数学符号教学：基于原理，发挥价值

摘要：数学符号教学，应以“认知的历史发生原理”为指导。同时，要充分发挥数学符号的教学价值：在新符号引入的过程中增强数学创造意识，在数学符号创设的完整过程中发展数学审美能力，在体悟数学符号的思维功能时感悟数学思想方法，在把握数学符号的意义、内涵时深度理解数学知识，在数学符号演变的过程中感受数学文化。

关键词：数学符号;“认知的历史发生原理”;教学价值;数学语言;数学思维

数学符号是数学的特殊文字，是表明数学的概念、运算、关系和推理的数学语言，它使得数学思维过程准确、概括、简明，从而更容易揭示数学对象的本质。数学符号作为数学学科至关重要的内容，在数学教学中也具有很重要的价值。但是，从实际情况来看，数学符号的学习基本上是接受性、被动性的，引入符号的决定权在教师，用什么符号表示也由教师确定，教学方式就是“记忆（教师给出，学生记忆）+注意（教师说明几个注意点）”。这样的方式导致蕴含于数学符号中的教学价值无法发挥，学生对数学符号语言的理解、运用能力比较薄弱。这可以由考试中学生在运用新符号表述的问题上表现不佳得到佐证。

本文从数学符号的类别与来源出发，重点谈一谈笔者对数学符号教学的一些思考。

一、数学符号的类别与来源

了解数学符号的基本知识，有助于在教学中引导学生进行数学对象的符号创设或选择。

从作用上，数学符号可以分为以下四类：

一是元素符号：表示数或几何图形的符号。如：表示数字的符号，如0、1、2、3、4、5、6、7、8、9;表示数的字母，如a、b、c、x、y、z;表示特定常数的字母，如e、i、π;表示三角形边的字母，如a、b、c;表示三角形角的字母，如A、B、C;表示图形类型的符号，如∠、△、⊙。

二是关系符号：表示数、式、形等数学对象之间关系的符号，如=、>、<、≥、≤、≈、∽、≌、、∈、。

三是运算符号：表示按照某种规定进行运算的符号，如+、-、×、÷、·、、∑、sin、cos、log、lim、∫，以及行列式符号、矩阵符号。

四是辅助符号。为了便于表达和运算，数学中还引进了一些符号，用于表示某些特定的式子或某种特定的意义。如：Δ（一元二次方程根的判别式）、n！、Anm、max、min;括号（）、[]、{};三角形全等的条件“SSS”“SAS”“ASA”;随机事件的概率P（A），随机变量的期望E（X）、方差D（X）;样本的均值x、方差s2等。

数学符号也可以按照数学学科领域来划分。各个领域中都要运用一系列专门的符号，如数理逻辑中等。

数学符号的创设或选择没有固定的规则，但也有某些规律。数学符号的来源主要有以下五类：

第一类：用英文、拉丁文单词的第一个字母或前几个字母，如表示概率的“P”即英文单词“probability”（概率）的第一个字母，正弦函数“sin”即英文单词“sinusoidal”（正弦曲线）的前三个字母。有时，还会用第一个字母的变形，如相似符号“∽”是英文单词“similar”（相似）第一个字母s的平躺写法，积分符号“∫”是拉丁文单词“summa”（和）第一个字母s的拉长写法。

第二类：从直观形象上让人望形生意，如∠、⊥等。

第三类：从结构、形状上隐喻含义，如=、<、>等。

第四类：从相关的符号演变而来，如“×”由“+”斜写而得。

第五类：由名人约定，如积分符号、阶乘符号、∵、∴等。

不少数学符号蕴含了数学家们的奇异思想，如根号、积分符号等，都有着各自美丽的故事。

二、用“认知的历史发生原理”指导数学符号教学

数学教学需要考察两个层面的问题：一是学习内容，即数学知识的本质以及历史发展过程;二是学习主体，即学生的数学认知规律以及认知发展过程。根据“认知的历史发生原理”，个体的数学认知发展过程与对应的数学知识的历史发展过程相一致，这两个方面具有内在的逻辑关联性（在认知逻辑上）。这一原理对符号教学有一定的指导意义。

例如，用字母表示数在数学符号史上是一个重要事件，并且随着数学的发展，其意义、观念也在发展和进化。用字母表示数的学习，也大致需要经历这样的过程。

大约在公元3世纪，丢番图就开始用字母表示数，他用“”表示待定数，这里字母表示的数本质上是确定的。到了16世纪，韦达创立了符号体系，他用母音字母表示未知量，用子音字母表示已知量。后来，笛卡儿将其调整为用a、b、c等表示已知量，用x、y、z等表示未知量。从这时起，字母可以表示“任意”数，这就使得用a+b=b+a表示加法交换律成为可能，进而，数学就从算术时代进入代数时代。此外，韦达将一元二次方程的两个根分别用符号x1、x2表示。这不仅扩大了字母表示数的范围，丰富了表示方式，也使字母表示的数的类别得到了区分，条理得到了梳理。而双下标、多下标的使用，将符号观念从一维空间拓展到了二维、多维空间，使人类数学观得到了进一步提升。这些素材在中小学数学教材中大量存在，厘清它们之间的关系，对数学教学如何根据历史过程设计学习过程是十分有益的。

又如，数的概念及其符号表示是学生在小学刚入学甚至在幼儿园就开始学习的最基础的数学知识，它与人类文明相伴而生。下面，笔者重点以这一内容为例，谈谈如何根据历史过程设计教学。

据了解，在幼儿园，教师就开始教小朋友认识阿拉伯数字1、2、3、4、5、6、7、8、9，教学方式大多为“象形儿歌”：“1”像小棒，“2”像小鸭子……这种教学，是识字教学，不是有意义的记数教学。面对幼儿，可以进行有意义的记数教学吗？回顾人类建立数的概念、建构数字的历史过程，在初始阶段，我们的祖先与现在的幼儿的认知水平基本相当（由于文化因素的影响，现在的幼儿可能比当初我们的先祖的认知基础还要好一些）。因此，相应的历史过程可以成为最好的启发方式。基于幼儿的认知水平，通过游戏的形式再现数的概念及其符号表示的历史过程，促进幼儿建构数的概念，通过“象形”语言逐步抽象出数字符号，应该是可能的，至少是可以做适当的尝试的。

下面，是笔者设计的教学简案：

【课题1】 手指记数

学习目标：认识数;用图形（线条）表示数，初步符号化（图形符号）。

师（出示一个苹果的实物或图片）这里有一个苹果，一个苹果如何用手指表示？怎样将这种表示方法画出来？一个苹果对应一个什么？

师（出示两个苹果的实物或图片）我们将现在的苹果个数说成“两”或“二”，如何用手指表示？怎样将这种表示方法画出来？一个苹果对应一个什么？

【课题2】 结绳记数

学习目标：巩固对数的认识;继续用图形（线条或点）表示数，初步符号化（图形符号）。

师古时候，一个牧羊人是怎样知道晚上回到山洞的羊的个数与早上出去的羊的个数相同的呢？出去时，每出一只羊，就在绳子上打一个结;回来时，每进一只羊，就数一个结。

师一只羊，在绳上打一个结，怎样在纸上用图形来表示呢？两只羊呢？三只羊呢？……一只羊对应一个什么？

学生可以画一条、两条、三条……线，也可以画一个、两个、三个……点。展示学生的成果，让他们表述自己的图的意思（将数的概念与表征融合起来教学）。

【课题3】 算筹记数

学习目标：从线条表示到算筹表示，符号化水平适当提高。

给每个学生发一套算筹。以手指记数的图形表示为基础，介绍算筹（只介绍最简单的记数，最多10以内）。

先让学生设法用算筹分别表示数字1、2、3、4，并将自己用算筹摆的数画到纸上。

再让学生用算筹表示5、6……在肯定他们想法的基础上，介绍我国古代是怎样用算筹表示5、6……的。

【课题4】 算盘记数

学习目标：从点表示到算珠表示，进一步增强感性认识。

给每个学生发一个小算盘。以结绳（点）记数为基础，介绍中国传统计算工具算盘（只介绍10以内的数的表示方法）。从1、2、3这几个最简单的数开始，让学生用算盘表示。

【课题5】 古罗马数字

学习目标：用较接近图形表示、实物表示的符号形式进行符号化。

在学生对数的概念有了足够认识的基础上，以用手指表示数的图、算筹表示数的图等介绍古罗马数字1、2、3的表示方法;重点介绍5的表示法“Ⅴ”，先用一只手的记号表示5（整体观），再将手的图简化为“Ⅴ”;再介绍6、7、8的表示方法;最后介绍10及4、9的表示方法。

如果有学生建议用“横”表示“1”，也可以顺便介绍汉语中的数字一、二、三等。

【课题6】 阿拉伯数字

学习目标：在对数的概念有了一定认识和对用符号表示数有了较多感性认知的基础上，介绍最常用的数字表示法——阿拉伯数字。

首先说明人们总是希望符号越简单、越方便书写越好，然后介绍阿拉伯数字：逐一介绍，先看后写，与古罗马数字一一对照，并配以相应的儿歌，让学生反复练习。

这里需要指出的是，笔者没有教过幼儿和小学生，上述教学简案是否可行，有待实践检验。但是，如何从尽可能低的年龄开始，让学生经历人类知识起源与发展的过程，是值得研究的课题。

三、充分发挥数学符号的教学价值

数学符号的产生缘于相应的数学对象的抽象、概括过程中的自然需求，是相应的数学对象的本质特征、内涵的语言与图形（字符）表征。好的符号应该能够将过程与本质浓缩其中，在符合数学审美要求的前提下，做到望“符”生义。因此，数学符号在数学教学中有着非常重要的价值。

（一）在新符号引入的过程中增强数学创造意识

新的数学符号的引入伴随着新的数学对象的确定，也就创造了新的数学知识。因此，帮助学生理解新符号引入的必要性、合理性，便可以激发学生“创造”新知识的动力，发展学生的数学创造意识。

例如，教学反正弦函数的概念时，如果只是由y=sin x在-π/2，π/2上存在反函数，就规定“其反函数叫作反正弦函数，记为x=arcsin y……”，那么学生毫无心理准备，对“arcsin”这一符号的出现感到很突然，对其含意的理解也就不会很透彻，更没有任何数学创造的需求或冲动。笔者在教学中是这样处理的：

师函数y=x2是否有反函数？能否缩小其定义域，使其有反函数呢？

由图像，学生容易发现：在（-∞，0]或[0，+∞）上，函数y=x2有反函数。

师函数y=sin x有反函数吗？在怎样的区间上有反函数呢？

引导学生选取主值区间，并感受为什么要选取这一区间。

师正弦函数y=sin x在-π/2，π/2上的反函数叫作反正弦函数。

师若记反正弦函数为f-1（x），则其定义域是什么？值域呢？

根据定义，学生容易发现：反正弦函数的定义域就是上述正弦函数的值域，值域就是上述正弦函数的定义域。

师f-1（1）的值是多少？ f-1（-1）呢？f-1（0）呢？ f-112呢？ f-1-12呢？ f-132呢？f-1-32呢？

学生能直接写出以上函数值。

师f-113呢？

学生写不出这个函数值了。

师那么它存在吗？它的意义是什么呢？

学生可通过与原函数的对应关系加以理解：在-π/2，π/2上使正弦值等于13的角。

师既然存在，而且不是可以直接写出来的角，怎样表示呢？

学生认为，需要引进新的符号。教师引入符号arcsin13，再用这个符号表示上述各式arcsin 1=π/2，arcsin 0=0，arcsin12=π/6……，让学生逐步理解这个符号。最后，让学生用求反函数的一般方法求反正弦函数的解析式：正弦函数y=sin xx∈-π/2，π/2→x=arcsin y→y=arcsin x。