建构完整的倍数问题知识结构

［摘 要］为了让学生更好地认识倍数并理解其意义，教师应仔细研读教材，并基于学生的实际情况对单元知识进行整合和拓展教学。“1倍数”是理解倍数概念的关键点。教师应通过正向和逆向的多次对比，使学生充分感悟“1倍”的价值，建构完整的倍数问题知识结构，从而解决一系列的倍数问题，同时为将来学习单位“1”打下良好的基础。

［关键词］倍的认识；1倍数；知识结构

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2024）23-0029-04

倍数关系是一种抽象的数量概念，学生在理解和掌握“1倍数”方面往往存在困难。本文以人教版教材三年级上册“倍的认识”为例，探讨如何利用统一的素材将“倍”的相关知识融会贯通，通过正向和逆向的贯通转化，使学生在解决问题的过程中充分感悟“1倍”的价值，从而深化对倍数概念的理解。

一、理解教材，明确“教什么”

教材是课堂教学的重要载体，深入理解教材的编写意图和教学路径，对于教师而言至关重要。这不仅有助于教师更准确地把握教学内容和教学目标，还能帮助教师设计出更有效的教学策略和活动，从而确保教学活动的顺利进行和教学目标的达成。

（一）横向对比，把握倍的概念教学的关键

对于概念学习而言，深入理解和掌握概念是后续应用的关键。在教学“倍的认识”前，笔者对人教版、苏教版与浙教版教材中引入部分的情境进行比较，发现了它们的异同点。

1.凸显新旧知识的联系

人教版教材的编排通过旧知识“几个几”和新知识“倍”建立对接，苏教版教材的编排体现了“倍”是由两个数量相比较而产生的，浙教版教材的编排则是通过呈现从“一个一个数”到“一份一份数”的逐步递进，凸显对倍的概念的辨析和解读。

2.凸显学习的支撑点

在倍的概念的建立阶段，各版本的教材都通过直观形象来帮助学生理解倍的意义。无论是人教版、苏教版还是浙教版，它们虽然侧重点各异，但都在旧知识的基础上寻找新知识的生长点，强调通过直观模型的可视化学习来强化对倍的概念的意义建构。简而言之，这三个版本的教材为学生提供的学习“倍的认识”的支撑点是一致的。

（二）纵向梳理，把握“1倍”的价值

1.“1倍”与“单位‘1’”的关系

在小学阶段的学习中，倍、分数（表示率）、百分数、比这些概念的本质都是“比率”，其中，倍是学生最早学习的一个概念，是学生后续学习分数、百分数、比等概念的基础。

在人教版教材六年级上册“分数除法”的例6中，学生面临一个挑战：两个相比较的量都是未知的，但它们的和以及倍关系是已知的。在解决这类问题时，学生需要仔细分析题目中的关键词和句子，以确定一个标准，即我们通常所说的“单位‘1’”。这里的“单位‘1’”实际上与“倍的认识”中的“1倍数”是相通的。通过“1倍数”的教学，可以帮助学生在后续学习中对单位“1”的理解更加深刻。因此，笔者认为“倍的认识”这一单元的教学是至关重要的。

2.教材凸显“1倍”的认识

人教版教材三年级上册“倍的认识”这一单元是在学生初步认识乘法与除法的基础上编排的，主要由两部分内容组成：一是建立倍的概念；二是解决与倍有关的实际问题（如图1）。

无论是倍的概念教学，还是倍的应用教学，教材都强调对1倍的认识。在概念教学环节，教材采用圈一圈的方法，帮助学生清晰地识别和理解什么是1倍；在应用教学环节，教材则通过画线段图的方式，指导学生如何在图形中准确地表现1倍，同时强化学生对“几个几”的表述方式的认识。

二、把握学情，明确“会什么”

教学目标是课堂教学的“魂”，学情分析是确定教学目标的重要依据，而进行前测分析能使教师对教学目标的把握更精准。在教学“倍的认识”前，笔者设计了前测题（如图2），旨在了解学生（87人）对于“倍”这一概念的理解程度。

从前测题第一题的数据分析（见表1）来看，大部分学生已经具备了熟练绘制倍数关系图的能力，尤其是在处理简单的线段图时，他们的画图技巧相当不错。对于已知“1倍数”来求解几倍数的问题，学生已经积累了丰富的学习经验，能够相对熟练地解决。

从前测题第二题的数据分析（见表2）来看，水平a的学生占了近三分之一的人数，他们遇到稍复杂的问题时就束手无策，不会运用倍的关系图来简化问题。水平b的学生虽然能够正确绘制关系图，但是无法将复杂的信息和图对应起来，导致计算出错。水平c的学生没有画图，但是答案正确，这部分学生对这类题目的解法已经比较熟悉，不过画图意识不强。水平d的学生占了超过三分之一的人数，他们不仅能够正确画图，还能准确把握对应关系，灵活解决问题。

画图能够简化问题，并帮助学生更好地理解和解决与“倍”相关的问题。根据前测结果可知，教师教学时应注意引导学生借助图示来让“倍”可视化，同时凸显“1倍数”的价值。

三、多次尝试重构，寻找最佳序列

基于教材分析可以发现“单位1”和“倍的认识”有着非常密切的联系。因此，在“倍的认识”单元教学中，教师要优化教学方案，让学生的学习更有连续性和启发性。

（一）初次重构，促“1倍”的认识

在完成3课时的教学后，笔者尝试对练习课做拆分和补充。在第一次调整（如图3）时，笔者拓展了两类常见的实际问题——“几倍多（少）几问题”与“和、差倍问题”，并分别用1课时进行教学。笔者以图为抓手，使份数和数量对应得更加明显，从而落实学生画图能力的培养，并且在解决问题的过程中，让学生多次使用线段图表达题中的信息、分析数量关系，从而加深对倍的认识。

（二）再次重构，融“1倍”的认识

第一次调整的教学和教材的编排有一些相似之处，比如都有求“1倍数”的过程，在分析过程中都明确了“量”和“份数”的对应关系，都有画图、读图的环节，都对教材安排的3道例题进行了复习巩固。因此，笔者在第一次调整后有了进一步的思考：能否用1个课时把这些内容串联起来？于是有了第二次调整（如图4）。

第二次调整策略体现了对教学资源的优化利用，通过将原本增加的两个课时浓缩为一个课时，保持了课时总数的稳定，从而避免了因课时增加而可能带来的时间安排上的不便。这一调整不仅强化了教学单元的整体性，还促进了学生对“1倍数”概念的深入理解和认识，为其后续学习比率奠定了坚实的基础。

四、基于学情分析，实施整合拓展

用统一的素材把“倍”的相关知识融通起来后，表述方式看起来有些不同，比如“谁是谁的几倍”“谁比谁的几倍多几”，但是解决这类问题的方法是否有共性？解决问题的关键点在哪里？是否有一个模型能解决这类问题？如何凸显“1倍数”的重要性？笔者尝试用一堂课来回答以上这些问题。

（一）第一环节：顺向出发，基于意义，初步感知“1倍数”

以前测题第一题为例。首先，引导学生分别用长方形来表示男生和女生的人数（如图5），并说一说它们的关系。学生能够说得很清楚：把男生人数看成1份，女生有这样的3份。这样的教学不仅帮助学生巩固了倍的意义，还引出了线段图（如图6）。

其次，给出求女生的人数、求一共有几人、求女生和男生相差几人三个问题，让学生用图表示其中一个信息并解决问题。在学生作答后，笔者选取了三名学生的答案（如图7）进行展示，引导学生观察这三名学生的答案的共同点。学生发现：都是已知1倍数男生有5人，把5人看作1份，求[n]个5是多少。

这一环节是先找出“1倍数”，然后求“几倍数”。学生能够根据已知信息和关键句提出问题并解答，发展提出问题的能力。另外，将不同的答案放在一起同屏对比，能够使学生发现不同问题的本质——都是求5的几倍是多少。

（二）第二环节：逆向剖析，领悟方法，再次感知“1倍数”

笔者对前测题第一题进行改编（如图8），让学生补充信息，提出问题并画图解答。在学生作答后，笔者选取了三名学生的答案进行展示（如图9）。

与第一环节相反，第二环节是“已知几倍数，求1倍数”。教材中没有求1倍数的例题，在这一环节中加以补充，并让学生从同屏对比中自然而然地发现：只要找出已知信息对应的份数，求出“1倍数”后，所有的问题就能迎刃而解了。这就凸显了“1倍数”的重要性。

（三）第三环节：综合提升，沟通转化，深入感悟“1倍数”

1. “几倍多几”与“和倍”联名

首先，出示图10，让学生补充条件后提出问题，并通过画图解决问题。在学生作答后，笔者选取了三名学生的答案进行展示（如图11）。

其次，引导学生根据上述答案思考：当遇到不是整倍数的时候该怎么办。对比之下，学生很快发现：要对已知信息进行处理，使数据能和整倍数对应起来，从而转化成之前的题目来探究；题中的倍数关系也可以用“4倍少2”来描述，几倍少几的问题也能用这样的方法来解决。

相比于前两个环节，第三环节通过增加问题的自由度和灵活性，考查学生对“1倍数”概念的理解程度和应用能力。在这个环节中，学生可能会遇到份数和数的对应问题，需要处理更复杂的信息，需要具备更强的抽象思维能力。由于前两个环节已经为学生打下了坚实的基础，所以学生能够利用已有的知识和经验，通过图形辅助，快速识别问题的关键点，并将新问题转化为已知的、熟悉的问题类型。

五、实践反思

纵观整个教学实践过程，教师将“几倍多几”和“和倍”两类问题巧妙地融合在一堂课中，使整堂课展现出层次性和递进性，从而使学生经历了“正向—逆向—自由”三次思维层次上的提升。

（一）素材选择，简单而“不简单”

本节课以民乐团招新情况为题材，分成三大板块展开。以前测题为基础，不断减少条件，让学生自行补充，给予他们更多自主选择的空间，使不同水平的学生均有收获。从正向出发，已知“1倍数”求多倍数；到逆向，已知多倍数求“1倍数”；最后，各层次的学生都能够“跳一跳，摘到桃子”——学生自然而然地迁移知识和经验，顺利解决“几倍多几”和“和倍”相关问题。这些都是从一个素材出发引发的思考，看似简单的素材，却带来了“不简单”的思考。随着素材的不断变化，学生也不断深化对“倍”的认识和对“1倍数”的理解。

（二）数形结合，助力“1倍”模型的建构

前测中发现，画图和读图能力直接影响学生解决问题的水平，因此在本节课的三大板块中，要求学生根据自己的理解将信息和问题在线段图中体现出来。看图找条件所对应的份数，这实际上就是高学段要渗透的“量”“率”对应。后续学习比和分数相关内容时，同样需要借助线段图。数形结合，凸显“1倍数”的重要性，学生在看图和讲解时能感受到“对应”的魅力。

（三）多次对比，理解“倍”的本质

不同学生答案的三次同屏对比，能够给学生带来一定的冲击力。第一次对比时，学生发现，在已知“1倍数”的条件下，最终要解决的问题都变成了求几个“1倍数”是多少的问题。有了这样的对比经验后，学生在第二环节的学习中自然会想到进行对比沟通。第二环节中，虽然不同学生补充的条件和问题不同，但因为关键信息（倍数关系）相同，解决的方法也相同。第一步都是求“1倍数”，学生在对比中深刻感受到“1倍数”的重要性，这为今后单位“1”的学习做足了铺垫。第三环节难度虽然加大，但学生依旧能迁移之前所学的方法，结合图形，找准份数和量之间的对应关系。通过三次对比，学生还能够感受“转化”是数学学习中非常重要的策略。把一个问题变成一类问题正是这堂课的核心所在。

一节课或许无法立刻给学生的学习效果带来巨大的变化，但通过这样的教学设计，凸显“1倍数”、画图读图以及对应关系的意识，确实能够激发学生的思考。教师在教学中可以多让学生经历这样的过程，使他们深刻感悟“1倍数”的重要性、对应关系的关键性以及转化意识的必要性，从而建构起一个完整的倍数问题知识结构。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 薛芳.“倍的认识”的教材比较与教学建议[J].中小学数学（小学版），2021（11）：9-10.

[2] 徐爱娣.让学习真实发生：“倍的认识”单元重组的思路与课例分析[J].小学数学教育，2021（21）：44-45，50.

[3] 晁艳玲.《倍的认识》三个版本教材比较及其对教学的启示[J].教育视界，2021（23）：18-21.

[4] 冉和香.基于变式理论的小学数学概念教学设计研究[D].重庆：西南大学，2021.

[5] 明昧.再谈“倍”的认识[J].教师之友，1994（11）：19，26.