中华优秀传统数学文化融入高中数学教学的若干路径

摘要：将中华优秀传统数学文化融入数学教学不是“为文化而文化”，而是“为教育而文化”。中国古代数学有着悠久的历史、辉煌的成就和独特的价值取向，是中华优秀传统文化不可分割的重要组成部分。运用什么历史素材、如何运用历史素材乃是一线教师开展数学史融入数学教学实践的主要障碍。从新知引入、问题设计、公式推导、定理证明四个方面，探讨中国古代数学史上的问题、思想、方法等在高中数学教学中的具体应用。

关键词：中国古代数学史;中华优秀传统文化;数学文化;高中数学

中国古代数学有着悠久的历史、辉煌的成就和独特的价值取向，是中华优秀传统文化不可分割的重要组成部分。在提倡中华优秀传统文化进中小学课程（教材）的当下，数学教师需要将中国古代数学史料融入数学教学之中。

实践表明，运用什么历史素材、如何运用历史素材乃是一线教师开展数学史融入数学教学（HPM）实践的主要障碍。本文试从新知引入、问题设计、公式推导、定理证明四个方面，探讨中国古代数学史上的问题、思想、方法等在高中数学教学中的具体应用，既试图为高中数学教学提供参考，也希望引发更多的讨论。

一、新知引入方面

运用中国古代数学史料引入新课的方式有问题引入、法则引入、方法引入等。

以汉代的《九章算术》为代表的中国古代数学典籍基本上都采用了问题集的编写方式，其中含有丰富多彩、分门别类的数学问题，一些问题（或改编后的新问题）可以用于高中数学的新知引入。例如，《孙子算经》中的问题“金有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何”，可用于数列概念或等比数列概念的引入。

《九章算术》“方程章”中提出了世界上最早的有理数四则运算法则。其中，非零两数的加法法则为“同名相益，异名相除”，非零两数的减法法则为“同名相除，异名相益”。虽然中国古代数学家没有明确提出绝对值的概念，但这里的“相益”说的就是绝对值相加，“相除”说的就是绝对值相减。因此，这一法则表明，设非零两数为a和b，则：

|a+b|=|a|+|b|（ab>0），

|a|-|b|（ab<0，|a|≥|b|），

|b|-|a|（ab<0，|b|≥|a|），

|a-b|=|a|-|b|（ab>0，|a|≥|b|），

|b|-|a|（ab>0，|b|≥|a|），

|a|+|b|（ab<0）。

中国古代数学家尚未将数系从有理数扩充到实数，但是上述运算法则显然也适用于实数。因此，对任意非零实数a和b，均成立绝对值不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。而当a或b等于零时，上述不等式显然也成立。因此，用“正负术”来引入绝对值不等式，可谓恰如其分。

《九章算术》已经给出了多位正整数开平方和开立方的方法。到了北宋时期，数学家贾宪将开方术推广到了开高次方的情形，并给出了著名的二项式系数表。南宋数学家杨辉将其记载于《详解九章算法》中，并称之为“开方作法本原图”（如图1所示）。这一名称清楚地表明了，今天所说的“贾宪三角”最初实际上源于开方。开方是二项式定理诞生的真正动因，因而可通过开方问题和方法来引入该定理。

三国时代，数学家刘徽在推导圆的面积公式时所采用的“割圆术”也可用于导数几何意义的教学。学生在初中学过圆的切线的静态定义，即与圆有一个公共点的直线，或过圆上一点且垂直于该点与圆心连线的直线，或到圆心的距离等于半径的直线。这是切线概念的认知起点，但该定义并不适用于一般的曲线。通过割圆过程中正多边形一边的不断变化（如图2所示），可引出切线的动态定义。这一新定义适用于任意曲线。

二、问题设计方面

根据数学史料来编制数学问题的策略，有再现式、情境式、条件式、目标式、对称式、串联式和自由式七种。

再现式直接采用历史上的问题。高中数学教学中，可直接采用的中国古代数学史上的问题很多。例如，程大位的《算法统宗》中载有以下数列问题：

行程减等歌：三百八十七里关，初行健步不为难。次日脚痛减一半，六朝才得到其关。要见每朝行里数，请公仔细算相还。（在等比数列{an}中，已知n、q、Sn，求a1）

浮屠层级歌：远望魏巍塔七层，红光点点倍加增。共灯三百八十一，请问尖头几盏灯。（在等比数列{an}中，已知n、q、Sn，求a1）

八子分绵歌：九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠。次第每人多十七，要将第八数来言。务要分明依次第，孝和休惹外人传。[在等差数列{an}中，已知n、d、Sn，求ai（i=1，2，…，8）]

九儿问甲歌：一个公公九个儿，若问生年总不知。自长排来争三岁，共年二百七岁期。借问长儿多少岁，各儿岁数要详推。[在等差数列{an}中，已知n、d、Sn，求ai（i=1，2，…，9）]

除了再现，还可以采用多种方式改编中国古代数学史上的问题。例如，《九章算术》“均输章”中载有三个数列问题，其中一个为“竹筒容积”问题：

今有竹九节，下三节容四升，上四节容三升。问：中间二节欲均容，各多少？ [在等差数列{an}中，已知S4，a7+a8+a9，求ai（i=1，2，…，9）]

程大位通过条件式（改变已知条件），将这一问题改编为“竹筒量米歌”③：

家有九节竹一茎，为因盛米不均平。下头三节三升九，上稍四节贮三升。惟有中间二节竹，要将米数次第盛。若是先生能算法，教君只算到天明。

类似地，我们可以通过条件式设计更多的数列问题：

1.今有竹九节，各节的容积构成等差数列。已知最下一节的容积为2升，最上一节的容积为半升，求各节的容积。[已知a1=12，a9=2，求ai（i∈N*，2≤i≤8） ]

2.今有竹九节，各节的容积构成等差数列。已知总容积为9升，最下一节的容积是最上一节的两倍，求各节的容积。[已知S9=9，a9=2a1，求ai（i∈N*，1≤i≤8） ]

3.今有竹九节，各节的容积构成等差数列。已知最下一节的容积为2升，最上四节的容积为3升，求各节的容积。[已知S4=3，a9=2，求ai（i∈N*，1≤i≤8） ]

4.今有竹九节，各节的容积构成等差数列。已知最下三节的容积为4升，最上三节的容积为2升，求各节的容积。[已知S3=2，a7+a8+a9=4，求ai（i∈N*，1≤i≤9） ]

5.今有竹九节，各节的容积构成等差数列。最下四节的容积为5升，最上五节的容积为4升，求各节的容积。[已知S5=4，a6+a7+a8+a9=5，求ai（i∈N*，1≤i≤9） ]

6.今有竹九节，各节的容积构成等差数列。已知总容积为9升，最上五节的容积与最下四节的容积相等，求各节的容积。[已知S9=9，S5=a6+a7+a8+a9，求ai（i∈N*，1≤i≤9） ]

上述问题中，若将所求项改为节数、各节的总容积、公差等，就成为自由式问题了：

1.今有竹若干节，各节的容积构成等差数列。已知最下四节的容积为5升，最上四节的容积为3升，其余各节的容积是总容积的311，求竹的节数。（已知S4=3，an-3+an-2+an-1+an=5，a5+a6+…+an-4=311Sn，求n ）

2.今有竹五节，各节的容积构成等比数列。已知最上二节的容积是最下二节的2764，中间一节比最上一节多了23升，求五节的总容积。[已知S2=2764（a4+a5），a3-a1=23，求S5]

3.《九章算术》给出“竹筒容积”问题中的公差d=43-349-32+42。请你用今天的数列知识来检验上述结果。若在等差数列{an}中，已知a1+a2+…+am=p，al+al+1+…+an=q，其中m、l、n为正整数，1≤m<l≤n，试求公差d。

再如，《九章算术》“盈不足章”载有“蒲莞同长”的问题：

今有蒲生一日，长三尺;莞生一日，长一尺。蒲生日自半，莞生日自倍。问：几何日而长相等？

据此，可编制以下问题：

1.（目标式）已知蒲第一天长3尺，莞第一天长1尺。以后每一天，蒲生长的长度是前一天的一半，莞生长的长度是前一天的2倍。问：10天后莞的总长度是蒲的几倍？

2.（条件式）已知蒲第一天长4尺，莞第一天长14尺。以后每一天，蒲生长的长度是前一天的一半，莞生长的长度是前一天的2倍。问：经过几天后，两者总长度相等？

3.（条件式）已知蒲第一天长5尺，莞第一天长15尺。以后每一天，蒲生长的长度是前一天的15，莞生长的长度是前一天的5倍。问：经过几天后，两者总长度相等？

4.（自由式）设蒲、莞的生长规律分别为f（x）=61-12x，g（x）=2x-1，其中x表示时间（单位：日），求蒲、莞同长时经过的时间。

5.（自由式）已知蒲第一天长3尺，莞第一天长1尺。从第二天起，蒲生长的长度是前一天的23，莞生长的长度是前一天的1.5倍。设蒲、莞经过n天生长后总长度之比为an，求数列{an}的通项公式和前n项和。

又如，中国古代多面体体积理论在世界数学史上可谓一枝独秀。《九章算术》中给出了三种最基本的立体模型：堑堵、阳马和鳖臑。如图3所示，正方体的对角面将正方体分割成两部分，每一部分称为“堑堵”;堑堵的对角面将堑堵分割成两部分，一为阳马，一为鳖臑。刘徽利用无穷分割求和的方法证明阳马和鳖臑的体积之比为2∶1，从而解决了棱锥的体积问题。

其中，鳖臑是一个三棱锥，其底面为直角三角形，一条侧棱经过底面的一个锐角顶点且垂直于底面。鳖臑是“三垂线”最简单的立体模型，利用该模型，可编制许多自由式问题：

如图4，在鳖臑ABCD中，底面BCD为直角三角形，∠BCD为直角，侧棱AB与底面BCD垂直，AB=BC=CD=1，E为侧棱AD的中点。

（1）试证明：点A、B、C、D位于同一个球面;

（2）求∠BEC的大小;

（3）求异面直线AD和BC之间的距离;

（4）分别求二面角BACD和BADC的大小;

（5）分别求二面角ABCE和BECD的大小;

（6）分别求点A和点D到平面BCE的距离;

（7）求AE与平面BEC所成的角的大小;

（8）设P为AD上的一个动点，求PB+PC的最小值。

类似地，也可编制许多“阳马中的问题”。

另外，中国古代的测量问题，如刘徽的《海岛算经》中的海岛测量问题，也可用于解三角形的教学：教师让学生用所学的解三角形的知识来测量海岛的高度，并将学生的解决方案与古代的方法作比较。

三、公式推导方面

高中数学中的某些公式可以利用中国古代数学家的方法加以推导。

例如，利用祖暅原理，可以证明等底等高的三棱锥体积相等，进而从三棱柱出发推导棱锥体积公式，还可以推导圆锥体积公式。近年来，由于技术的运用，祖暅推导球体积的方法不再被视若畏途，两个底面半径相同的直交圆柱公共部分——“牟合方盖”也渐渐走进高中数学课堂，为学生所知。

再如，杨辉在解决《九章算术》中的“二马相遇”问题时，采用几何方法来求等差数列之和。已知良马第一天行193里，以后每天都比前一天多行13里。为求良马15天的行程，构造如图5所示的“良马图”：每一长方形的宽均为1，长分别为各天的行程193、193+13、193+2×13……193+14×13，于是，阶梯形的面积即为良马的15天行程。由此，将等差数列求和问题转化为几何图形的面积问题。在此基础上，利用图6和图7，分别可得等差数列求和公式Sn=na1+12n（n-1）d，Sn=na1+an2。