色彩。［2］在新一轮课改的推进中，重新审视认知弹性理论，取其精华用于教学设计，可以得到一些对数学教学的启示。

一、 认知弹性理论的主要观点

（一） 学习过程是由结构良好知识领域向结构不良知识领域的进阶

斯皮罗把学习分为初级学习和高级学习，学习是由初级学习向高级学习的进阶。初级学习对应结构良好知识领域，高级学习对应结构不良知识领域。

结构良好知识领域指学习条件、学习目标均明确的知识领域，其中的问题有明确的解决方法，它的初始状态、目标状态和过程操作都是明确的，可以利用一个定义良好的途径实现连接。结构良好知识领域的学习具有还原倾向，主要是单一地重现旧知的简单化学习，只要求学生将所学的东西简单地再生出来。结构不良知识领域的问题则没有明确的解决方法（途径），它的初始状态、目标状态或过程操作不明确。斯皮罗认为，结构不良知识领域有两个特征：（1） 知识应用的每一个案例通常都涉及多个用途广泛的概念结构（多种图式、观点、组织原则等）的同时交互作用，每一个概念结构本身又是复杂的；（2） 在名义上同类案例之间，概念应用和交互作用的方式有着实质的不同（即案例之间的不规律性）。［3］

事实上，结构不良知识大量存在于学习材料中，而对这类知识的学习并没有引起学习理论的高度关注。基于这样的状况，斯皮罗主要针对结构不良知识领域，提出认知弹性理论。当下学界热烈讨论的深度学习，本质上与认知弹性理论的主张如出一辙：如果说浅层学习主要指对结构良好知识的学习，那么深度学习则主要指对结构不良知识的学习；从浅层学习到深度学习是进阶过程，同样，从结构良好知识学习到结构不良知识学习也是进阶过程。

为什么认知弹性理论对结构不良知识的学习具有指导作用？这与认知弹性理论的一个关键概念有密切关系，即认知弹性超文本。认知弹性超文本的核心是理解知识涉及超越呈现的信息，即理解文本需要的不仅仅是文本中的语言和逻辑信息。“理解涉及意义的建构，文本是建构理解先在的蓝本，文本中包含的信息必须与文本外的信息合并，重要的是包括学习者原有的知识，这样才能对文本的意义形成完整而充分的表征。”［4］认知弹性超文本是一种学习媒介，它将知识内容渗透到各种情境中，通过真实多样的情境，刺激个体的感知能力，以克服知识本身的不可见性、抽象性，同时增加知识的延展性，从而更加有助于个体对复杂性问题的理解与掌握。认知心理学强调在记忆中再现组织化的知识结构或图式，学习的目标是塑造个体完善的认知结构，但是由于结构不良知识领域概念的复杂性，以及要将知识用于解决结构不良问题，因此必须根据具体情境用到文本之外的信息对知识进行重组，建构新的知识体系去解决问题。在教学中，便需要重新安排顺序，对知识进行多元表征，在内容元素之间建立多重链接，从而产生特殊的“纵横交叉形”概念图——通过这一概念图，能够访问某一使用中的既定概念结构的大量案例。这就是认知弹性理论超文本设计的内核。

（二） 随机通达教学是促进结构不良知识学习的有效方式

随机通达教学，是斯皮罗等人在认知弹性理论指导下提出的适用于结构不良知识领域中高级学习的一种教学方式。［5］简单地说，这种教学方式是指在不同的时间内、在不同的情境脉络中、从不同的角度、为了不同的目的重新访问同样的学习材料。其基本要义有几个关键点：

其一，在不同的时间内重新访问学习材料。重新访问有两层含义：一是不定期的复习，使知识得到保持；二是进一步加深对知识的理解。在后面知识的学习中再次学习先前知识，学习者会有新的体会和心得，这种逆向迁移现象能使学习者重新认识和深度理解先前知识。

其二，在不同的情境脉络中重新访问学习材料。有两种处理方式：一种是在学习这个材料时为学习者提供不同的情境。因为一个知识的产生背景可以是多样的，一种特定的情境可能会给认识带来片面性，而为学习者提供不同的情境脉络，可以拓宽其学习视野，消除其对知识的片面认识。另一种是在学习这个材料后为学习者提供不同的情境，即在另一个时间重新访问这个材料时提供与先前不同的背景。事实上，随着学习内容的不断扩大，先后学习的知识之间必然会形成内在联系，能够涵盖先前知识的情境自然会延展。事后给学习者提供新的情境，不仅能加强知识保持的固着点，还能反向强化对知识的理解。

其三，从不同的角度重新访问学习材料。同样可以在新授学习中或后续学习中实施。从心理学的角度看，其本质上是对知识的多元表征。认识一个事物可以采用不同的方式，选择不同的角度，从而获得对这个事物的全面了解，进而促进对事物本质的深刻理解。另一方面，知识的应用也不是唯一的，一个知识往往会在多个领域中有应用，应用的路径也可能是多维的。由于知识的意义是多元的，不同的主体或同一主体在不同的情境中会对它构建出不同的意义。以不同的方式交叉浏览结构不良知识领域，可以使学习者认识到知识应用的多样性，并且揭示知识的多种关联性以及对情境的依赖性。［6］

其四，为了不同的目的重新访问学习材料。初级学习通常是为了认识知识、理解知识，掌握基本的学科技能，解决学科内部的基本问题；而高级学习主要是为了将认识、理解的知识用于解决学科内部和学科外部的结构不良问题，它涉及知识的迁移和知识的创新。不同的目的决定了为学生提供的学习案例大相径庭，每一次重新访问学习材料都应当有明确的目的，由目的选择和制定重新访问所需的新材料、新背景、新角度、新方法。这是随机通达教学的基本方略。

在此基础上，斯皮罗等人对结构不良知识提出了5条基本的教学原则：（1） 多次呈现知识。对复杂的结构不良知识，要在教学活动中多次呈现。（2） 将抽象的概念与不同的案例相结合。要多维度地分解案例，在分解的案例中抽象出它们的联系。（3） 以一种可行的认知方式提早介绍不同概念成分之间可能存在多方面交互性的复杂主题。（4） 强调知识的相互联系和网状结构的性质。在多种情境脉络中揭示概念之间的相互关系， 以形成对于复杂内容领域的丰富而灵活的理解。（5） 鼓励知识汇编。把相关的抽象概念和具体案例根据情境或任务来汇编。［7］这5条教学原则本质上是5条教学策略，对基于认识弹性理论的教学设计有直接的指导意义。

二、 对中学数学教学的启示

（一） 采用多种策略完善学生的CPFS结构

概念域、概念系、命题域、命题系所形成的结构称为CPFS结构。［8］数学概念的一个特征是定义不唯一。例如，有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，这是等腰三角形的一个定义；有两个角相等的三角形叫作等腰三角形，这也是等腰三角形的一个定义。两个定义的不同之处是它们分别用了不同的概念来界定新概念，前者用了边的概念，后者用了角的概念，但是，这两个定义在逻辑上是等价的。换句话说，一个数学概念可能存在一组彼此等价的定义。如果学习者掌握了概念C的一组等价定义，我们就说他形成了概念C的概念域，即建立了概念C的一组等价定义图式。将其推广到命题域，如果学习者掌握了命题P的一组等价命题，我们就说他形成了命题P的命题域，即建构了命题P的一组等价命题图式。而如果学习者头脑中形成了一组概念，这组概念之间或者有等价关系，或者有某种联系（数学抽象关系），我们就说学习者形成了概念系。同样，如果学习者头脑中形成了一组命题，这组命题之间或者有等价关系，或者有推出关系（由一个命题可以推出另一命题），我们就说学习者形成了命题系。

显然，学习者一旦形成概念域或命题域，就能从不同的角度认识这个概念或命题。这与认知弹性理论提倡的“从不同的角度重新访问学习材料”殊途同归。要使学生建立完善的CPFS结构，教学中应当注重几个方面：

1． 选择多个角度揭示概念内涵

概念域是关于一个概念的一组等价定义的图式，意味着学习者能从多个角度认识同一个概念。由于不同的定义是从不同的侧面对概念进行描述的，如果学生只理解了一个定义，就会造成一种片面的认知倾向，难以全面地把握概念内涵。因此，在数学教学中，教师应当多角度地揭示概念内涵，帮助学生构建完整的概念域。

例如，对于函数单调性概念，可以从多个角度揭示内涵：（1） 若对任意的x1、x2∈A，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则函数f（x）在区间A上是增函数；（2） 若对任意不同的x1、x2∈A，都有f（x1）－f（x2）/x1－x2＞0，则函数f（x）在区间A上是增函数；（3） 若在区间A上不存在两个值x1、x2，使得f（x1）=f（x2），则连续函数f（x）在区间A上是单调函数；（4） 若在区间A上，函数f（x）图像上任意两点的连线都不垂直于y轴，则连续函数f（x）在区间A上是单调函数；（5） 若在区间A上，函数f（x）可导，且f′（x）＞0恒成立，则函数f（x）在区间A上是增函数。学生一旦形成函数单调性概念的概念域，则不仅对函数单调性概念有更深入的认识，而且解决函数单调性的相关问题时会得心应手。

2. 采用结构变式厘清命题关联

从对象看，变式包括概念变式、命题变式（问题变式）、图形变式等。变式前与变式后均以结果表征，而结果之间的化归则表现为一种过程。变式的本质是使学习者在头脑中建构某一概念的概念域和概念系、某一命题的命题域和命题系。

将公式作恒等变形是一种等价变式。这种变式不仅可以使学生从不同的角度认识命题，形成命题域，而且可以得到新的公式，使之成为解决问题的有力工具。

类似地，在几何教学中，应该适时引入一些图形变式问题。

例如，教学三角形中位线的知识后，可以引入一系列关于“中点四边形”的变式问题：（1） 任意四边形各边中点依次连线组成的四边形是什么四边形？（2） 矩形各边中点依次连线组成的四边形是什么四边形？（3） 菱形各边中点依次连线组成的四边形是什么四边形？（4） 正方形各边中点依次连线组成的四边形是什么四边形？（5） 等腰梯形各边中点依次连线组成的四边形是什么四边形？（6） 如果各边中点依次连线组成的四边形分别是矩形、菱形、正方形，那么原四边形分别是什么四边形？由此，可以得到一系列关于“中点四边形”的命题。

3. 梳理知识体系促进结构完善

CPFS结构是个体将外部知识体系转化为内部表征的结果。若外部知识体系杂乱无章，则要将其转化为优良的认知结构几乎是不可能的。知识体系包括概念体系、命题体系、方法体系。无论对哪一类体系，教师都要协助学生梳理知识，帮助学生完善头脑中的CPFS结构。

例如，关于两直线平行的判定，可以梳理得到有关命题：（1） 同位角相等，两直线平行；（2） 内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行；（4） 平行四边形的两组对边平行；（5） 平行于同一直线的两条直线平行；（6） 垂直于同一直线的两条直线平行；（7） 三角形两边中点的连线平行于第三边；（8） 梯形两腰中点的连线平行于两底；（9） 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么，这条直线和交线平行；（10） 垂直于同一平面的两直线平行；（11） 如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么，它们的交线平行；（12） 设l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2。如果k1=k2，b1≠b2，那么l1∥l2；（13） 设l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0。如果A1/A2=B1/B2≠C1/C2，那么l1∥l2。进一步分析这一组命题的内在联系，可以发现：命题（1）与命题（2）、命题（3）等价，命题（1）到命题（5）是强抽象关系，命题（1）到命题（6）是广义抽象关系，命题（1）与命题（12）、命题（13）等价……因此，将这一组命题的程序性知识网络内化，所形成的图式就是命题域和命题系。