对分数的认识：从量率对应走向分率关系

［摘 要］学生在学习分数的过程中，会因为对量率和分率的概念理解不透彻而出现错误。针对这一现象，文章对常见的错误类型进行了深入分析，并对教学材料及教学方法进行改进，通过对例题进行创新设计，使其具备开放性和探索性，帮助学生更深入地理解量率与分率的区别，进而准确把握分数的概念。

［关键词］分数；量率；分率

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2024）29-0055-03

【案例呈现】

师（出示图1）：你们猜猜，每只燕尾蝶分得这篮杜鹃花的多少呢？

生1：我觉得每只燕尾蝶分得一半，也就是这篮花的[12]。

师（出示图2）：如果知道花篮里杜鹃花的具体数量，每只燕尾蝶又能分得这些杜鹃花的多少呢？

师：还是[12]，因为无论花篮里的杜鹃花有几枝，还是装成一篮，即一个整体，被平均分的对象是一篮，每份就是半篮，也就是所有花朵的一半。

（教师引导学生独立思考并尝试解决类似问题，再集体分享答案并进行讨论。教师在讲解教材中的例题和练习题时，不断强调使用规范的句式来表述整体的几分之一。）

【案例分析】

在教学分数概念时，尽管教师不厌其烦地强调部分与整体的关系，但许多学生在独立练习时依旧感到力不从心。这主要是因为教材未充分展现分数的直观应用，使得学生难以把握。学生的基础知识储备和认知发展水平也影响他们对分数概念的理解。此外，教师的教学方法未能帮助学生建立起对分数的直观理解，例如，教师仅进行了抽象和笼统的解释，而未使用具体的物品或视觉辅助工具。这三个方面的问题，共同指向了一个根源——量率和分率的关系混淆。

一、量率关系模糊不清

在小学一、二年级，学生接触的数量都是基数，用以表达物品的多少，通常都与实物数目一一对应。到了三年级上学期，分数概念开始进入学生的视野，在“分数的初步认识（一）”单元中，教材以“分蛋糕”为例引入分数的概念：将一个蛋糕平均分给两个小朋友，每个小朋友得到半个蛋糕。这里的“半个”便是分数的一种直观表现形式，即[12]。

然而，教材中并未明确区分表示部分数量的分数和表示部分与整体关系的分数。在分哈密瓜和冰红茶等其他物品时，学生误认为分到的每份也是一个具体的数量，而非一个分率。这种混淆使得学生无法理解部分与整体的关系。

由于分数无论是表示部分数量，还是表示分率，书写形式都是一致的，因此，学生在日常作业中并不会遇到问题。但是，当课程进展到更高级的分数概念时，尤其是分数不再直接对应于具体数量，而是表示为一个分率时，学生就会感到困惑。这时，学生发现自己难以理解分数问题，因为他们没有完全掌握“量”与“率”之间的关系。

为了帮助学生更好地理解分数，教师需要明确区分表示部分数量的分数和表示部分与整体关系的分数，并通过多种教学方法和实践活动帮助学生正确理解分数概念。这包括提供清晰的解释，使用具体的实例，进行互动式探索活动，以及练习巩固。

二、教学活动需要重构

三年级的学生已对具体数量有了基本理解，但对于分数这一表示部分与整体关系的概念仍感陌生。如果教师只是简单直接地讲授分数，学生可能仅停留在表面的记忆与模仿，难以深入理解分数的本质。为了帮助学生深刻地理解分数，教师应当采取一系列活动，引导学生从具体数量逐步过渡到分数的概念。

1.利用具体物品进行演示：使用日常生活中的物品，如水果、糖果或积木，来直观展示整体与部分的关系。

2.通过比较来揭示差异：通过比较具体数量和分数，让学生认识它们之间的相似性和区别。

3.使用视觉辅助工具：借助饼图、条形图等工具帮助学生理解分数的概念。

4.动手操作和实践：鼓励学生亲自切割物品或操作分数模型，以增强他们对分数的直观感知。

5.结合生活实例：将分数的概念与学生的日常生活经验联系起来，如分享食物、分配时间等。

6.逐步增加难度：从简单的分数开始教学，逐步引入复杂的分数概念，给予学生足够的时间来理解和吸收。

7.鼓励提问和讨论：创造一个开放的学习环境，鼓励学生提问、与同伴讨论。

8.重复练习：通过不断重复练习各种题型，帮助学生巩固分数的知识。

通过上述活动，教师可以有效地帮助学生从具体数量中抽象出分数的概念，并将其内化为自己的知识结构。这样，学生不仅能够理解分数的意义，还能够在实际生活中灵活运用分数的概念。

【教学重构】

在重构教学活动的过程中，教师首先呈现了一个情境图，接着邀请学生针对图中的问题进行回答。学生回答完毕后，教师将依据学生的反馈来调整教学策略，从而提高教学效果。

师：有一个装着杜鹃花的篮子，2只美丽的燕尾蝶想要分得一些花朵。如果篮子里只有1枝花，每只燕尾蝶能分得多少呢？

生1：每只燕尾蝶分得半枝花。

师：没错！如果篮子里有2枝花呢？

生2：每只燕尾蝶分得一整枝花。

师：如果篮子里有3枝花呢？

生3：每只燕尾蝶分得一整枝花加半枝花。

师：非常好！无论篮子里有多少枝花，每只燕尾蝶分得的比例都是一样的，对吗？

生4：对！不管有多少枝花，每只燕尾蝶分得的都是这篮花的一半。

师：没错！这就是我们今天要学习的分数的概念。为什么每只燕尾蝶分得的都是篮子里花数的一半呢？

生5：因为我们总是将花平均分成2份，每份就是一半。

师（出示图3）：说得好！记住，无论总数是多少，只要平均分成2份，每份就是整体的一半。这就是分数[12]的含义。

【案例反思】

在上述案例中，通过改编例题中的问题，教学效果有显著的变化，包括：问题更贴近学生的生活经验和认知水平，有效提升了学生的兴趣和参与度；经过修改的问题设计巧妙，能够激发学生的高阶思维能力，如分析和评价能力；调整后的问题满足了不同学生的学习需求，实现了差异化教学；问题的修改考虑到了学生的已有知识，确保了问题与学生知识结构相匹配；鼓励学生进行交流和合作，提高了课堂互动的质量和深度；在提问过程中，教师的引导方式既精准又有效；问题引发了学生的情感共鸣，使学生在积极的情绪状态下学习，进而提高了学习效率；问题难度的适当调整使学生感到挑战适中，既避免了因难度过大而引起挫败感，也避免了因过于简单而失去兴趣；修改后的问题直接指向教学目标，确保了教学的目的性和方向性。总之，即使教师和教学流程保持不变，精心设计和调整问题，也能显著提升教学效果。这要求教师必须不断反思和优化教学策略，以适应学生多样化的学习需求。

一、问题的提法从封闭转向开放

在小学三年级的数学教学中，处理部分与整体关系的问题时，教材往往采用封闭式问题，要求学生必须以分数形式作答。这种做法并不完全顺应学生的认知发展规律。

为了更好地契合学生的思维特点，可以对问题进行重新构建，设计开放式问题。这类问题允许学生以多种方式回答，既可以计算出具体数量，用实际数量来回答，也可以在具体数量变化时，用分率来表述。开放式问题更符合学生的思维习惯，使他们能够从具体数量自然过渡到分数。这样，学生不仅能激活并运用他们现有的经验，还能在实际操作中探索具体数量与分数之间的内在联系，从而理解分数的含义和用途，有助于培养学生的逻辑思维能力，同时也能提高他们对数学概念的整体把握。

二、知识讲解从零散趋向系统

对于那些易混淆的概念，若教学过程中不将它们与其他内容联系，往往难以深入理解。为了解决这一难题，可以运用对比和关联的教学策略帮助学生区分并理解这些概念。

在重构前的教学中，教师过于强调分数的形式和计算规则，而未能充分突出分数与其他数学概念之间的联系。这导致学生在面对具体问题时，难以判断何时使用分数，以及如何正确应用。重构后的教学则引导学生通过实际例子和操作活动，感受“量”和“率”之间的内在联系。例如，学生可以通过分配一定数量的物品来直观地理解分数所代表的部分与整体的关系。这种方法有助于学生从具体情境中抽象出分数的概念，并理解分数在不同情境下的适用性。学生的回答显示，他们已能在不同情境中识别和应用分数，这表明他们对分数有了深刻的理解。尽管重构教学后，教学时间有所延长，但学生对分数概念的深入理解使得后续学习更加高效，减少了教师重复强调规范表述的需要。从整体来看，教学效果得到了显著提升。

总之，面对众多易混淆且相互关联的知识点，单纯地教学单一知识点往往无法达到理想效果。教师应当关注知识点之间的异同，通过恰当的教学策略向学生诠释每个概念的内涵，并揭示它们之间的内在联系，学生才能对数学知识有准确、清晰的认识，从而提高数学学习的效果。

［ 参 考 文 献 ］

[1]    孙婷.“靶向”学情   顺学而教   “深融”延学：以“分数的初步认识（二）”教学为例[J].小学教学参考，2023（32）：63-65.

[2]    吴汝萍.基于数概念的一致性，探索分数的意义：以《分数的初步认识》教学为例[J].河北教育（教学版），2023（12）：32-35.

[3]    高杰，韩微微.当“旧教材”遇上“新课标”：“分数的再认识”内容重构与教学实践[J].小学数学教育，2024（Z2）：21-23.

（责编    黄    露）