“有理数”单元教学研究：在教育神经科学视野下

摘要：随着现代心理学向具有确定性证据的脑科学发展，教育神经科学这门交叉学科逐步形成。在利用“抽象结构”思想分析初中数学“有理数”单元的内容体系及核心育人价值的基础上，将其置于教育神经科学的视野下，分析其学习心理的脑机制，从而提出相应的教学策略：利用“数系扩充”的大观念引领单元整体教学，充分利用数轴直观建立数与形之间的联系，加强多种形式的逻辑推理。

关键词：有理数;抽象结构;数系扩充;教育神经科学;脑机制

数学源于对现实世界的抽象，通过对数量和数量关系、图形和图形关系的抽象，得到数学的研究对象及其关系;基于抽象结构，通过对研究对象的符号运算、形式推理、模型构建等，形成数学的结论和方法，帮助人们认识、理解和表达现实世界的本质、关系和规律。数学不仅是自然科学的重要基础，而且在社会科学中发挥着越来越重要的作用，同时在发展人的理性思维、科学精神以及智力方面发挥着不可替代的作用。数学的育人价值主要体现在让学生“会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界”中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[S].北京：人民教育出版社，2020：2。。

为了更好地实现这些育人目标，数学课程内容的选择和教学既要反映数学的学科特征，又要遵循学生学习（认知）的心理规律。随着现代心理学向具有确定性证据的脑科学发展，教育神经科学这门交叉学科逐步形成：综合运用教育学、神经科学、心理学等学科研究教育的现象，从“分子—基因—突触—神经元—神经网络—神经系统—课堂行为”的层面研究教育的规律。周加仙.教育神经科学视角的知识创造与知识判断标准[J].教育发展研究，2018（24）：4853。这对深刻理解学生数学学习（认知）的心理规律，提升数学教育与脑发展的契合性，改进数学育人效果，有重要的理论价值与现实意义。

本文聚焦初中数学“数与代数”领域“数与式”主题的基础内容单元——“有理数”，在利用“抽象结构”思想分析其内容体系及核心育人价值的基础上，将其置于教育神经科学的视野下，分析其学习心理的脑机制，从而提出相应的教学策略。

一、“有理数”的内容体系及核心育人价值

（一）数系的产生和发展概述

人类对数的认识随着生产、生活的外在需要及数学逻辑的内在需要逐步深化，按照从直观的数量表示到运算再到系统化、公理化的顺序发展，经历了从直观到符号抽象再到逻辑优化的曲折而漫长的过程。

首先，数的发展起源于数数、排序、分物和测量等生产、生活实践活动。人类早期通过数数、排序及其符号表示活动产生了正整数，为了表示“没有”引入了0，为了表示“平均分物”和“测量的结果”引入了正分数（包括小数）。同时，基于生产、生活的需要进行这些数的运算。

其次，针对数及其运算的逻辑思考是数系扩充和完善的核心机制。位值制是自然数简约符号表示的基础性创新。对“加1运算”这一自然数后继函数的认识，是引入自然数加法运算的基础。进而，通过抽象产生自然数的乘法以及乘方运算，通过逆运算引入自然数的减法、除法以及开方、对数运算（乘方运算不满足交换律，所以有两个逆运算）。对运算律的认识是代数思维形成和发展的基础。在此基础上，基于减法运算封闭性的需要，引入负整数，把数的范围扩充到整数;基于除法运算封闭性的需要，引入分数，把数的范围扩充到有理数;基于有理数列极限运算封闭性的需要，引入无理数，再把数的范围扩充到实数，得到具有完备性的实数域。追求运算的封闭性是数系扩充的内在动力，追求运算及运算律的继承与一致是数系扩充的内在逻辑。这是人类在长期的数学活动中经历曲折而漫长的努力后形成的。

在数系扩充的过程中，无理数和负数的发现与认识过程是特别艰辛、曲折的。古希腊毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现了线段的不可公度性，打破了“万物皆数（整数或整数比）”的逻辑基础，引发了第一次数学危机。李文林.数学史概论[M].北京：高等教育出版社，2002：38。尽管在1世纪中国的《九章算术》中就出现了负数，并且利用“正负术”进行加减运算，解决了一些实际问题，但是负数一直未被西方普遍认可;直到19世纪，西方才系统接受了负数，确立了负数的逻辑地位。菲利克斯·克莱因.高观点下的初等数学（第一卷）[M].舒湘芹，陈义章，杨钦樑，译.上海：复旦大学出版社，2008：18。

基于历史相似性，古人对负数认识的困难也会出现在学生的学习中。因此，当下的数学课程对数系扩充的内容，普遍采用“自然数—（正）分数—有理数……”的逻辑线索安排。并且，在学习了自然数和正分数（包括小数）后，基于相反意义量的表示引入负数，便于学生理解。引入负数，扩大数的范围后，基于“抽象结构”思想，研究其内涵（与正数的区别与联系）、表示、大小比较和运算等，而核心是进行有逻辑的运算——没有运算，负数就只是一种量的符号表示，不具备数的核心特征;将负数与运算联系起来，有利于学生掌握负数的实质内容。

（二）“有理数”的内容体系

“有理数”内容展开的过程中蕴含着下列数系扩充活动：

第一，基于现实需要和减法运算封闭性的需要引入负数，扩大数集。

第二，通过分类，研究扩大范围后新数集中的数与原数集中数的差异：原数集中的数只有量值（数值），没有极性（正负）;新数集中的数（除0外）既有量值（数值），又有极性（正负）。同时，遵循数系扩充的内在逻辑顺序“正整数—引入0，扩充到自然数—引入负整数，扩充到整数—引入分数，扩充到有理数”，对新数集进行分类，给出有理数的描述性定义“整数与分数统称有理数”，为进一步统一用“整数比”对有理数进行实质性定义奠定基础。

第三，研究有理数的数轴直观表示，奠定数形结合的基础。

第四，研究“在正数1、2、34……前面添加负号，得到-1、-2、-34……”的匹配数对（量值相等，极性相反，表示特殊的相反意义量的正、负数）之间的关系，引入“相反数”的概念，借助数轴直观地理解这种关系（表示相反数的两个点关于原点对称），理解诸如-（-3）、-（+3）等表示的意义并化简。在后面的有理数加法中，“互为相反数的两个有理数的和为0”，则进一步阐述了相反数的运算特征，渗透了数系扩充中运算的封闭性是如何通过扩大数集、拓展运算来实现的。事实上，有理数系中的加法构成了一个加群，相反数的本质反映了加群中加法运算的“负元”存在性：对于任意元素x，集合中存在着一个元素y，使得x+y=0。这为在相反数概念教学中渗透相反数对“从正数出发引入负数”的数学内在逻辑价值，提供了更高位数学观点的启发：相反数可以借助数轴来直观理解，但其本质属性是数的关系，不依赖于数轴。

第五，绝对值是扩大后新数集中的数与原数集中数的共性，即不考虑极性后留下的量值。因此，绝对值是数系扩充后数的内在一致性的本质反映，与数轴无关，但可以借助数轴上表示数的点到原点的距离与单位长度的比值来直观理解。

第六，有理数的大小比较研究的是扩大后数集的有序性，可以借助数轴来直观理解，但数的序关系本质上不依赖于数轴。

第七，运算是数系扩充研究中的核心问题。运算法则是一种规定，这种规定的合理性体现为新的运算法则在原数集中保持与原来一致，原有的运算律在扩大后的数集中仍然保持。有理数系中，核心的运算是加法和乘法运算。加法存在零元（0）、负元（负数），乘法存在单位元（1）、逆元（非0数的倒数）。加法和乘法运算满足结合律、交换律、分配律（联系加法和乘法运算）。运算律是运算中的不变规律，也是简化运算的依据，如依据结合律可以简化有限个元素的运算，依据分配律可以简化加法和乘法运算等。基于除法运算，引出有理数的实质定义——整数比。

综上，贯穿“有理数”内容的知识发生、发展的基本思想是：扩大数集、拓展运算、前后连贯、逻辑一致。这种“数系扩充”的研究思路及内容是“引入新数、扩大数集—分类、定义（新、旧数集中数的区别与联系）和表示（符号、图形）—研究性质（相等和不等关系，即序关系）—研究运算（加法和乘法运算及其逆运算）和运算律—应用”，研究方法是从特殊到一般、归纳、数形结合。

（三）“有理数”的核心育人价值

数系扩充是“数与代数”中数学系统抽象结构的典范，其核心育人价值是：在从原有数系扩充到新数系的过程中，发展数学抽象能力和逻辑推理能力。这具体表现为：在有理数、相反数、绝对值、倒数等概念的形成过程中，发展数学概念的抽象能力和归纳推理能力;在有理数的大小比较法则、运算法则以及运算律的形成过程中，发展数学法则和规律的抽象能力和归纳推理能力;在运用有理数的大小比较法则推理、运用运算法则和运算律运算的过程中，发展演绎推理能力和运算能力;在借助数轴理解有理数、相反数、绝对值以及加法和乘法运算及其运算律的过程中，发展空间观念和几何直观能力;在运用有理数的运算表示和解决实际问题的过程中，发展数量关系的抽象能力，建立数的运算的模型观念。

二、“有理数”学习心理的脑机制

（一）支撑“有理数”学习的脑神经网络

学习“有理数”时，大脑的视觉空间网络（包括枕叶、顶叶、中央前回运动区、额中回等;核心是双侧顶内沟，与心理数轴相关）、语义网络（与数学问题解决相关，与双侧顶内沟有专门的神经联结）起到了基础性作用。而大脑的情境网络（也称默认网络，与情境信息加工有关，与语义网络有大量的重叠）在理解具体情境中的物理数量，用与自己经历相关的情境解释相反数、绝对值以及有理数运算的意义，把有理数及其运算的知识应用到具体情境中，提取有理数及其运算的具体情境与语义记忆等方面，都起到了重要作用。

此外，大脑前额叶的执行控制网络影响着学生问题解决的计划、判断、记忆和动作的执行控制等，它与大脑的后部及皮质下结构都有广泛的联系，也是支持“有理数”学习中问题解决的目标导向行为的大脑神经网络。经济合作和发展组织.理解脑——新的学习科学的诞生[M].周加仙，等译.北京：教育科学出版社，2010：32。大脑前额叶、楔前叶的元认知脑区联合情境网络，支持诸如学科大观念等整体性、策略性知识的学习。参见S.M.Fleming和R.J.Dolan的The neural basis of metacognitive ability一文。

大脑的与情绪加工有关的神经网络对数学学习也有重要影响。情绪网络包括眶额皮层、扣带前回、下丘脑、基底神经节、脑岛、躯体感觉皮质等。这种影响主要通过提取当前事件的情绪价值影响选择性注意，还对视觉加工有远程影响。G.Pourtois， A.Schettino， P.Vuilleumier.Brain mechanisms for emotional influences on perception and attention：what is magic and what is not[J].Biological Psychology，2013（3）：492512。

（二）“负数”概念理解的脑机制

引入负数后，学生需要用新的观念看数。研究表明，大脑采用合成策略，而不是整体策略表征负数：基于极性，用正负号表示相反意义的量，用“距离”理解其量值的大小。D.GanorStern， J.Tzelgov.Negative numbers are generated in the mind[J].Experimental Psychology，2008（3）：157163。M.H.Fischer.Cognitive representation of negative numbers[J].Psychological Science，2003（14）：278282。

首先，对正负数正负属性的理解。负数的引入基于相反意义的量。理解这种相反意义的量，首先需要在脑内表征其极性。而理解这种数量的极性。基于两个相反的方向，依赖大脑的导航神经网络。初级视觉皮质中，有不同的神经集群对线条的朝向有特异反映D.H.Hubel，T.N.Wiesel.Receptive fields， binocular interaction and functional architecture in the cats visual cortex[J].The Journal of Physiology，1962（1）：106。，左侧额顶环路负责加工位置分类及其工作记忆，右侧额顶回路负责加工位置定位及其工作记忆，而海马体中的位置细胞则加工物体和位置的绑定并对其加以记忆A.Postma， R.P.C.Kessels， M.van Asselen. How the brain remembers and forgets where things are： The neurocognition of objectlocation memory[J]. Neuroscience & Biobehavioral Reviews，2008（8）：13391345。。