数学教学要“讲道理”

摘要：从认知心理学的角度来看，“讲道理”的教学才能促进有意义学习的发生；从数学学科的特点来看，数学的产生与发展是自然而然的、合情合理的，数学知识之间是逻辑严谨的，因而更应该“讲道理”、更容易“讲道理”；从我国数学教育的现状来看，“讲道理”的教学可以有效解决“会而不懂”的问题。数学教学中，要从深入理解数学和善于稚化思维两方面入手做到“讲道理”。“向量及其运算”的教学，要认识到数和向量内在的关联性和一致性，通过类比迁移、从特殊到一般、“降维”转化等思想，让学生理解向量运算法则（乃至定义）的合理性。

关键词：数学教学；讲道理；向量及其运算；问题串；“降维”转化

数学是理性的科学，并因理性而让人感到解放、有力和震撼。理性精神的培育，离不开“讲道理”。数学教学要“讲道理”应是常识，但在应试教育的背景下，似乎成了一种奢望。在听中学数学课的过程中发现，数学教学中“不讲道理”的现象普遍存在，新知教学“多快好省”地灌输，重结果、轻过程，重记忆、轻理解，把课堂上大量的时间花在习题操练上。究其原因，表面上看与“应试”高压有关，实则可能还是与教师对数学教学的认识及教师的数学学科素养有关。以下先阐述对数学教学中“讲道理”重要性的认识，再谈谈数学教学中怎样才能做到“讲道理”，并以高中“向量及其运算”的教学为例详细说明。

一、数学教学中“讲道理”的重要性

首先，从认知心理学的角度来看，“讲道理”的教学才能促进有意义学习的发生。奥苏贝尔曾把学习分为有意义学习和机械性学习。所谓有意义学习，是指“符号所代表的新知识与学习者认知结构中已有的适当概念能够建立起非人为的、实质性的联系”。那么，什么是“非人为的、实质性的联系”呢？这就是指，新知识与认知结构中有关概念的联系不是任意的、字面上的联系，而是具有某种合理的或逻辑基础上的本质性联系。“讲道理”的教学就是要循序渐进地引导、循循善诱地启发，激发学生产生主动学习（建立联系）的心向，并通过揭示新旧知识之间的连接点，打通新旧知识之间的逻辑通道，在新旧知识之间建立起各种纵横联系。这样，才能真正促进有意义学习的发生；否则，填鸭式的被动接受、囫囵吞枣式的机械学习的发生就不可避免了。实际上，有意义的学习就是理解性的学习。而大量经验、研究证明，只有理解了的东西才不会被遗忘，尤其是在所学习的内容越来越多的情况下。

其次，从数学学科的特点来看，数学的产生与发展是自然而然的、合情合理的，数学知识之间是逻辑严谨的，因而更应该“讲道理”、更容易“讲道理”。正如弗赖登塔尔的观点：数学是系统化了的常识。也如人教版高中数学教材曾在“主编寄语”中所言：“数学是自然的……数学概念、数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的。如果有人感到某个概念不自然，是强加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成过程，它的应用，以及它与其他概念的联系，就会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物，不仅合情合理，甚至很有人情味。”这里，需要特别辨析一下“推理”与“道理”的关系。张奠宙先生很早就指出过，数学“要讲推理，更要讲道理”。其中的“推理”主要指逻辑推理，特别指演绎推理，如解方程的步骤；“道理”则主要指来龙去脉，并包括合情推理，如为什么要学习方程、如何用方程解决问题。实际上，以现代而非传统的观点（由波利亚首先大力倡导而被广泛认可）来看，数学中的（逻辑）推理不限于严谨的演绎推理，也包括灵活的合情推理，即具有传递性的推理形式⑤。《普通高中数学课程标准（2017年版2022年修订）》便持有这样的认识，而《义务教育数学课程标准（2022年版）》更强化了这样的认识。所以，在解读新课标的有关理念时，课标修订组组长史宁中教授多次提到，新概念和新方法的引入必须让学生体会到必要性⑤；核心成员孙晓天教授指出，作为核心素养的数学思维主要表现为推理，即广义的，将各种形式相互协调、熔于一炉的，由“思考现实世界”的需要所决定的推理。而这种广义的推理就可以理解为“讲道理”（建联系）。简单来讲，就是傅仲孙先生所讲的“示以思维之道”：不仅知其然，而且知其所以然，知何由以知其所以然；不仅知道每一个数学概念和结论是什么，而且知道它们是怎么来的，它们有什么用处，它们之间有什么联系等。

再次，从我国数学教育的现状来看，“讲道理”的教学可以有效解决“会而不懂”的问题。为了应对升学考试，数学教学中“对题型，套解法”的机械刷题现象很普遍。由此出现了一种“会而不懂”的现象，即学生“会”做题，但不懂数学，也就是学生能够用现成（记住）的基本（核心）知识做题，但不理解基本（核心）知识的来龙去脉与相互联系以及其中蕴含的本质与思想——其实，学生“会”做的往往只是缺少“原创性”、不能充分考查思维能力、以记忆模仿为主就能解决的“练习题”。这种现象比“懂而不会”的现象（能听懂但不会做题）更可怕：学生不懂数学的问题被“会”做题的表象掩盖了。丘成桐先生曾在杭州与一群高考数学“尖子生”见面。结果，他大为失望，并一针见血地指出：“大多数学生对数学根本没有清晰的概念，对定理不甚了了，只是做习题的机器。这样的教育体系难以培养出什么数学人才。”我们在数学教学中强调“讲道理”，就是要求学生要把“会”建立在“懂”的基础上，先“懂”再“会”，并在“会”中不断深化“懂”，从而做到既“懂”又“会”，不能“懂而不会”，更不能“会而不懂”。这就要求我们做好数学概念、公理、定理、公式和法则等新知的教学。

此外，学生的数学观是长期逐渐养成的。如果教师在教学中经常不讲道理，习惯于照本宣科地“填鸭”，学生便会逐渐丧失质疑问难的精神，从而采取理所当然的态度，习惯于拿来主义和被动接受，认为数学先天这样、本来如此，只管照搬和接受即可。显然，这种数学观的危害是极大的，也是造成目前“会而不懂”现象的根源。

二、数学教学中怎样才能做到“讲道理”

数学教学中，要从深入理解数学和善于稚化思维两方面入手做到“讲道理”。

（一）深入理解数学

在数学教学中，“教什么”比“怎么教”更为重要，因为前者关涉教学内容，后者关涉教学形式，而内容决定形式。数学教师如果没有良好的数学素养，没有对数学知识及其结构体系的通透理解，是不可能真正做好数学教学工作的。正如美国数学家赫斯所言：“问题并不在于教学的最好方式是什么，而在于数学到底是什么；如果不正视数学的本质问题，便解决不了关于教学的争议。”章建跃先生曾经提出数学教学的“三个理解”，即理解数学、理解学生、理解教学。在这三者中，无疑“理解数学”更为重要，它是“理解学生”和“理解教学”的基础。

要真正理解数学，不仅要从微观上准确把握每个数学概念、原理的来龙去脉以及本质特征，而且要从宏观上把握数学知识的纵横联系以及结构体系；不仅要揭示数学知识的显性联系，把握数学知识结构之“形”，而且要揭示数学知识的内在关系，领悟数学知识结构之“神”。单墫教授曾经指出学好数学要经历的几个“会”：首先是“学会”，其次是“领会”，最后是“融会”。所谓的“融会”，就是要做到触类旁通、举一反三，如此方能讲出道理，并运用自如。

如果教师不清楚学科内容的研究对象和方法、研究思路和线索，不清楚学科知识的来龙去脉、纵横联系、背景和意义、地位和作用，那么教学就会具有一定的盲目性和机械性，更勿论给学生讲清楚道理了。比如，教学“向量的概念”时，很多教师认识不到数和向量内在的关联性和一致性，只通过与数的区别来介绍向量。这样，“向量的运算”的教学，就难以引导学生采用“降维”思想进行转化，也就难以让学生理解向量运算法则（乃至定义）的合理性。

（二）善于稚化思维

教学既不能“浅入深出”“浅入浅出”，也不能“深入深出”，而要“深入浅出”。能否“深入”，取决于教师的学科知识水平；在“深入”的基础上能否“浅出”，则取决于教师的教学水平。优秀的教师在教学中要善于悬置自己已有的知识，设身处地地站在学生的角度思考，设想自己在“一无所知”的情况下面临新的问题情境时，会怎样思考问题、分析问题、解决问题。概括来讲，也就是要“思学生之所思”“难学生之所难”“错学生之所错”。这样，教师的思维与学生的思维才不会出现脱节或错位，教师所讲的道理才容易被学生理解和接受，有意义学习才可能真正发生。

要做到稚化思维，一方面，要准确把握学生的认知基础，即学生头脑中已有的知识和经验是什么，新知识的生长点和固着点是什么，新旧知识之间存在怎样的联系和落差，应该如何给学生搭建认知的“脚手架”；另一方面，要善于揣摩学生的思维方式，即学生面对陌生问题在寻找解决策略时可能采取的思维方式有哪些，可能会存在哪些认知困难，应该如何引导学生寻找合理的解决策略。在稚化思维的基础上设置引导性问题，教学就不会出现“越位”现象了。

比如，无论教学“向量的加法运算”，还是教学“向量的数量积运算”，当学生面对“平面上既有大小又有方向的量”的陌生问题时，引导学生采用从特殊到一般的解决策略，便是减少思维落差、化解教学难点的方法。因为共线向量的加法运算和数量积运算更靠近学生的认知起点，是连接数的运算和向量运算的桥梁，更容易被学生同化、接纳。基于这一认识设置问题引导学生思考，便符合了稚化思维的教学理念。正如波利亚所言：“让你的学生提出问题，要不就像他们自己提问的那样由你去提出这些问题；让你的学生给出解答，要不就像他们自己给出的那样由你去给出解答。”

三、数学教学中“讲道理”的一个具体案例

下面详细阐述上文提及的“向量及其运算”的教学。

（一）“向量的概念”教学诊断与改进

1.传统教学诊断

在“向量的概念”的教学中，很多教师都是结合生活实例，并通过如下导语来引入向量概念的：“我们之前学习的量叫数量，数量只有大小、没有方向；今天我们新学习的量叫向量，向量不仅有大小，而且还有方向。”

采用这种方式导入，就把数量与向量人为地割裂了，会导致学生认为数量和向量是两个完全不同的概念，它们之间没有任何联系。聪明的学生就会想到：之前学习有理数时，为了表示相反意义的量，我们引进了负数，“相反”不就有方向的含义吗？怎么说数量没有方向？

其实，数量也是有方向的，只不过数量是从一维角度来考虑方向的。从本质上看，实数可视作一维向量。在数轴上，如果让一维向量的起点与原点重合，则其终点就会对应数轴上唯一的点和实数，实数的绝对值就是一维向量的大小（即长度或模），实数的正负号就是一维向量的方向，于是，就可以在一维向量与实数之间建立起一一对应的关系。因此可以说，平面向量就是实数的推广，而且在推广中，大小、方向、数乘运算等都是一脉相承的，本质均保持不变。

2.教学设计改进

可以通过问题串引导学生理解向量概念引入的“道理”，具体设计如下：

问题1为了表示大小、多少等，我们引入了数量，并抽象出数的概念。最开始，我们学习了正数。其后，为了表示相反意义的量，我们引入和学习了负数。你能在数轴上解释正负数的意义吗？

正负数的绝对值表示大小，体现了“数”的特征；正负数的符号表示方向，体现了“形”的特征。所以，“数量”即一维向量，也是集数和形为一体的量，只不过它是在两种特定的方向——相反方向上考虑的。结合数轴解释正负数的意义，让学生深刻领悟数量的大小特征和方向意义。

问题2正负数的概念从一维角度体现了数量的方向性。除了在直线上研究数量的方向性，可以在平面上研究数量的方向性吗？你能从生活实例中举出一些具有方向性的数量吗？

通过列举物理学中的位移、速度、力等矢量，学生认识到还有一种具有方向性的量，它无法通过正反两个方向来区分，其方向在平面上具有不确定性。这种在平面上既有大小又有方向的量叫作平面向量，简称向量。由此，顺利实现了从数量学习到向量学习的迁移。