贯通学科分支，形成整体认识

摘要：数学教育不应求全，而应求联，从而帮助学生贯通学科的各分支，形成对知识结构的整体认识。这也是数学深度学习的应有之义。引导学生从不同学科分支的角度看（表征、分析）同一个问题，实现一题多解，是“求联”的一种重要手段。在高三复习阶段，设计并实施一道高中数学常见的根式函数最值问题的教学，引导学生从一元函数最值求解的通法（单调性和导数）角度，以及二元关系结构处理的常用不等式、综合几何、解析几何、三角函数、平面向量、复数、概率与统计等角度看这一问题，实现一题多解。

关键词：高中数学；根式函数；解题教学；一题多解；数学分支

一、教前思考

数学学习离不开解题。解题不仅可以驱动、引导学生在探究发现中建构知识，而且可以帮助、促进学生在应用巩固中加深对知识的理解，同时可以提升学生的数学能力和素养。一题多变和一题多解是中国数学教学的一个重要传统。其中蕴含着一个重要的辩证关系：通性通法和巧思妙解。前者可以帮助学生把握数学本质，领悟数学思想，提高学习效率；后者可以帮助学生提升思维的灵活性，充分感受数学的趣味性。数学竞赛专家、南京师范大学单墫教授给出过数学解题的12条原则，其中的两条是“力求简单自然，直剖核心”“从不同的角度看问题”，便体现了上述辩证关系。

在强调核心素养、重视通性通法的当下，数学教师尤其要注重引导学生从不同的角度看问题，获得巧思妙解。对此，单墫教授曾以算术解法（作为巧思妙解）与代数解法（作为通性通法）的不同价值为例来说明：“算术解法是我国数学教育的一大特色，算术解法能提高学生的学习兴趣，在训练思维方面极为重要。这种思维方式与代数解法（列方程）各有千秋，不应当急于用后者代替前者。”

当然，不应引导学生寻找细枝末节上的不同，追求技巧性过强的解法，而应基于知识模块（问题类型）的视角寻求多元表征，形成从学科分支（领域）来看有一些根本上不同的解法。这不仅体现了通性通法和巧思妙解的辩证统一，而且有助于学生沟通数学分支之间的联系，加深对具有复杂性的数学知识多重本质的整体性、综合性理解，同时能更好地适应学生认知风格的差异，提升教学的个体针对性和精准性。

实际上，正如大数学家希尔伯特所说：数学学科是一个不可分割的有机整体，它的生命力在于各部分的联系；数学最为迷人之处是，各分支之间的许多相互影响、预想不到的联系，有时会奇迹般出现在你面前。数学教育（尤其是基础教育），不应求全，而应求联，从而帮助学生贯通学科的各分支（课程的各部分），形成对知识结构的整体认识。这也是数学深度学习的应有之义。引导学生从不同学科分支的角度看（表征、分析）同一个问题，实现一题多解，是“求联”的一种重要手段。

最后，笔者引导学生回顾看待本题的多种角度及解决本题的多种方法，总结本次解题中最重要的思想方法和活动经验。学生认识到：代数（字母表示数）是算术的一般化，代数式本质上是一个结构，其中任何相对独立的部分（包括基本元素）都可以代换成另外的式子（包括单个数字或字母），所以代数学习要形成结构感，抓住结构特征，不断尝试各种整体代换，以真正认识具有一般性的代数式与代数结论；数学是一个整体，各种分支之间充满联系，其中最基本的联系是数形联系（这也正是几何成为数学分支而非物理学分支的重要原因），所以数学解题要在数形结合基本思想的引领下，不断拓展学科分支，从不同的角度看问题。

参考文献：

［1］ 单墫.解题研究［M］.上海：上海教育出版社，2016.

［2］ 徐章韬.中学数学教材核心内容分析——经验型面向教学的数学知识［M］.北京：科学出版社，2021.