以几何直观促进学生深度思考的教学探析

［摘 要］几何直观是《课程标准》的核心概念之一，它关于“数学思考”的学段目标是从“想象关系”到“感受作用”，再到“建立直观”。在数学教学过程中，教师要让学生经历“以形明理，让描述与图形同进；以形促思，让思维与图形共行；以形析数，让表达与图形互进”的过程，以几何直观优化学生的思辨过程，让深度思考成为学生学习的一种常态。

［关键词］几何直观；深度思考；图形

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2024）26-0030-04

《义务教育数学课程标准（ 2022年版）》（全文简称《课程标准》）指出：“几何直观主要是指运用图表描述和分析问题的意识与习惯。能够感知各种几何图形及其组成元素，依据图形的特征进行分类；根据语言描述画出相应的图形，分析图形的性质；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型；利用图表分析实际情境与数学问题，探索解决问题的思路。几何直观有助于把握问题的本质，明晰思维的路径。”《课程标准》关于几何直观的能力要求在三个学段中的设置见表1。

从表1可以看出，随着学段的增长，《课程标准》对学生几何直观能力的培养要求呈阶梯式提升。特别是在“数学思考”领域，其描述尤为明确，从最初的“想象关系”，逐步过渡到“感受作用”，最终达到“建立直观”，层层递进的目标为教师的教学提供了明确的方向。基于这一分析，笔者参照各阶段的能力目标，尝试探索利用几何直观来促进学生思考能力发展的有效途径。

一、以形明理，让描述与图形同进

（一）善用模型，化抽象为形象

小学生的思维正处于从具体运算向形式运算过渡的发展阶段，他们需要借助直观表象来理解复杂概念。在解决较为复杂的数学问题时，教师可以引导学生通过画图来简化问题，并给予学生充足的时间，让他们根据图提取关键信息，进而找出解决问题的方法。下面以四年级下册“小数点的移动引起小数大小变化”一课为例，论述如何引导学生在读图、画图的过程中感知并分析图形结合规律。

师：如果把图1第一个图形中的一个小正方体看作“1”，那么后面三个图形中的涂色小正方体的数量分别用数字几表示？从左往右，这四个数的大小具体发生了怎样的变化？（出示答案，如图2所示）

师：如果把图1的第一个大正方体看作“1”，那么后面三个图形中涂色小正方体的数量分别用数字几表示？从左往右，这四个数的大小又是怎样变化的？

师：0.001→0.01→0.1→1.0，0.001依次扩大了10倍、100倍、1000倍。如果不看图，可以根据什么判断小数扩大的倍数？请大家参照整数的大小变化规律画一画、写一写。（出示答案，如图3所示）

在上述教学过程中，教师首先引导学生回顾整数的大小变化规律，借助线的方向、长短等直观因素，强调“0的数量”在整数大小变化规律中的作用。有了这样的直观引导，学生在面对“小数的大小变化规律”时，就能够自主地将关注点集中在“小数点的位置”上。培养学生用图形表达思维的习惯，有助于促进学生直观能力的自然提升，让他们在直观与抽象的多次转换中逐渐丰富经验，从而提高数学归纳能力。

（二）趋向无穷，化模糊为清晰

庄子认为：“有道无术，术尚可求；有术无道，则止于术。”在这里，算理是“道”，算法是“术”，只有以道驭术，才能筑牢计算这座大厦的根基。鉴于算理的抽象性，教师可以采用生动的几何直观手段，化抽象为形象，让学生在理解“是什么”的基础上，进一步明白“为什么”，从而活化运算思维。

以五年级上册“小数除法”例2的教学为例，该例题打破了学生在整数除法中形成的思维定式：出现余数后可以在后面添0继续除。如何让学生理解“添0继续除”的道理？笔者充分利用平面图形可以无限分割的特性，引导学生通过画图逐步深化对算理的理解：每添一次0，就意味着再一次均分余下的计数单位，这一过程可以无限进行下去（如图4）。

直观图形的无限延展性成为学生理解算理的有力工具。经历了这样的思辨过程，学生就能够深刻体会几何直观的价值。如此，第二学段的阶段目标也就达成了。

二、以形促思，让思维与图形共行

（一）以形观数，化局部为整体

借助几何直观进行数学思考，离不开点、线、面、体这些基本图形元素的直观支撑。小学阶段的基本图形之间存在着紧密的联系。教师可以运用几何直观的方法将它们融合为一个整体，充分利用它们之间的联系，实现抽象问题直观化、复杂问题明朗化的目标。

例如，五年级上册“多边形的面积”单元中，教材按照“长方形→平行四边形→三角形、梯形”的顺序进行编排。这一编排顺序虽然符合学生认知规律，但在拓展解题思路、发展求异思维方面有所欠缺。对此，笔者从平面图形内在的特性入手，对单元教材进行结构化处理，让学生的思维经历从局部到整体再到局部的过程。

【第1课时】整体掌握多边形面积的计算方法

学生回顾长方形、正方形面积公式的推导过程，产生“多边形的面积=一条边的长度×另一条边的长度”的猜想后，研究多边形的面积。学生用数格子的方法分别数出3个梯形的面积，并用分割、平移或旋转的方法把梯形转化成长方形（如图5）。

教师引导学生先沟通转化前和转化后图形之间的关系，利用长方形的面积公式推导出梯形的面积公式（如图6）；然后观察图形的变化（如图7），得出三角形是上底为0的特殊梯形（学生自主推理出三角形的面积公式：三角形的面积=（上底+下底）÷2 ×高 = 底÷2 ×高）；最后通过画图来说明是否能利用长方形的面积公式来计算平行四边形的面积。

【第2课时】重新认识平行四边形与三角形的面积计算（沟通两者之间的关系）

【第3课时】重新认识梯形的面积计算（沟通梯形与其他图形之间的关系）

【第4课时】组合图形的面积

（二）借式思图，化内隐为外显

图形在分析中扮演着联络、理解、提供方法的角色，通过多种途径促进学生对数学的理解。因此，教师应有意识地培养学生的画图意识，将分析信息与画图自主对接，细化画图步骤的指导，注重语言与图形的互译，以提高学生的画图、读图能力。

以“多边形的面积”单元重构后的第2、3课时为例。为了让学生厘清图形之间的内在联系，可改变公式中条件的运算顺序，要求学生画出与之对应的转化后的图形，从而有效培养学生对数学语言与直观图形的转换能力。

【第2课时】重新认识平行四边形与三角形的面积计算（如图8）

【第3课时】重新认识梯形的面积计算（如图9）

最后，在第4课时“组合图形的面积”的教学中，除了常规的看图写式训练，还可增加“看式画图”的训练（如图10），通过培养学生的画图分析、数学表达和解决问题的能力，加深学生对“多边形面积”的整体感知，以提高学生的几何直观能力。

（1）3×3÷2       （2）4×3÷2     （3）（3+4）×4÷2

画图是解决问题的一种直观策略。图形与条件的契合度、图形的简洁性等因素均能反映学生的思维水平。教师要适时强调画图方法的多样性，引导学生进行对比、优化，强化画图的技能，让学生体会通过画图成功解决问题的乐趣，从而感受几何直观在解决问题中的价值与意义。

三、以形析数，让表达与图形互进

（一）适度加工，化晦涩为直白

到了中、高年级，教材插图的数量与直观性有所减少与弱化。为了帮助学生深入理解知识的本质，教师可以对教材内容进行适当加工或改编，增加几何直观的应用篇幅，使学生能够直观地把握抽象的数学概念。

以五年级下册“3的倍数的特征”教学为例。受2和5的倍数的特征的影响，学生往往只关注个位数与3的关系，且由于缺乏必要的几何直观支持，学生很难意识到需要将关注点从个位转移到各个数位的整体分布上。针对这一问题，笔者按照以下步骤引导学生进行直观感知。

第一步，让学生在百数表中圈出3的倍数，并自主归纳其特征。

结论1：仅凭个位上的数字无法判断一个数是不是3的倍数，还需要关注其他数位上的数字。

第二步，圈出36，69，93三个数，提出问题：为什么这三个数都是3的倍数？如果给36增加百位，变成□36，□中填哪些数时，这个三位数也是3的倍数？……

结论2：如果一个数的每个数位上的数字都是3的倍数，那么这个数就是3的倍数。

第三步，圈出81，提出问题：81的十位和个位上的数字都不是3的倍数，为什么它仍然是3的倍数？（出示如图11所示的小棒图，师生一起完成分的过程）

结论3：将每个数位上的数字依次除以3，如果每一位上的余数之和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数。

第四步，根据“70÷3”优化分小棒的思路（如图12）。

（1）每少分一次，余数就增加3根，相当于最后多分一次，不影响结果。

（2）十位是a，可以看成余a根，同理，百位是a也可以看成余a根。

结论4：一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

（二）变静为动，化浅表为深入

在“统计与概率”领域，将收集到的数据用直观的统计图表示，并根据统计图的走势进行数据预测是一项重要的学习任务。而对图中数据进行准确分析，离不开几何直观的支持。 如何理解“平均数”的虚拟性，是四年级下册“认识平均数”一课的教学难点。笔者将本课的重点放在“平均数”意义的构建上。经过思考和讨论男生队2号队员小刚的得分情况（图略），笔者提出了动态的“移多补少”方法。在此基础上，笔者引入“平均数”的概念，并在研究女生队2号队员小慧的得分情况（图略）时，让学生直接标出平均得分的具体位置。通过观察圆片的移动，学生完成了对具体问题中平均数概念的理解，为准确把握“平均数”的本质奠定了坚实的基础。

综上，几何直观能力的培养应贯穿小学数学教学的各个方面。教师应根据学生的身心特点选择合适的教学素材，以培养学生的画图意识和能力，促使学生感受符号与几何直观的价值，让学生在借助图形思考问题的过程中实现深度学习。

［ 参 考 文 献 ］

［1］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社.2022.

［2］ 顾晓东.小学生几何直观能力的培养策略[J].教学与管理，2017（29）：40-42.

（责编 吴美玲）