基于抽象结构，实现整体建构

【编者按】 接着上一期，本期《专题研究》栏目继续集中呈现一些体现单元教学理念的教学案例：一节内容高度整合的章新授课、一节跨教材章节的专题复习课和一节有鲜明“一题一课”特色的章起始课。

摘要：教学《幂的运算》一章，可以基于抽象结构思想，引导学生以幂为对象研究加、减、乘、除以及乘方运算，寻找需要满足的运算条件、普遍适用的运算法则（性质）以及不变的运算本质，感受为满足运算的封闭性或运算法则的普适性而需要引入一些新的规定。这样便可在1个课时内完成同底数幂的乘法法则和除法法则、积的乘方法则、幂的乘方法则以及非正整数指数幂的规定等知识的新授教学。这样的教学具有整体性和开放性，有助于学生发展系统化思维，体会数学研究的一般思路，形成良好的知识结构，深刻理解知识本质。

关键词：《幂的运算》;章新授课;抽象结构;整体建构

最新修订颁布的《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“课程性质”中指出：“数学源于对现实世界的抽象，通过对数量和数量关系、图形和图形关系的抽象，得到数学的研究对象及其关系;基于抽象结构，通过对研究对象的符号运算、形式推理、模型构建等，形成数学的结论和方法，帮助人们认识、理解和表达现实世界的本质、关系和规律。”课标修订组组长史宁中教授指出：“（这一次课标修订）强调了抽象，在抽象的基础上强调了抽象结构。抽象结构是近代数学发展的一个很基础的东西，就是我们不仅要知道研究对象是什么，更重要的是知道研究对象的性质是什么、关系是什么、运算是如何展开的。”研究抽象结构体现的是数学的形式化过程，即从（现实）内容出发到舍弃内容的过程。

苏科版初中数学七年级下册第8章《幂的运算》，是在学生了解了幂的概念（乘方运算的结果）以及代数式（用字母表示数，从特殊到一般）、整式的有关知识的基础上教学的，包括同底数幂的乘法和除法、幂的乘方、积的乘方以及非正整数指数幂、科学记数法等内容，一般分为3—4个课时展开新授教学（苏科版教材这一章分为3节）。

但是，仔细分析这部分内容，可以发现它是基于最常见的代数结构，即“数（式）+运算”的结构形成的整体。因此，教学这部分内容，可以基于抽象结构思想，引导学生以幂为对象研究加、减、乘、除以及乘方运算，寻找需要满足的运算条件、普遍适用的运算法则（性质）以及不变的运算本质，感受与数系扩充过程一致，为满足运算的封闭性或运算法则的普适性而需要引入一些新的规定。这样便可以在1个课时内完成新授教学，实现整体建构。下面先呈现大致的教学过程，再进一步阐述教学立意。

一、教学过程

（一）回忆已学知识，明确研究内容

问题1在《有理数》一章中，我们学过有理数的哪些运算？对于这些运算，我们研究的路径以及内容是什么？

问题2有理数乘方的定义是什么？如何计算有理数的乘方？

问题3在《代数式》一章中，我们学过整式的哪些运算？

问题1引导学生回顾有理数的运算，概括得出研究运算的一般路径是“加、减—乘、除—乘方”，研究运算的一般内容是运算法则以及运算律。问题2帮助学生回忆有理数的乘方，理解乘方的意义，了解底数、指数和幂的概念，会求有理数的正整数指数幂。这两个问题为学生研究以幂为对象的多种运算做好铺垫。问题3引导学生回顾整式的加减运算，明确只有当两个单项式是同类项时才可以合并。这个问题为学生从特殊到一般研究运算法则（字母表示），以及考虑需要满足的运算条件做了铺垫。

问题4乘方是我们最新学习的运算，以其结果为对象，我们可以研究它的哪些运算？请写出这些运算的一般形式和具体例子，填写在表格中。进一步地，我们需要研究这些运算的哪些内容？

问题4自然引出本课内容：以幂为对象研究加、减、乘、除以及乘方运算。师生共同讨论，完成表格（如表1所示），得到具体研究内容：满足什么条件时可以进行相应的运算？各种运算有没有普遍适用的法则？是什么？

（二）自主尝试完善，研究加减运算

师如何进行幂的加、减法运算？

生幂的加法运算是有条件的，只有底数相同、指数相同时才可以进行。

生这时，am+am=2am（m为正整数）。

生这不就是我们之前学过的合并同类项吗？只不过，这个同类项比较特殊，是一个幂的形式。

生那幂的减法也只能在底数相同、指数相同时进行，即2am-am=am（m为正整数）。

师你们对幂的加、减法运算研究得比较到位。不过，你们有没有考虑，如果是底数相同、指数不同呢？

生（恍然大悟）可以用乘法分配律提取相同的因式，也就是am±an=am（1±an-m）（m、n为正整数，m

师很好！底数相同，指数不论是否相同，都可以进行加、减运算，其本质都是运用乘法分配律，寻找同类项，合并或提取。当然，严格来说，在其他条件下，不是不能运算，只是不能化简或变形。

（三）根据演绎推理，生成乘法法则

师当幂满足什么条件时，可以进行乘法运算？运算法则又是什么？

生当幂的底数相同时，可以进行乘法运算。

生以下是我的计算过程：（教师同步板书）am·an=（a·a·…·a）m个a·（a·a·…·a）n个a=（a·a·…·a）（m+n）个a=am+n。

生我发现，am·an=am+n（m、n是正整数）。也就是，同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

师很好！你们通过演绎推理得到，同底数幂相乘，底数不变，指数相加。这是幂的运算的一条重要性质。那么，如果底数不同呢？（稍停）稍微简单点，如果底数不同，指数相同呢？

生（主动举手）同样通过演绎推理得到：（教师同步板书）am·bm=（a·a·…·a）m个a·（b·b·…·b）m个b=（ab·ab·…·ab）m个ab=（ab）m。

师非常好！这里运用了什么运算律？

生乘法交换律和乘法结合律。

师没错。运算律是代数学中最基础、最重要的结论！这便是幂的运算的又一条重要性质。

（四）基于推理猜想，完善除法法则

师当幂满足什么条件时，可以进行除法运算？运算法则又是什么？

生除法是乘法的逆运算，同底数幂、同指数幂应该都可以相除。

生我试着跟乘法一样推导计算过程：（教师同步板书）am÷an=a·a·…·am个aa·a·…·an个a。可我算到这边就继续不下去了。

生虽然我们不知道m和n的大小关系，但是我们可以分情况讨论。

（在这样的提醒下，大多数学生写出如图1所示的推算过程。）

当m>n时，am÷an=a·a·…·am个aa·a·…·an个a=a·a·…·a（m-n）个a·a·a·…·an个aa·a·…·an个a=am-n;

当m=n时，am÷an=am÷am=1;

当m

师我感觉同底数幂的除法明显比乘法要难好多。

生我发现，当m>n时，am÷an=am-n（m、n为正整数）。也就是，同底数幂相除，底数不变，指数相减。

生我们知道，减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算。这个运算法则正好和同底数幂的乘法法则相对应。

师同学们的想法很好！当m>n时，这个法则确实比较漂亮，和乘法法则对应得很好。那么，另外两种情况怎么办？它们好像不符合这个法则。如果能让它们也符合这个法则，就好了，就符合数学追求的简洁性与统一性了。

生那岂不是就会出现a0？难道a0=1？

师对！我们可以规定a0=1，但它有一个条件——

生a不能等于0，因为在除法算式中，0是不可以做除数的。

师经过大胆猜想，你们有了和数学家一样的想法，他们一致规定任何非零数的零次幂都等于1，即a0=1（a≠0）。有了这样的规定，当m≥n时，都有am÷an=am-n（m、n为自然数）。那么，当m

生这时，如果底数不变、指数相减的法则依然成立的话，那就意味着am-n=1an-m。

生当m

生在等式am-n=1an-m中，我观察到m-n与n-m是互为相反数的。尽管m-n是负整数，但是n-m是正整数。

生那是不是可以用正整数指数幂来规定或计算负整数指数幂呢？

生如果n为正整数的话，能不能规定a-n=1an？这就可以将负整数指数幂转化成正整数指数幂，也就知道怎么去计算负整数指数幂了。

生这个规定中，a在分母上，是不是意味着只有非零数才有负整数指数幂？

师同学们的猜想特别棒！这里我们一起总结一下：任何不等于0的数的-n（n是正整数）次幂等于这个数的n次幂的倒数，即a-n=1an（a≠0）。引入任何非零数的零次幂、负整数指数幂后，我们便可以得到am÷an=am-n（a≠0，m、n为整数）。（稍停）现在来看同指数幂相除的情况。

生（教师同步板书）ambm=（a·a·…·a）m个a·1b·1b·…·1bm个1b=ab·ab·…·abm个ab=abm。

师除法是乘法的逆运算。除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数。所以，这条性质和am·bm=（ab）m在本质上是一样的。

（五）根据演绎推理，生成乘方法则

师现在来看，如何进行幂的乘方运算？

生这可比同底数幂的除法法则简单多了。以下是我的计算过程：（教师同步板书）（am）n=am·am·…·amn个am=am+m+…+mn个m=amn（m、n为正整数）。

生可得（am）n=amn（m、n是正整数），即幂的乘方，底数不变，指数相乘。

师很棒！你们又发现了一条运算法则。

（六）基于运算法则，明确运算本质

师规定了零次幂、负整数指数幂的意义后，幂的主要运算性质有：am·an=am+n（m、n为整数），am·bm=（ab）m（m为整数），am÷an=am-n（a≠0，m、n为整数），（am）n=amn（m、n是整数）。它们分别被称为同底数幂的乘法法则、积的乘方法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则。这就是我们本章学习的主要内容。（稍停）我们来看同底数幂的三个运算法则，它们有什么共同的本质？

生都是底数不变，指数在做运算。

生乘法时指数做加法，除法时指数做减法，乘方时指数做乘法。

生那不就是底数不变，指数做降一级运算？

师很好！这就是同底数幂的运算的本质。

二、教学立意的进一步阐释

实践证明，一节课基本教完《幂的运算》一章的所有内容，是可行的。

这样的教学聚焦数学对象的抽象结构，舍弃从现实到数学的过程，具有整体性和开放性，大开大合，能自然、充分地引导学生像数学家一样主动展开探究，发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，进行数学的“再创造”，有助于学生高效学习，发展系统化思维，体会数学研究的一般思路，形成良好的知识结构，深刻理解知识本质。

这样的教学没有强制性，不缺必要性，能凸显学生的主体地位，并充分发挥教师的主导作用，呈现出良好的师生互动形态：通过复习，学生自然想到组合已学知识，以幂为对象研究加、减、乘、除以及乘方运算，并研究这些运算的条件以及法则，得到整节课（整章）的研究内容;在此基础上，学生对各种情况逐一展开探究，教师则对学生思考的疏漏进行提点，已有知识（尤其是幂的定义、基本运算的法则和运算律以及数系扩充过程）成为基础，一般观念（演绎、运算、类比、猜想、证明、假设等基本思想以及和谐、简洁、统一等基本追求）用来引路，于是，同底数幂的乘法法则和除法法则、积的乘方法则、幂的乘方法则以及非正整数指数幂的规定等知识得以自然生长、充分建构。

其实，这样的教学也可对教材中的很多其他内容，尤其是不大不小的知识组块，如“分式”“二次根式”等展开，以帮助学生充分体会数学的抽象结构思想，提升自主学习能力。